例談幾何直觀的教學(xué)價值

摘 要：幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀的培養(yǎng)是一個長期的、動態(tài)的過程，需要教師充分挖掘幾何直觀的教學(xué)價值，在教學(xué)中有意識地滲透，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)各領(lǐng)域中感受幾何直觀，培養(yǎng)自覺運(yùn)用幾何直觀的意識與能力。

關(guān)鍵詞：幾何直觀 模型 概念 數(shù)感 算理

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert，1862～1943）在其著作《直觀幾何》中談道：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把“幾何直觀”作為十個核心概念之一，指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題……幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。”而幾何直觀的培養(yǎng)是一個長期的、動態(tài)的過程，需要教師充分挖掘幾何直觀的教學(xué)價值，在教學(xué)中有意識地滲透，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)各領(lǐng)域中感受幾何直觀，培養(yǎng)自覺運(yùn)用幾何直觀的意識與能力。

一、借助幾何直觀建構(gòu)模型

教學(xué)中，教師可借助幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生在整體感悟知識的基礎(chǔ)上探究其內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而建構(gòu)知識模型。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊《10以內(nèi)的加法和減法》一課，教師準(zhǔn)備了一個布袋，分成兩格，和學(xué)生玩“猜一猜”的游戲——（1）左邊小格放6個球，右邊小格放3個球，問：一共有幾個球？（2）共有10個球，左邊小格放3個球，問：右邊小格放幾個球？（3）共有8個球，右邊小格放2個球，問：左邊小格放幾個球？……多次游戲后，學(xué)生感悟到：一個大口袋，分成兩格，這兩格又可以合成整個大口袋；整個大口袋，去掉左邊一格，剩下右邊一格；整個大口袋，去掉右邊一格，剩下左邊一格。后續(xù)教學(xué)相關(guān)的加減法實際問題，就可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫“大口袋圖”的方式把握數(shù)量關(guān)系（如圖1、圖2）。

二、借助幾何直觀理解概念

概念教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生將新學(xué)習(xí)的概念（或知識）納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，使其與已有概念（或知識）建立聯(lián)系。要做到這一點，幾何直觀是一個有效工具。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊《倍的認(rèn)識》一課，教學(xué)片段如下：

（教師課件出示紫色彩帶和黃色彩帶，讓學(xué)生比較其長短。）

師 （邊演示邊講解）我們還可以從不同的角度研究這兩根彩帶長度的關(guān)系，用紫色彩帶去量黃色彩帶，黃色彩帶有5個紫色彩帶那么長，就可以說，黃色彩帶的長是紫色彩帶的5倍。

師 （課件出示花壇，紅花2朵、藍(lán)花6朵）要清楚地看出藍(lán)花的朵數(shù)是紅花的幾倍，要把藍(lán)花怎樣分呢？

（學(xué)生在作業(yè)紙上獨(dú)立嘗試，48位學(xué)生中有4位學(xué)生分錯。）

師 （課件出示花壇，藍(lán)花8朵、黃花4朵）要清楚地看出藍(lán)花的朵數(shù)是黃花的幾倍，又該把藍(lán)花怎樣分呢？

（學(xué)生在作業(yè)紙上獨(dú)立嘗試，48位學(xué)生中有3位學(xué)生分錯。）

師 紅花、黃花都是和藍(lán)花比較，怎么一會把藍(lán)花每2朵分成一份，一會又把藍(lán)花每4朵分成一份呢？

學(xué)習(xí)“倍”的概念，學(xué)生需理解數(shù)a、b及其倍數(shù)n三個元素之間的關(guān)系。三年級學(xué)生的生活積累并不多，理解文字的能力也有限。上述課例緊緊抓住本課教學(xué)的關(guān)鍵點，課始，教師通過紫、黃彩帶的條形圖，結(jié)合課件的動態(tài)演示，讓學(xué)生感知“倍”：兩個量進(jìn)行比較，以其中一個量作為單位去衡量另一個量，另一個量包含幾個這樣的單位，就說后一個量是前一個量的幾倍。如此，將“倍”這個新概念與乘除法學(xué)習(xí)中的舊概念“份數(shù)”聯(lián)系起來。后續(xù)紅花與藍(lán)花、藍(lán)花與黃花的比較，讓學(xué)生對“倍”的概念理解更加深刻。

三、借助幾何直觀發(fā)展數(shù)感

“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計等方面的感悟?！苯柚鷰缀沃庇^有助于學(xué)生在抽象思維和形象思維的有機(jī)結(jié)合中認(rèn)識數(shù)，減少認(rèn)知困難，發(fā)展數(shù)感。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《認(rèn)識小數(shù)》一課，教學(xué)片段如下：

師 你在哪兒見到過小數(shù)？

（課件出示超市情境，購物袋價格是0.1元。）

師 你覺得0.1元是多少錢？

生 0.1元就是1角。

師 （出示正方形紙）如果這張正方形紙表示1元，你能分一分、涂一涂，表示出0.1元嗎？

（展示學(xué)生的嘗試，如圖3。）

師 為什么都是平均分成10份呢？

生 1元是10角，平均分成10份，每一份就是1角。

師 圖中的0.1元可以用哪個分?jǐn)?shù)來表示呢？

生 110。

師 橡皮的價格是0.3元，練習(xí)本的價格是0.7元，如果這張正方形紙表示1元，怎樣表示0.3元和0.7元？它們又分別可以用哪個分?jǐn)?shù)表示？

生 310和710。

師 像這樣的小數(shù)大家還能說幾個嗎？它們表示什么呢？

（學(xué)生作答。）

師 剛才研究的小數(shù)有什么共同的地方呢？

（學(xué)生作答。）

師 （小結(jié)）零點幾就表示十分之幾，十分之幾的分?jǐn)?shù)就可以寫成零點幾的小數(shù)。想小數(shù)的意義只要聯(lián)想分?jǐn)?shù)。

……

（課件出示數(shù)軸，數(shù)軸上標(biāo)出0、1、2、3。）

師 0.6在數(shù)軸上大概在哪個位置？你是怎樣想的？怎樣準(zhǔn)確地標(biāo)出0.6的位置？

（學(xué)生回答后教師課件演示。）

師 你能準(zhǔn)確標(biāo)出1.2的位置嗎？需要怎么做？

（學(xué)生回答后教師課件演示。隨后，學(xué)生獨(dú)立在數(shù)軸上表示1.8、2.4、2.9。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在2和3之間的都是2點幾。）

“數(shù)”抽象而“形”直觀。上述課例中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”，借助正方形聯(lián)系分?jǐn)?shù)，理解一位小數(shù)的意義，幫助學(xué)生把“生活感知”發(fā)展為“數(shù)學(xué)感悟”。接著，通過數(shù)軸這一直觀形象，為小數(shù)這個抽象的數(shù)學(xué)概念提供了直接的物質(zhì)承載與形象表征，讓小數(shù)在學(xué)生心中獲得與自然數(shù)、分?jǐn)?shù)同樣的地位，三者共同構(gòu)成了一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)整體。

四、借助幾何直觀理解算理

算理是算法的依據(jù)，算法是算理的表象，成功的計算教學(xué)應(yīng)該是算理與算法的融通。而借助幾何直觀可將問題的本質(zhì)直觀表達(dá)出來，有助于學(xué)生更好地理解算理。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》一課，教學(xué)片段如下：

（教師出示例題并列式，見圖4。）

師 怎樣理解這個算式？

生 就是把45升平均分成2份，取其中的一份。

師 你能畫圖表示并計算出結(jié)果嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考，全班交流、畫圖，見圖5。）

上述課例中，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的含義畫圖表示題意，結(jié)合直觀圖展開形象思維，體會兩種算法的合理性，并在第二種算法中感悟分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的關(guān)系。借助幾何直觀，學(xué)生順利理解了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理，逐步歸納出算法。