初中數(shù)學教材解讀的“三四五”方略

主持人語

高效的課堂教學源于優(yōu)化的教學設(shè)計，而優(yōu)化的教學設(shè)計基于對教材的深度解讀。教材為教學活動提供了研究主題和基本線索，是體現(xiàn)課程理念的顯性素材，是實現(xiàn)課程目標的有效載體，是實施課堂教學的重要資源。葉圣陶先生說：“教材無非是個例子。”對教材這個“例子”的解讀，體現(xiàn)了教師的教學智慧，反映了教師的教研水平，不僅是教師提升專業(yè)素養(yǎng)的著力點，更是課堂教學追求長效的基本保障。本期，我們聚焦的話題就是“教材解讀”。

對青年教師、成熟教師和專家型教師的數(shù)學課堂進行比較、分析、歸納后可以發(fā)現(xiàn)：青年教師的課堂著力點基本就在這堂課涉及的素材內(nèi)容上，成熟教師的課堂著力點是以這堂課為素材核心向前后延伸，而專家型教師的課堂著力點則是以這堂課為素材圓心向四周輻射。從中可以看出，教材解讀的長度、寬度、高度直接決定了數(shù)學教師課堂教學的效能。下面筆者就圍繞著教材解讀這個核心問題重點談?wù)勊娜齻€層面、四個視角和五個維度。

一、教材解讀的三個層面

當前使用的小學、初中、高中的數(shù)學教材在編寫過程中確實存在不同的編寫團隊、不同的編寫視角、不同的出版部門等現(xiàn)象，因此，存在著對這12年數(shù)學教材缺少整體規(guī)劃、對整個數(shù)學知識結(jié)構(gòu)體系缺乏全盤了解等問題。但作為數(shù)學教師，應(yīng)該把小學、初中、高中的數(shù)學教材作為一個整體來全面認識，加強各學段教材的上下縱向銜接，左右橫向配合，求大同，存小異，進而做到有目標地依次遞進，有序過渡。所以，教材解讀可以從宏觀、中觀、微觀三個層面去進行。具體如下：

宏觀層面解讀是指教師把初中3年的數(shù)學教材作為一個整體來解讀，甚至要延續(xù)至小學6年和高中3年的數(shù)學教材。我們知道，數(shù)學知識具有很強的系統(tǒng)性，很多新知識都是在已有知識的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展起來的。即前面知識是后面知識的基礎(chǔ)，后面知識是前面知識的發(fā)展。正是因為數(shù)學知識的相互聯(lián)系，才形成了數(shù)學知識的整體性和連續(xù)性。由于數(shù)學知識本身是一個從簡單到復雜、從點到線再到面的不斷擴大體系的金字塔型整體知識結(jié)構(gòu)，只有從宏觀層面進行解讀，才能既達成初中3年的數(shù)學學段目標，又整體達成基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學課程目標。如初中幾何板塊中有“直線、射線、線段”這一內(nèi)容，而小學幾何板塊中同樣有這一內(nèi)容，如果不進行宏觀層面的教材解讀，往往就會重復小學的教學目標和內(nèi)容。事實上，小學數(shù)學教學的重點在于從生活中的現(xiàn)象抽象出直觀的“直線、射線、線段”等基本幾何圖形，直觀感知、簡單抽象是目標；而初中數(shù)學教學的重點在于用幾何的文字、圖形、符號等數(shù)學語言進行表達。兩次出現(xiàn)同樣的內(nèi)容，不是簡單的重復，兩者的教學立意和目標顯然是不同的。再如初中代數(shù)有“函數(shù)”的定義這一內(nèi)容，高中階段同樣有“函數(shù)”的定義，為什么要反復定義“函數(shù)”呢？事實上，初中階段的函數(shù)定位在“變量說”，也就是兩個變量之間存在著一定的相互依存關(guān)系；而高中階段的函數(shù)定位在“對應(yīng)說”，是兩個變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系。顯然高中階段的函數(shù)定義更一般，是初中函數(shù)定義基礎(chǔ)上的再抽象。

中觀層面解讀是指教師把某一章的內(nèi)容作為一個整體來解讀，同時把屬于這一知識板塊的所有內(nèi)容與這章內(nèi)容相聯(lián)系。現(xiàn)行初中數(shù)學教材大多采用混排方式，螺旋上升，時而代數(shù)，時而幾何，時而統(tǒng)計，時而概率，幾乎所有內(nèi)容在教材中都是時斷時續(xù)地出現(xiàn)。中觀層面的解讀不僅有利于一章內(nèi)容的整體把握，更有利于采用類比與對比的方法進行設(shè)計與教學。這一方面有助于學生數(shù)學學習經(jīng)驗的不斷積累，另一方面教師也可以借助經(jīng)驗提高教學的效能。如我們在學習七（下）“二元一次方程組”時，應(yīng)該把初中3年所有方程的內(nèi)容作為一個知識板塊來加以解讀，這時我們就要綜合考慮七（上）已經(jīng)學過的“一元一次方程”和八（下）將要學習的“分式方程”、九（上）的“一元二次方程”。基于我們在學習“一元一次方程”時是按照“定義、方程的解、解法、應(yīng)用”的基本思路和方法來進行的，所以“二元一次方程組”也可以按相同的路徑實施教學。同時考慮到“二元一次方程組”是在“一元一次方程”基礎(chǔ)上的推廣與拓展，利用“化歸”思想就可以知道“代入消元”和“加減消元”的理論基礎(chǔ)來自何方。

微觀層面解讀是指教師把一堂課的教學內(nèi)容作為一個整體來解讀，同時考慮這節(jié)課內(nèi)容的知識來源與知識走向。通常一堂課呈現(xiàn)的素材是“問題情境——知識形成——知識解析——知識運用與應(yīng)用”，微觀解讀實際上就是解決“知識從哪里來”“知識是怎么形成的”“學了這個知識有什么用”“這個知識向哪里發(fā)展”等問題。這樣一方面可以使每堂課形成一個獨立的系統(tǒng)，相對比較完整；另一方面通過解讀第一問和最后一問，可以把點狀的知識連成線，形成知識關(guān)聯(lián)，為知識線形成知識結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。如學習初二代數(shù)“分式”的定義這一課時，學生的數(shù)學現(xiàn)實（知識基礎(chǔ)）是小學的“分數(shù)”與初一的“整式”，學生的生活現(xiàn)實是會列出生活中簡單問題的代數(shù)式，而這些代數(shù)式中必然包含分式。因此，本課的解讀就可以從小學的“分數(shù)”到用字母表示數(shù)會產(chǎn)生新的代數(shù)式——“分式”，是從特殊走向一般。數(shù)、式學習主要服務(wù)于運算，類比數(shù)的學習，學了整式就需要進行整式的運算，對于兩個整式的加減（合并同類項）、乘（整式的乘法），初一都已經(jīng)學過，當兩個整式相除時，又會出現(xiàn)什么情況呢？再結(jié)合生活實例，所有的素材都指向“分式”產(chǎn)生的源頭，分式概念的形成可謂水到渠成。最后還可以通過“學習了分式的定義，你認為接下來會學習什么”的問題，引導學生通過類比整式的學習，對后續(xù)將要學習的分式的性質(zhì)、分式的計算和分式的應(yīng)用等發(fā)展性知識有所準備。

二、教材解讀的四個視角

數(shù)學教材看似只提供了簡單的情境素材、知識素材和應(yīng)用素材，每個教師都能讀懂，其實不然。因為教材中的素材是一個內(nèi)涵豐富的綜合體，不僅有顯性的知識素材，還有隱性的思想方法，不僅有知識之間的相互關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)，還有承載在知識技能與思想方法上的數(shù)學能力與數(shù)學素養(yǎng)，所以，從不同的視角出發(fā)可以讀出不同的內(nèi)涵。下面提供教材解讀的四個視角，期待給一線教師的教材解讀提供一點深層次的幫助。

“生活數(shù)學”視角是指在解讀數(shù)學教材的過程中，要抓住生活與數(shù)學的緊密關(guān)系，同步考慮數(shù)學與生活兩條主線，在生活情境中不忘融入數(shù)學問題，在數(shù)學研究中不忘解決生活問題。因為數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，是對客觀現(xiàn)象抽象而形成的科學語言與工具。所以，數(shù)學來源于生活，高于生活，優(yōu)于生活，又服務(wù)于生活。小學數(shù)學教材更多考慮的是從生活到數(shù)學的直觀感知；初中數(shù)學教材考慮從生活中來，到生活中去；高中數(shù)學教材則更多考慮從數(shù)學逐步深入地走向生活。由此可見，“生活問題情境（知識產(chǎn)生）——數(shù)學知識演繹（形成發(fā)展）——解決生活問題（知識應(yīng)用）”是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學教材的一條主線。如“反比例函數(shù)的定義”這一課，可以通過生活中的2個實例解讀先解決兩個量之間存在正比例關(guān)系與反比例關(guān)系的問題，為“反比例函數(shù)”名稱的引出作好鋪墊。從兩個量的關(guān)系變成兩個變量之間的關(guān)系，再通過三四個實例的解決，分別得出一次函數(shù)、正比例函數(shù)與新函數(shù)的定義，通過比較、分析，自然產(chǎn)生“反比例函數(shù)”的定義。在解讀定義內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，用反比例函數(shù)的定義解決數(shù)學與生活中的幾個實際例子，這就完成了“從生活中來，到生活中去”的完整循環(huán)。

“知識關(guān)聯(lián)”視角是指在解讀數(shù)學教材的過程中，單個數(shù)學知識要找到它的“生長點”與“延伸點”，多個知識要找到它們之間的相互聯(lián)系——既要找到知識之間的邏輯順序，又要找到知識之間的實質(zhì)性聯(lián)系，時時體現(xiàn)一條知識整體線。因為數(shù)學知識有其自身的結(jié)構(gòu)與體系，要通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，讓學生體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。由此可見，“知識背景——知識形成——相互聯(lián)系——知識運用”是教材中的又一條主線。如“整式的乘法”就是建立在“單項式乘以單項式”基礎(chǔ)上的知識關(guān)聯(lián)，一旦明白了單項式乘以單項式由“系數(shù)、字母及指數(shù)”確定的法則后，后面“單項式乘以多項式”“多項式乘以多項式”都可以通過不斷轉(zhuǎn)化“退”到最基礎(chǔ)的形式加以解決，而后面的“乘法公式”又可以解讀成是“多項式乘以多項式”的特殊情形，是從一般走向特殊。

“思想方法”視角是指在解讀數(shù)學教材的過程中，要把隱含在知識背后的數(shù)學思想方法予以揭示，使數(shù)學知識與思想方法這明暗兩條線，組成設(shè)計和教學的雙翼。事實上，數(shù)學知識與思想方法相伴而生。課程標準中“四基”的提出，明確了知識技能與思想方法的基礎(chǔ)地位。教學應(yīng)該從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動地、富有個性地學習。因為數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，所以，數(shù)學中一些重要的內(nèi)容、方法、思想需要學生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理解和掌握。由此可見，“知識——方法——思想”是教材中隱含的另一條主線，必須同步解讀到位，才能通過問題解決的過程性，達成“四基”目標。

“矛盾轉(zhuǎn)化”視角是指在解讀數(shù)學教材的過程中，把數(shù)學研究的問題作為一種事物，進一步脫去數(shù)學“外殼”，進行高度的提煉概括，逐步完成“生活——數(shù)學——哲學”的飛躍。事實上，生活與數(shù)學中包含了太多的矛盾對立統(tǒng)一體，如已知與未知、特殊與一般、有限與無限、運動與靜止、變化與不變、數(shù)與形、整體與局部、單一與多樣、直接與間接、正與反、一維與多維、簡單與復雜等。這些辯證觀念有助于學生理性精神的養(yǎng)成，對于初中生來說，這些正是著眼于未來的數(shù)學核心素養(yǎng)，一旦獲得，終身受益。如“三角形中三條重要的線段”這一課，教材給出的“三角形的角平分線、中線與高”是靜態(tài)的概念，為什么還要用一根橡皮筋做實驗?zāi)兀客ㄟ^解讀實驗的內(nèi)涵就可以知道，實驗是在線段BC上找一個動點D，通過一般與特殊的原理，找到動線段AD的三種特殊情形，即D為BC中點時，AD就是三角形的中線，AD平分∠A時，AD就是三角形的角平分線，AD⊥BC時，AD就是三角形的高。同樣，“垂線段最短”的結(jié)論也可以通過一個定點與一個動點組成動線段的長度，利用“一般與特殊”的關(guān)系得到結(jié)論。

三、教材解讀的五個維度

教材解讀的首要任務(wù)是解讀出顯性的數(shù)學知識技能與隱性的數(shù)學思想方法，教材解讀的最終目的是優(yōu)化設(shè)計，提高課堂效率，所以，除了上面重點解讀的數(shù)學知識與數(shù)學思想（抽象分析、推理論證、數(shù)學模型）兩大維度以外，還應(yīng)該包括更深層次的數(shù)學能力、數(shù)學意識、數(shù)學文化及價值觀三個維度。下面再談?wù)勗诮滩慕庾x過程中如何著眼于數(shù)學能力、數(shù)學意識和數(shù)學文化及價值觀的問題。

初中學生的數(shù)學能力主要是指運算能力、思維能力、數(shù)據(jù)分析能力和直觀想象能力，從數(shù)學學科基礎(chǔ)性功能看，還需要培養(yǎng)表達與交流能力，上述這些能力可以籠統(tǒng)地稱為發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的四大能力。初中學生的數(shù)學意識主要是數(shù)的意識、數(shù)感、推理意識和應(yīng)用意識，從時代發(fā)展的角度看還需要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。數(shù)學能力與數(shù)學意識是相輔相成的，能力提高有助于意識的形成，反之，意識的形成會促進能力的發(fā)展與提高。數(shù)學能力與數(shù)學意識的發(fā)展主要是依靠觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等過程而獲得。所以，教材解讀的主要工作就是從教材中的素材出發(fā)，設(shè)計有趣、有用、有挑戰(zhàn)性的問題，在高效的數(shù)學活動中體現(xiàn)主體性和過程性，進而在解決問題的過程中培養(yǎng)能力，發(fā)展意識。如“變量與常量”，教材提供了“列車從甲地駛往乙地，在16：17到16：22這個時段列車行駛過程中，哪些量沒有變化？哪些量不斷變化？并配圖示意時速為200km”的素材，我們可以通過以“問題串”體現(xiàn)“過程性”來達成能力培養(yǎng)和意識發(fā)展的目標，即，這個“行程問題”中涉及幾個基本的量？（路程、速度、時間）這幾個量之間是什么關(guān)系？（路程=速度×時間）運動過程中涉及幾個地方？（甲、乙）每一種狀態(tài)下涉及的量分別是什么？在每一種狀態(tài)下分別研究哪些量沒有變化？哪些量不斷變化？在學生得出結(jié)論后就可以給“常量”與“變量”下定義。

數(shù)學文化從狹義的角度看是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展。從廣義的角度看，除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美學、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關(guān)系等。數(shù)學文化走進中小學課堂，滲入實際數(shù)學教學中，主要是讓學生在學習數(shù)學過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學的文化品位，體察社會文化和數(shù)學文化之間的互動。數(shù)學的價值觀主要包括應(yīng)用價值、智力價值、精神價值、美學價值等。解讀數(shù)學文化和價值觀，需要我們把教材中有文化的元素和有數(shù)學育人價值的素材進行學科化解讀，并把這些素材滲透到教學設(shè)計與教學過程之中。如中國古代、現(xiàn)代在數(shù)學領(lǐng)域有很大的成就和貢獻，這些素材都可以通過數(shù)學化呈現(xiàn)給學生，中國有許多著名的數(shù)學家，他們研究數(shù)學的精神、習慣、方法等都是可以解讀的。

綜上所述，教材解讀是教學全程的開始，而課堂教學是教學全程的終端，教材解讀給課堂教學一個支點，只有找到了這個著力點，課堂教學才有基礎(chǔ)、支撐和保障。教材解讀可以從宏觀、中觀、微觀三個層面去分析，也可以抓住數(shù)學生活、知識關(guān)聯(lián)、思想方法、矛盾轉(zhuǎn)化四個視角去實施，還可以從數(shù)學知識、數(shù)學思想、數(shù)學能力、數(shù)學意識、數(shù)學文化及價值觀五個維度去挖掘。如果我們把數(shù)學教材的解讀做到位，就會有優(yōu)化的教學設(shè)計產(chǎn)生，進而把學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處。

（作者為江蘇省中學數(shù)學特級教師，現(xiàn)任職于江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）

本文是江蘇省“十二五”教育科學規(guī)劃（初中教育專項）課題“初中數(shù)學教材‘點全·線聯(lián)·面融式’課時解讀的實踐研究”的階段性研究成果之一，課題編號：E-c/2015/26，主持人：浦敘德。