核心素養：數學教學的本真使然（上）
2017-04-29 00:00:00卜以樓
初中生世界·初中教學研究 2017年4期
摘 要 積累和提升數學核心素養是數學教育的必然取向，通過數學抽象活動、數學推理活動、數學建模活動，能發展學生的數學意識，提升學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言描述世界的素養，增強學生的數學內涵，鍛煉學生的數學表達能力。
關鍵詞 核心素養 邏輯演繹 歸納推理 數學建模 概念教學
至今能檢索到的我國官方第一次提出“核心素養”的是2014年3月國家教育部印發的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中提出的要“研究制訂學生發展核心素養體系和學業質量標準”。這個命題一經提出就被教育界乃至社會各界所熱議，“正在成為新一輪課程改革深化的方向”，并將在相當長的一段時間內呈燎原之勢。它反映出培育數學核心素養是數學教學的本真使然，積累和提升數學核心素養是數學教育的必然取向。本文從數學核心素養的價值取向、實施路徑這兩方面談一些基本認識，將在下一期的文章中談一談數學核心素養的測量期許。
一、數學素養的價值取向
什么是核心素養？各個學科可能有不同的內涵和表述，但必須要具有相同的內在訴求和價值取向，那就是指“學生應該具備的適應終生發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”。我們只有找到對學生終身發展有用的DNA，才能在給學生打下堅實知識技能基礎的同時，又為未來發展預留足夠的空間。學科教學也只有給學生準備好必要的“泵”和“槳”，學生才能在未來的生活工作中有不竭的動力源。基于上述的價值取向，數學核心素養必須要凸顯下列3個方面的價值內涵。
1.數學素養是課程目標的本質訴求。
“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養”。不難看出，新一輪的數學課程改革，已經將課程的總體目標鎖定在數學核心素養上。這是這次課程改革最為濃墨重彩的一筆，這種大手筆的制作已在數學教學園地里開花結果，并形成了一道亮麗風景，令世人矚目。
通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，具有初步的創新意識和科學態度的數學課程目標，其經歷了20世紀六七十年代強調的 “雙基”教學的落實、80年代注重的思維能力的培養、90年代關注的創新能力的發展以及21世紀初確定的“三維目標”的勾勒這幾個具有標志性的理念創新和實踐探索時期，上述幾個過程再到現在的核心素養理念的形成和體系的建立，都凸顯出一種與時俱進的數學課程目標意識。我們可以簡單地認為，“落實‘雙基’是課程目標1.0版，三維目標是2.0版，核心素養就是3.0版”。從強調“雙基”到三維目標，不是數學學習與情感、態度、價值觀的簡單疊加，而是學生通過數學學習形成“雙基”，發展思維能力，培養應用意識和創新意識，增強自信心，產生愉悅的學習情愫，增進對學習價值的重新認識。從“三維目標”到核心素養，也不是“三維目標”與核心素養進行簡單的疊加，而是“育人目標、學科育人價值在不同教育階段的具體體現”。為此，從某種意義上講，“把數學教學放到數學教育的價值高度去認識才符合數學素養的要義”。這種從注重“雙基”到“三維目標”，再到核心素養，滿足了人們對數學學科的理性向往和數學教育價值的提升，是數學課程目標的本質訴求，也是數學素養定位的價值取向。
2.數學素養是數學學科的內蘊特性。
關于數學核心素養的問題，我們首先要思考的是數學這門學科在學生身上能夠產生哪些變化？對學生后續發展會有哪些貢獻？即要關注學生畢業以后，作為一個公民，學過數學和沒學過數學有什么差異，又要關注數學學科留給學生終身受用的東西是什么。然后以此為綱來確定課時目標，加工教學內容，選擇教學方法，開展數學活動，在此過程中來提升數學核心素養。
要回答這個問題，就必須回到數學學科的內蘊特性上來。“數學學科就其結構而言，可分為表層結構和深層結構”，它們分別對應著知識的表層意義和深層意義。數學符號、表格、圖像等數學語言所直接表述的數學概念、定理規則、邏輯命題等知識內涵和價值意義是數學的表層結構意義。而數學的深層結構意義是蘊含在數學知識內涵和價值意義之中或背后的精神、價值、方法論等方面的生活意義和文化意義。表層結構意義的存在方式是系統的、邏輯的、主線的、顯性的、明確的，它是可以言傳的數學知識。深層結構意義的存在方式則是分散的、滲透的、暗線的、隱性的、默會的，它是不可以言傳的，但它是學生核心素養形成和發展的根本。
由此，我們可以認為，數學素養的內涵是豐富的。“作為累積的數學素養、知識技能、興趣習慣、縝密的思維品質、個性獨特的學習經驗、合作與自信的人文精神等皆是一生可持續發展的基石”。即“數學素養是人們通過自身的實踐和認知活動所獲得的數學基礎知識、基本技能、數學思想和觀念，以及由此形成的數學思維品質和解決問題能力的總和”。如果我們僅把數學核心素養看成是一個在數學內部中的結構、模型或思想方法，那教學的價值還不夠深遠，數學教育對人的發展的反作用還取不到最大值。如果我們跳出數學活動來審視數學的學習過程，一定會有一種別有洞天的新視角。因為數學活動過程中，有“學生在獲取一定的數學知識、形成一定的數學技能的基礎上，通過長期的、有意識的數學活動影響，所形成的具有比較穩定的、自覺的數學意識和數學行為。它包括數學的問題意識、數學的觀察力、數學的思維推理、解題的方法與策略，自覺地運用數學的意識和能力，以及在這些過程中表現出來的創新意識、數學的美學價值及人文精神等方面的素養”。為此，數學學科的核心素養就在于讓數學學科內蘊特性與其數學活動產生教育的正能量，“讓學生在學習數學過程中的思維過程、方法策略內化為學生走向社會解決問題的基本認識、基本素質、基本態度及基本思想”，以及在其過程形成的思維品質和人格魅力。為此，我們可以認為，數學核心素養是數學知識技能、思想方法的物化形態。
3.數學素養是學科育人的自覺審視。
不言而喻，“任何學科的教學都不是僅僅為了獲得學科的若干知識、技能和能力，而是要同時指向人的精神、思想情感、思維方式、生活方式和價值觀的生成與提升。學科教學要有文化意義、思維意義、價值意義，即人的意義”。所以說，用學科的思維方式育人是學科教學的終極目標。即實現“‘幫助學生學會數學地思維’到‘通過數學學會思維’的轉變”。因此，我們有理由更加傾向于把數學核心素養歸結為：認識世界、解釋世界、征服世界、改造世界的建模能力，思路清晰、條理分明、言之有理、落筆有據的思維品質，勤于思考、認真細致、一絲不茍、崇尚真理的科學態度，勇于探索、善于合作、追求卓越、奮發向上的進取精神，突破常規、不迷信權威、樂于質疑、敢于創新的突破意識。
誠然，數學教學要注意升騰通過數學活動累積下的核心意蘊，要承擔起數學育人的教育擔當。數學核心素養歸根結底是關于人在其發展過程中所必需的核心素養，為此，要把數學教育聚焦到人的發展上來，那么其價值指向就是要培育學生的數學思維品質和數學思維方式以及在此過程中“經由‘理性思維’的學習與應用逐步發展起了‘理性精神’，也即由‘思維方法’不知不覺過渡到了‘情感、態度與價值觀’”。唯有內化形成了的數學核心素養才是學習數學后給人留下的東西，它是促進人生命成長的基礎，也是人的生命發展、提升、進階的催化劑、加油站、動力泵，這種理念的形成與實踐是數學教育人對數學學科教學的自覺審視。
二、核心素養的實施路徑
從上述數學核心素養的內涵界定中可以看出，數學核心素養其“內涵體現了數學課程目標的要求，更為注重學生適應社會生活必須具備的數學素養，更為強調數學在現實生活中的應用及其表現出來的特征”。它“反映數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的具有綜合性、階段性和持久性”的素養。這種基于數學的素養，“可歸納為三方面的內容，用六個字表達：抽象、推理、模型”。下面就從數學抽象、數學推理、數學模型三個方面來探討數學素養的實施路徑。
1.通過數學抽象活動，發展學生數學意識，提升學生用數學的眼光觀察世界的素養。
學習數學，就是通過具體的數學活動，開展有價值的思維，讓學生具備數學的眼光。這里要厘清的，一是眼光、眼界必須是數學學科所特有，是其他學科不具備的。二是要學會觀察，“數學的結果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的”，足以說明“看”與觀察的重要性。弄清上述這兩個問題本身也是我們數學教育人的一種數學眼光。如果將問題回歸到原點，就是要將外面的世界納入到數學的內部中來，或者準確地把與數學有關的東西遷移到數學中來，這個思維過程就是數學抽象。因此，要讓學生具備數學眼光，就得喚醒學生的數學抽象意識，訓練學生的數學抽象思維，發展學生的數學抽象能力。
眾所周知，概念教學是數學教學的最為重要的組成部分，而“得出數學概念的過程是典型的數學抽象的過程”，因此，扎實有效地開展概念教學，是發展學生數學意識，提升數學核心素養的著力抓手。
例如，同類項概念的建立，不是要直接告訴學生在用字母表示數的背景下來認識同類項，而是要讓學生在剛剛學習過用字母表示數的知識背景下，自發地、自主地在代數的數學抽象中建立同類項的概念。為此，可以構建下列教學活動，訓練學生的數學抽象能力。
同類項的概念可追溯到幼兒園、小學數學的學習中。在幼兒園、小學里的同類項是用最形象化的圖案（如：“
上述中的活動本質就是數學抽象，其教育價值是讓學生用數學的眼光觀察世界。這里面也有兩方面的含義，一是具備數學的眼光，主要通過幼兒園、小學學習的數學知識過渡到七年級中的代數世界里來實現。二是讓學生學會觀察，如何觀察，如何揭示本質屬性，教師要有方法性指導。同類項與字母的種類、次數有關，而與系數無關，就是觀察的本質，這種有層次、有順序、有方法的觀察，就是數學素養的顯現，要靠教育特有的“慢”功能才能逐步顯現出來。
2.通過數學推理活動，增強學生數學內核，提升學生用數學的思維思考世界的素養。
我們知道，數學推理是數學教學的最為重要的組成部分，也是數學學科有別于其他學科的本質特征。如果說，數學抽象是把外部世界中與數學有關的東西納入到數學內部世界中來，那么通過推理，可“得到數學的命題和計算方法，促進數學內部的發展”，所以說推理是數學的“命根子”。因此，扎實有效地開展數學推理，是增強學生數學內核，發展數學核心素養的有效引擎。
數學教育家G·波利亞說過，數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學是一門系統的演繹科學。但另一方面，創造過程中的數學，看起來更像一門實驗性的歸納科學。楊振寧先生在《我的生平》的演講報告中也曾說過：“我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學習和工作，我在中國學到了演繹推理，我在美國學到了歸納推理。”兩位大師都在揭示演繹推理、歸納推理就像一枚硬幣的兩面，是相互依存、相互作用的道理，這也為數學教育提供了實踐方向。
在教學實踐中，往往對邏輯演繹推理較為重視。這種思維方式對分析問題、解決問題起到很重要作用。例如，代數計算的進行、幾何定理的論證、幾何命題的證明，充滿著數字和符號，需要歐幾里得式的演繹推理，結構嚴謹而又科學，說明數學是一門系統性的演繹科學。但只重視演繹推理活動，就不利于發現問題、提出問題能力的培養，不利于創新能力和實踐能力的提升。因為就數學學習而言，一定充滿著假設、猜想、操作、嘗試、驗證等思維過程，這些思維活動正說明了數學又是一門實驗性的歸納科學。例如，在數學的創造中，代數中的運算概念的建立、運算順序的規定、運算律的探究、幾何中的“基本事實”的總結等等需要數學的歸納和綜合。
從方法論上講，歸納推理是講道理，演繹推理是重推理。“良好的數學教學活動，應突出數學的特點，揭示數學知識產生的自然性與合理性，既講推理，也講道理。即要既講推理和結論，也講道理和緣由。要基于感性發展理性，讓數學教學價值在教學過程中鮮活地流淌，讓數學教學活動閃耀理性、智慧的光芒”，讓學習數學知識和積累數學核心素養相輔相成、相得益彰。
3. 通過數學建模活動，鍛煉學生數學表達、提升學生用數學的語言描述世界的素養。
毋庸置疑，數學建模活動及數學模型是數學學科創新的顯著標志。“通過模型，人們創造出具有表現力的數學語言，構建了數學與外部世界的橋梁。”讓數學向外部世界輸送信息，讓數學走進生活，讓數學成為生產力，為人類創造財富服務。因此，扎實有效地開展數學建模，是鍛煉學生數學表達，凸顯數學核心素養的必由之路。
數學模型是數學特性的本質詮釋，數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。例如：
某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當的降價措施。經調查發現，在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件。如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元，襯衫的單價應降多少元？
這個問題的本質是，每件襯衫單價下降的數量（元/件），決定每件襯衫的利潤（元/件），同時也會決定銷售的數量（件），而每件襯衫的利潤與銷售數量的積又決定著銷售的總利潤。即模型中的一個基本量x，決定著第二個數量A、第三個數量B，而第四個數量C又與A、B存在A·B = C這一特殊關系。如果A、B都可以用基本量x的一次因式表示，則其模型就是一元二次方程的模型。如果A、B中一個可以用基本量x的一次因式表示，另一個可用基本量x的二次因式表示，則其模型就是一元三次方程的模型。余下類推。根據這個本質，生活中的行程問題、工程問題、物價問題、面積問題等等都可建立一元二次方程模型來解決。
有了模型，就有個如何表示這種模型的問題，這就涉及用數學語言描述這個世界的問題。數學上表示模型的方法固然很多，但是用“樣子+條件”來表示一個數學模型是常用的基本方法，這一點必須向學生交代清楚。例如：
需要說明的是數學抽象、邏輯推理、數學建模這三大能力不是孤立存在，而是三位一體相輔相成的。就上述實際問題而言，通過數學抽象得到一元二次方程的模型，對一元二次方程的求解，又必須在數學內部應用運算原理與規則，通過推理形式得到方程的解，有了方程的模型我們就可以用方程這個模型去刻畫這個現實世界中的某些問題。即是說方程的概念建立是抽象到模型，解方程則是模型到推理，用方程去解決問題則是問題到建模。
（作者為江蘇省中學數學特級教師，正高級教師，南京市寧海中學分校教師發展中心主任）
