真分數與假分數的質疑與思考

“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數，叫做分數。”（《小學數學教師手冊》第86頁）。關于分數的定義，科學準確。但對分數分類的標準問題，即真分數與假分數的概念，經過多年來的思考和探究，筆者有一些個人看法，現提出來供大家商討，以拋磚引玉，引發思考。

判斷真假分數

筆者認為：分子小于或等于分母的分數叫做真分數，真分數小于1或者等于1；分子大于分母的分數叫做假分數，假分數大于1。理由如下：

從分數的定義上看 把單位“1” 平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數，叫做分數。如果從極端考慮，假設把單位“1”分m份，可以把分成的m份全部取完，就可以得到分數，只是一個特殊的分數，它的值為1。如果按照現有教材對真分數的定義：分子比分母小的分數就叫做真分數，那么，也是真分數，而也是一種極端的情況，就是把“1”分成m份，一份也不取。如果是真分數，那么也應該為真分數，應為，這兩個分數都是極端的情況，也可以說它們兩個是一種特殊的真分數。如果規定為假分數，那么也應該為假分數，但的分子比分母小，按照真分數的定義應該為真分數，同樣在極端情況得到的兩個分數，不可能一個為真分數，一個為假分數。

從分數概念的本質屬性上看 真分數是把一個整體看作單位“1”，取出一部分后必然有剩余的一部分，整體是已知的單位“1”；一個真分數都可以找到另外一個相對應的真分數。如走一段路，已經走了全程的，那么就還剩下全程的沒有走。和相對應。同樣道理，走一段路，已經走了全程的，那么就還剩下全程的沒有走，和相對應，只是和是特殊的真分數。而假分數的整體是未知的，任意一個假分數都不能找到另外一個對應的假分數。因為可以找到和其對應的分數，所以，不能為假分數。

分數與百分數和小數的關系

從分數與百分數的關系看 當分數在表示分率的情況下，百分數可以看作是特殊的分數。比如，在種子發芽實驗中，如果實驗中全部發芽，種子的發芽率為100%，這是一個真實的事情，如果種子的發芽率為101%，這顯然是不可能的假事情。同樣的某班出勤率為100%，那么，缺勤率就為0%，如果說（100%）與（0%）是假分數，顯然與生活實際是不相符合的。數學來源于生活，應該與生活實際相統一。

從分數與小數的關系上看 小數是分母分別是10、100、1000……的特殊分數。目前，小學階段小數的分類按照整數部分可以分為純小數和帶小數。一個整數部分是零的小數叫做純小數，純小數比1小；一個小數的整數部分不是零的小數叫做帶小數或混小數，帶小數大于1或者等于1。顯然純小數與真分數相對應，帶小數與假分數相對應。由于0.9999999……是純小數，但0.9999999……等于1，顯然，純小數的大小是小于或者等于1，這樣就與新定義的真分數相一致。由此可以看出，純小數的定義應為：一個整數部分是零的小數叫做純小數，純小數小于或等于1，帶小數的定義應為一個小數的整數部分和小數部分都不是零的小數叫做帶小數或混小數，帶小數大于1。

從發展看自然數

自然數由數數開始。自然數最初的表示法是用一個符號代表每個物體。人類在認識自然數時，最初是從1、2、3開始，0的認識要晚一些，印度學者婆羅摩笈多于公元628年提出零的觀念，一般認為是首個接近現代意義上的0。從歷史上看，歐洲人起初認為0不是一個“自然”數。認為自然數不包含零的其中一個理由是因為人們在開始學習數字的時候是由“1、2、3、4、5……開始，而不是由“0、1、2、3、4、5……”開始的。國內外數學界一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。

目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了國際交流的方便，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》的《量和單位》中規定自然數包括0。按照原來真分數的定義：分子比分母小的分數叫做真分數，那么，分子是0，分母不是0的分數也是真分數，只不過是一種特殊的真分數。根據真分數的特性，是真分數，那么相對應的也應該是真分數，只是和是一種特殊的真分數，這與0是自然數，0也是一種比較特殊的自然數一樣，在數的整除部分的研究中，要將0除外，這也符合特殊與一般的辯證規律。

綜上分析與思考，筆者認為：分子小于或者等于分母的分數叫做真分數，真分數小于1或者等于1；分子大于分母的分數叫做假分數，假分數大于1。這樣分數的分類才比較科學、準確，也符合生活實際，同時前后知識才能相互融合，達成概念內涵與外延上的一致性，也符合特殊性與一般性的辯證規律。

參考文獻

[1]顧汝佐等.小學數學教師手冊[M].上海：上海教育出版社，1985.

[2]劉堅等.義務教育教科書數學五年級上冊[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[3]國家技術監督局標準化司.中華人民共和國國家標準和行業標準目錄[M].北京：中國標準出版社，1994.

（作者單位：陜西省咸陽市永壽縣教研室）