從“圓環的面積猜想”看數學思想方法的綜合應用

摘要：小學生在解決數學問題的過程中面對一個問題可能嘗試運用多種數學思想方法，這些數學思想方法之間不是完全獨立的，相互之間有聯系、有滲透，數學思想方法的綜合應用有助于學生多層次、多維度的深刻理解數學的內涵本質。以“圓環的面積猜想”為例，談一談數學思想方法的綜合應用。

關鍵詞：小學數學；數學思想；方法；綜合應用

G·波利亞指出，完善的數學思想方法猶如北極星，使人們找到正確的道路。如果說，數學的概念、性質、法則，公式、數量關系等基礎知識是解決問題的“兵力”，那么，蘊含于這些基礎知識發生與發展過程中的更深層次的知識——數學思想方法則是解決問題的“兵法”。數學解決問題能力的培養，既要重視“兵力”的調集，又要重視“兵法”的演練，才能達到聞一知十、觸類旁通的效果。

小學生在解決數學問題的過程中面對一個問題可能嘗試運用多種數學思想方法，這些數學思想方法之間不是完全獨立的，相互之間有聯系、有滲透，數學思想方法的綜合應用有助于學生多層次、多維度的深刻理解數學的內涵本質。下面就以“圓環的面積猜想”為例，談一談數學思想方法的綜合應用。

一、求同存異，節外生枝

（一）常規方法

六年級畢業總復習階段梳理平面圖形的面積會涉及到圓環的面積問題（如下圖）

大部分學生在解答這個題目時的方法是：

3.14x（62-42）

=3.14x（36-16）

=3.14x20

=62.8

教師在這里一般要點撥學生轉換：通常應用乘法分配律把3.14提到小括號的外面來計算比較簡單。

（二）節外生枝

在集體訂正之后，P同學舉手：“老師我還有不同的方法。”

（2×3.14x6+2x3.14x4）×（6-4）÷2

=（37.68+25.12）×2÷2

=62.8

二、借力打力，引發思考

在P同學說完算式后我一時沒弄清楚她是怎樣想的，于是追問：“能和大家說說你是怎樣想的嗎？”

P同學說：“我想象把圓環剪開再拉直，變成了一個梯形，按照梯形面積的求法求圓環面積。內圓周長相當于梯形的上底，外圓周長相當于梯形的下底，圓環的寬相當于梯形的高。”

或許P同學有著很好的幾何直覺，但這種想法是否正確當時我難以定奪，決定深挖出她的思維脈絡。

繼續追問：“能說說，你是怎樣想到這種方法的嗎？”

P同學說：“我們研究過刷房間的問題，需要粉刷前、后、左、右、上5個面的面積?？梢韵胂蟀亚?、后、左、右4個面展開、拉直成一個大長方形，原來長方形的底面周長相當于大長方形的長、原來長方體的高相當于大長方形的寬，即底面周長×高=側面積。我從那個問題聯想到將圓環也剪開、拉直變成一個梯形，按照梯形的面積方法求面積?！?/p>

回顧：五年級學習刷房間問題時的確討論過這種方法，請學生們想象長方體側面展開、拉直的過程，并親自動手折紙，觀察、操作、驗證，學生有這樣的數學活動經驗。

顯然P同學進行了類比推理，類比推理常常用于發現真理，但這種推理得到的結果是或然性的。

把圓環拉直？是否真的可以變成梯形？（畢竟曲與直之間有很大的差異）背后數學的思想方法又是什么？

出乎意料的想法讓我的大腦一片空白，把皮球踢給了學生：“同學們，這種想法到底是一個偶然的巧合還是有必然的規律呢？現在這種想法或許只能叫做猜想，你們能找到方法進行驗證嗎？”

三、先猜后證，解釋說明

（一）算數思維，舉例驗證

學生們很快想到了舉例子驗證的方法，同桌之間分別用圓環面積的一般方法和P同學類比梯形面積的方法求面積，再進行比較：

①R=8 r=-5

3.14x（82-52）

=3.14x（64-25）

=3.14x39

=122.46

（2x3.14x8+2x3.14x5）×（8-5）÷2

=（50.24+31.4）×3÷2

=81.64x3÷2

=244.92÷2

=122.46

②R=10 r=6

3.14x（102-C）

=3.14x（100-36）

=3.14x64

=200.96

（2×3.14x10+2x3.14x6）×（10—6）÷2

=（62.8+37.68）×4÷2

=100.48x4÷2

=100.48x2

=200.96

③R=20 r=15

3.14x（202-152）

=3.14x（400-225）

=3.14x175

=549.5

（2x3.14x20+2x3.14x15）×（20—15）÷2

：（125.6+94.2）×5÷2

=219.8x5÷2

=1099÷2

=549.5

舉出了許多例子之后，學生們大多認可這是一個規律。但是作為數學教師，我知道舉例子在數學上屬于不完全歸納法，得出的結論也是或然性的。

于是反問：同學們，我們舉出了一些例子，即使舉出10000個例子都是正確的，能夠保證第10001個例子也是正確的嗎？你們還有更好的方法能夠驗證這個猜想嗎？

一石激起千層浪，學生們由剛才的激動、興奮又進入了靜靜的思考……

（二）代數思維，字母推理

經過冷靜的思考和深入的討論學生們想出了用字母推理的方法，用字母推理的得到的結論具有一般性。

圓環面積=盯（R2_r2）

想象成的梯形面積=（20R+20r）×（R-r）÷2

=20（R+r）×（R-r）÷2

=π（R+r）×（R-r）

=π（R2-r2）

通過用字母推理終于可以驗證這個猜想了，圓環雖然不能拉直變成梯形，但我們可以想象圓環可拉直，從而類比得出面積求法。學生們感嘆這種“類比”想法的神奇，一致同意把這種想法命名為“P氏猜想”加以表彰鼓勵。

（三）幾何直觀，幫助理解

課上的時間有限，字母推理之后就下課了。課后我的心里久久不能平靜，一方面是激動于P同學能夠想出這種與眾不同的方法，另一方面是字母推理的方法雖然嚴謹但比較抽象，班里還有許多學生理解起來有困難。

課堂上不能只看到老師和學霸在秀恩愛，怎樣幫助有困難的學生理解呢？

波利亞說：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見，摸得著?！?/p>

如何能夠形象直觀地理解這種想法，就成了幫助有困難學生的思考方向。查閱資料后，在某版本小學學數學教材中的《數學萬花筒》欄目中看到了一個例子讓我眼前一亮。一個草繩編的杯子墊，沿著半徑剪開，展開后得到一個近似三角形。三角形的面積相當于圓的面積，三角形的底相當于圓的周長，三角形的高相當于圓的半徑。

學生們借助這幅情境圖，很容易想象出圓和三角形的關系。

進一步啟發學生，如果杯子墊不是圓形而是圓環，展開呢？學生們在頭腦中也能想象出來展開之后應該是梯形，圓環和梯形的關系也能想明白。圓環可以看做兩個同心圓，它們都轉化為三角形以后重疊，相差部分就是梯形（上底是內圓周長，下底是外圓周長，高是半徑之差），其面積也就是圓環的面積。

進一步演示圓環展開的flash動畫，幫助學生們觀察、驗證。

（四）極限思想，量變質變

圓環面積的背后還蘊含著怎樣的數學思想？能否讓小學生也感悟一下呢？

如果將圓環平均分害4成若干份，那么每1份相當于一個近似梯形，如果按照梯形面積公式計算：（上底+下底）×高÷2。

這是將圓環平均分害4為360份，如果無限分割下去，曲與直之間就逐漸重合，每1份的面積就無限接近梯形的面積。在這里兩個“無限”是理解極限思想的核心，小學生不需要嚴格的數學推理證明，展開想象能夠感悟到其中從量變到質變、以直代曲等核心觀點即可，這對于感悟數學思想方法、積累數學活動經驗具有重要的意義和價值。

四、回顧反思。提煉升華

（一）回顧反思，再發現過程

波利亞說過：先猜，后證——這是大多數的發現之道。P同學能提出這樣的猜想說明數學思想方法已經在她的頭腦中生根發芽了，研究“圓環的面積猜想”學生和教師像數學家那樣經歷一個“再發現”、“再創造”的思考過程，這對于培養創新能力具有非常重要的作用。因此我引導學生回顧反思“先猜后證”的發現過程，幫助學生們深化感悟其中蘊含的猜想驗證、推理、轉化與化歸、數形結合、極限等數學思想方法，積累思維活動經驗。

（二）兩次追問，暴露思維狀態

大家都知道，高斯是一個很有名的數學家，被稱為數學“天才”、“神童”。他一生發明了很多數學定理，發明了許多數學的概念和公式，我們都不理解這個人是怎么想出來的。有些歷史學家查閱過他的日記，從日記中才知道，高斯的每一個發現和發明都做了大量的實驗、大量的猜測、大量的演算，最后用定理表示出來。但他把這些計算過程、演算過程、發現過程統統都拿掉了。

歷史學家的結論是，高斯是一只狡猾的狐貍，用它的尾巴掃掉了行進的足跡。大部分數學家都是高斯這樣的。

本案例中通過兩次追問：1.你是怎樣想的？2.你是怎樣想到這個方法的？暴露出P同學的思維過程和思考方法，并與其他同學共享。這樣其他同學在學習的過程中不僅僅當一個旁觀者、旁聽生，更重要的是思維積極參與，吸收好的方法。交流、合作、分享不僅僅是形式的體現，分享好的想法能夠達到相互學習、取長補短，在智力上互相傳染、共同提高的效果。

（三）抓住關鍵，提升思維品質

陳省身先生說過：數學是自己思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。思考數學問題需要很長時間，但在中小學數學課堂上，常常給學生的思考時間較少，容易形成學生思維淺表化的傾向。圓環的面積猜想整個研究過程前后大約進行了一周的時間，在關鍵之處舍得花時間給學生提供探索、交流、質疑的時間和空間。如果沒有當初的節外生枝，恐怕也難以成就后面的精彩，持續深入的思考對學生和教師都具有重要的意義。在這個過程中師生都體驗到了克服困難的喜悅，增強了學習數學的興趣，思維品質也得到了提煉升華。

[責任編輯 牛賓國]