論計算機技術在數學建模領域的應用

趙晨浩

【摘要】 數學建模是通過數學語言構建約束條件，求解實際問題的過程。數學建模更側重解決實際問題，模型的設定具有主觀性，且涉及的學科領域十分寬泛。正因為這些特點，計算機在數學建模的領域的運用有其必要性，計算機模擬是數學建模中最為重要的運用。具體運用工具包括數學軟件、圖像處理軟件、統計軟件和編程軟件。

【關鍵詞】 計算機 數學建模 應用

前言

數學的研究是對模式的研究，而數學建模即是通過數學方法對現實規律進行抽象概括從而求解的過程。在自然科學領域，數學建模利用邏輯嚴密、體系完整的數學語言求解出了更為精確的方案。

而近年來，交叉學科的發展使得數學建模技術逐漸運用到了金融、經濟、環境等多個領域，重要性日益凸顯。而計算機本身強大的計算能力使得復雜的數學建模成為了可能，逐漸成為建模過程中必不可少的重要工具。

一、數學建模的主要特點

數學建模的分析流程包括：通過調查分析了解現實對象，做出研究假設，用數學語言構建約束條件，得出實際問題的解決方案。而數學建模與數學研究相比，有著自身的顯著特點。

1.數學建模與數學研究不同，更側重于解決實際問題。以2016年全國大學生數學建模競賽為例，四道題目分別為：系泊系統的設計、小區開放對道路通行的影響、電池剩余放電時間預測、風電場運行狀況分析及優化。可以看出，數學建模主要研究工業與公共事業規劃等應用問題，比純粹數學研究更為實際，更講究可操作性。

2.數學建模中的模型設定具有主觀性，合理修繕模型能夠得出更為精確的解決方案。對于同一現實問題，不同的模型設定者的思路、角度、約束條件等參數都有所不同，因而數學建模中的模型設定是具有主觀性的。在實際運用中，完美的模型很難建立，模型的多次修改與完善才能夠更好地達到預期的效果。

3.數學建模涉及的學科領域更為寬泛，一般需要運用海量數據和復雜計算。數學建模的運用領域涉及到工業規劃、環境保護、經濟管理等交叉學科，數據的種類與數量往往十分龐大，運算過程較為復雜，一般需要重復引用并多次計算。以全國大學生數學建模競賽2015年B題“互聯網+時代出租車資源配置”為例，涉及學科包括交通規劃、公共服務、人口學等領域，在建模求解中很可能將處理出行周轉量、出租車數量、人口數等大量數據。

二、計算機技術在數學建模運用中的主要功能

1.計算機為數學建模提供了海量計算與存儲的強大支持。自1946年2月世界上第一臺電子數字計算機ENIAC誕生開始，計算機的存儲與計算能力迎來了飛速發展。超級計算機的出現，更是使計算機的運行能力達到了新的量級。現如今，計算機的大容量智能存儲與超高速的計算能力，使得氣象分析、航空航天與國防軍工等尖端研究課題的數學建模成為了可能。

2.計算機為數學建模提供了更為直觀全面的多媒體顯示。目前，以計算機為載體的文字、圖像、圖形、動畫、音頻、視頻等數字化的存儲與顯示方式被大量運用，使得交互式的信息交流和傳播變得更加順暢。在數學建模中，多學科的涉及使得建模過程中的顯示、推斷與監測變得尤為重要，而計算機的出現大幅提高了信息傳遞、顯示、交互的效率。

3.計算機自動化、智能化的屬性與數學建模相輔相成，互相促進。在計算機的輔助下，程序能夠智能化地進行模型建立、模型漏洞的修繕，避免了低效率的計算過程。例如，某個關鍵數據或參數的修改，對于整個模型是“牽一發而動全身”的，計算機不僅能夠保存多個版本的計算結果，它的智能引用還能夠使得各項計算自動引用修改后的新數據，從而使整個模型時刻保持統一。

4.計算機模擬能在不確定的條件下模擬現實生活中難以重復的試驗，大幅降低了實驗成本，縮短了輔助決策的時間。由于在實際問題中，我們所需參數的值通常是不確定的，無法用數學分析的方法分析和建立數學模型，且通過大量實驗來確定參數的過程從時間、人力、物力等因素都要付出昂貴的代價，甚至從客觀上無法進行。而計算機通過歷史數據或者特定函數或概率關系能夠建立預測模型，得到目標值的概率分布從而輔助決策過程。

下面我們以經濟管理中的項目決策為例，簡要分析計算機模擬的強大功能。

假設我們要啟動某大型商場的建造，目標是利潤最大化，但項目成本與項目收益都是不確定的，我們便可以建立數學模型，輔助我們的投資決策過程。

（1）模型建立

建立基本的函數關系，構建目標變量。在本案例中，收入減去支出等于利潤為最基本的關系，而利潤最大化即為目標。

（2）具體參數輸入

分析每項變量的影響因素，收集相關數據。在收入中，決定因素包括了消費人數和人均消費額，這兩項參數又可由商圈人流量、地理位置、居民的人均收入、商場的檔次定位幾項參數決定。在成本中，商品成本、以廣告費用為主的銷售費用、管理費用、財務費用和非經常性項目構成了主要成本。值得注意的是，有些指標之間是具有相關性的，例如商圈地理位置將影響到租金，商場的定位將影響所售商品的成本，而銷售費用除了直接影響支出以外，在一般情況下也與收入成正相關關系。這些復雜相關關系的運算量很大，使用計算機能夠高效地實現計算和模擬。

（3）具體參數預測

分析每項細分參數的概率分布，控制輸入。可以通過靜態模擬和動態模擬進行預測。例如人流量、人均收入等都是不可控變量，可通過不斷的實時數據輸入進行預測，而銷售費用等變量可通過內部管理進行調控，可以使用特定比例等方式直接進行靜態預測。

（4）結果分析

根據各項變量的概率分布，我們可以根據不同變量的特定值進行組合，從而得到特定組合下的利潤值，最終得到利潤在其值域上的概率分布，從而輔助我們的決策過程。例如，在利潤為負（即虧損）的概率超過某個百分比時不啟動項目，在利潤超過某個值的概率超過某個百分比時啟動項目。

筆者認為，計算機模擬集合了海量存儲與計算、仿真與模擬等功能，是數學建模中最為強大的運用，大幅提高了決策過程的效率。現如今，計算機模擬已經在經濟管理決策、自然預測等方面起到了重要作用。

三、計算機技術在數學建模中的主要運用工具

3.1數學軟件

MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數學軟件，是數值分析計算、數據可視化等領域的高級計算語言，不僅能夠對微積分、代數、概率統計等領域進行常規求解，還在符號、矩陣計算方面各有特長。這些軟件是數學建模中運用最為廣泛的工具。

3.2圖像處理

（1）Photoshop：著名的圖像處理軟件，主要運用于平面設計與圖像的后期修飾。

（2）CAD：可視化的圖像處理軟件，能夠實現三維繪圖，廣泛運用于工程設計領域。圖像處理軟件能夠滿足部分建模問題中精確構圖顯示的要求，例如工程設計等問題，CAD的三維建模能夠有效協助決策分析。

3.3統計軟件

（1）R語言：免費開源的統計軟件，程序包可以實現強大的統計分析功能。

（2）SPSS：入門級統計軟件，能夠完成描述性統計、相關分析、回歸分析等基礎的統計功能。

（3）SAS：專業的數據存儲與分析軟件，具備強大的數據庫管理功能，廣泛運用于工業界。統計軟件能夠滿足數學建模中對于海量數據存儲與分析的要求，是建模分析中最為重要的工具。

3.4專業編程軟件

（1）C++：嚴謹、精確的程序設計語言，因其通用性與全面性被廣泛運用。

（2）Lingo語言：“交互式的線性和通用優化求解器”，是一種求解線性與非線性規劃問題的強大工具。專業的編程語言能夠結合、輔助其他類軟件進行程序編寫，完成特定情況下的建模、規劃等問題。例如Lingo語言，便能實現在規劃類問題中優化分析、模型求解等強大功能。

四、結束語

數學作為研究數量關系和空間形式的基礎科學，已經成為了解決眾多實際問題的重要指導思想之一。而計算機作為規模化、智能化、自動化的計算工具，將進一步擴展數學思想在眾多領域的基礎實踐。可以預見的是，廣泛運用計算機技術的數學建模理論，將不斷運用到社會發展各個方面，協助人類攻堅克難，在追求真理的道路上堅定前行、永不止步。

參 考 文 獻

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