交互作用不確定下的項目組合選擇魯棒決策

陶 莎, 盛昭瀚，朱建波

(1.南京大學工程管理學院, 江蘇 南京 210093；2.互聯網+與大數據時代的中澳重大工程管理合作創新聯盟)

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交互作用不確定下的項目組合選擇魯棒決策

陶 莎1,2, 盛昭瀚1,2，朱建波1,2

(1.南京大學工程管理學院, 江蘇 南京 210093；2.互聯網+與大數據時代的中澳重大工程管理合作創新聯盟)

項目間交互作用以及參數不確定性增加了項目組合選擇問題的復雜性和求解難度。研究帶有不確定項目收益交互和資源交互作用的項目組合選擇問題。建立魯棒性可調節的魯棒優化模型，通過模型逐步推導，建立與之等價的線性混合整數規劃模型。例舉一個研發項目的算例，用CPLEX求解并對實驗結果進行分析。結果表明，該方法可以靈活地控制最優解的魯棒性，適用于不同風險偏好的決策者，為項目管理者提供決策支持。

項目組合選擇；項目交互作用；不確定性；魯棒優化；可調節魯棒性

1 引言

項目組合選擇(Project Portfolio Selection)是項目管理和工程管理領域中最重要的決策問題之一。項目組合選擇是指在資源等約束條件下，從一個備選項目集合中挑選一個最合適的子集以實現一個或多個目標[1]。伴隨著項目交互作用、參數不確定性、多目標等特征的加入，項目組合選擇更加復雜且難以解決，從而引起諸多學者的研究興趣[2-4]。

早在1991年，Roussel等建議項目管理應考慮項目活動之間的相互影響關系，用整體和系統的觀點看待項目組合問題[5]。項目間的交互作用(Project Interaction/Project Interdependence)是指項目之間相互依賴或排斥關系、資源消耗的相互影響、項目收益的相互影響等關系[4-6]。項目交互作用增加了項目組合選擇問題的復雜度。Yu等[4]建立收益交互作用下的多屬性項目組合選擇的0/1整數規劃模型。楊穎等[6]考慮項目交互作用以及項目與企業戰略的匹配度，建立基于戰略一致性的項目組合選擇模型并設計模擬退火算法求解。

現實中的項目組合選擇問題通常面臨一些關鍵信息的不確定性，比如項目收益回報、資源可得性、資源消耗量等。針對帶有參數不確定性條件的組合選擇問題，許多學者用隨機變量或模糊變量刻畫不確定性參數，并利用隨機優化理論、模糊理論、風險價值模型等方法求解滿意解[2-3,7-10]。尤其，在現實的項目管理中，項目之間的相互影響涉及的要素眾多、關聯復雜，因此項目間的交互作用通常具有更嚴重的不確定性，難以估計其概率分布。魯棒優化方法正是應對的參數先驗概率分布未知的決策問題，以克服傳統隨機優化理論對假設和分布估計的依賴性[11]。魯棒優化中的不確定性參數用離散的情景[12-13]或連續的區間[14-15]描述。魯棒優化的目的是要找一個對不確定參數的變動不敏感(穩健)的滿意解，稱為魯棒決策方案。魯棒決策方案能在不確定參數變動的情況下，仍保持較高的質量，包括解的可行性和目標水平。Hassanzadeh等[15]研究了目標參數和約束參數不確定下的多目標項目組合魯棒優化模型。利用切比雪夫法處理多目標，再將模型轉化為等價的線性模型求解。考慮專家對項目的評價以及專家自身偏好的不確定性，Fliedner和Liesi?[16]研究多屬性項目組合選擇問題，并設計了一種魯棒性可調節的決策支持方法。然而，目前鮮少有學者研究考慮項目交互作用不確定條件下的項目組合選擇的魯棒決策問題。

基于上述分析，本文創新性地考慮項目交互作用不確定且概率分布未知這一現實特征，研究項目交互作用不確定條件下的項目組合選擇問題。

2 項目組合選擇優化模型

本文除了考慮資源約束之外，還考慮多項目間的收益交互影響、資源消耗交互影響兩種交互作用。首先，不考慮參數不確定性，建立項目交互作用下的項目組合選擇模型。

模型涉及的集合、參數和變量符號列表如下。

集合與索引變量P={1，…，|P|}備選項目集合，共有|P|個備選項目，i∈P；R={1，…，|R|}資源集合，共涉及|R|類資源，k∈R；V={1，…，|V|}收益交互影響集合，v∈B；U={1，…，|U|}資源交互影響集合，u∈U；Mv={1，…，|Mv|}產生收益交互作用v的項目集合，Mv?P；Nu={1，…，|Nu|}產生資源交互作用u的項目集合，Nu?P；已知參數bi項目i的基本收益，即不考慮項目之間收益交互影響的項目i的收益；ri，k項目i對第k類資源的基本需求，即不考慮項目之間資源交互影響時項目i對資源k的需求量；R-k資源k的總供給量；ev收益交互作用v引起的額外收益或損失。ev>0表示產生額外收益ev；反之，表示額外損失-ev；su，k資源交互作用u引起的對第k類資源的額外消耗或節省。su，k>0表示額外損耗數量su，k的資源k；反之，額外節省-su，k資源k；決策變量xi∈{0，1}項目組合方案是否包含項目i；yv∈{0，1}收益交互影響v是否生效；zu∈{0，1}資源交互影響u是否生效。

該問題可以建立為線性整數規劃模型[M1]。其中，目標函數(1)表示項目組合的總收益最大化。總收益包含各個被選擇執行的項目的基本收益總和∑i∈Pbi·xi，以及收益交互影響產生的額外收益/損失總和∑v∈Vev·yv。公式(2)表示資源約束，其中，∑u∈Usu,k·zu計算資源交互作用下的對資源k用量的額外節省/消耗，對第k類資源的基本消耗總量進行修正。公式(3)至公式(4)判斷每個收益交互作用是否生效。對于任意v，當且僅當Mv集合中的項目全部被選擇時，收益交互作用v才生效。其中，|Mv|表示收益交互作用v涉及的項目數量。類似地，公式(5)至公式(6)判斷資源交互是否生效。公式(7)定義三類決策變量。由于該模型中的|Mv|,|Nu|可以大于等于2，因此，模型[M1]不局限于兩項目間的相互作用，是多項目收益和資源交互作用下的項目組合選擇問題的一般數學規劃模型。

[M1] maxf=∑i∈Pbi·xi+∑v∈Vev·yv

(1)

(2)

(3)

yv≥∑i∈Mvxi-|Mv|+1,?v∈V

(4)

(5)

zu>∑i∈Nuxi-|Nu|+1,?u∈U

(6)

xi,yv,zu∈{0,1},?i∈P,v∈V,u∈U

(7)

3 魯棒優化模型

現實中的項目交互作用通常受到諸多關聯復雜的因素影響，具有不確定性且難以估計其概率分布的特征。基于上述確定性優化模型[M1]，當項目交互作用不確定時，即參數ev和su,k不確定時，進一步構建魯棒優化模型。

由于參數的概率信息未知，決策者對于任何可能發生的情景都沒有概率上的把握。這里情景的含義是不確定參數集合{ev,su,k}的任意一個確定性的取值。由于，情景的好壞直接影響決策方案選擇。尤其，糟糕的情景容易引起決策方案失效，如目標值沒有達到最優，甚至決策方案不可行。因此，決策者做出的決策需要能在一定程度上應對糟糕的情況，即決策方案應具有一定的魯棒性。

(8)

(9)

定義Υ,Γk滿足約束條件(10)和(11)，分別控制目標和任意資源k的交互參數的不確定性程度。顯然，Υ∈[0,1],Γk∈[0,1]。

∑vδv≤Υ·|V|

(10)

∑uσu,k≤Γk·|U|,?k

(11)

基于以上不確定性和不確定性的控制參數的定義，建立魯棒決策模型[M2]。在收益交互參數和目標交互參數的不確定程度(相對于標稱值)分別保持在Υ和Γk前提之下，模型[M2]求解應對最壞情景的最優決策方案，即魯棒決策方案，不妨記為x(Υ,Γk)。最壞情景是指使目標函數達到交互收益最小min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ]，且交互資源消耗量最多max[∑u∈Usu,k·zu|∑uσu,k≤Γk]的一組不確定參數的固定取值。

因此，當Υ,Γk取值越大，模型考慮的最壞情景越糟糕，求得的最優解的魯棒性也越大。因此，通過設置參數Υ和Γk，可以調節解的魯棒性。根據參數出現在模型[M2]中的位置(目標函數或資源約束)，不妨稱Υ為目標魯棒水平，稱Γk為資源約束k的魯棒水平。魯棒控制參數Υ,Γk的引入，實現了不同決策者可以根據自身風險偏好靈活地控制解的魯棒性，避免了傳統的worst-case法造成的過度悲觀和保守主義[11]。

然而，模型[M2]是非線性優化模型，難以求解。下面，為了將模型[M2]線性化，對其中的子模型進行推導。先將公式(12)中子優化模型min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ·|V|]轉化為等價模型[M3]，具體證明見文獻[11]。

同理地，模型[M2]中，公式(13)的子優化模型max[∑u∈Usu,k·zu|∑uσu,k≤Γk·|U|]可以轉化為模型[M4]。

[M2] maxf=∑i∈Pbi·xi+min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ·|V|]

(12)

(13)

約束(3)-(7)，(10)-(11)

(14)

s.t.∑v∈Vζv≤Υ·|V|

(15)

0≤ζv≤1,?v∈V

(16)

(17)

s.t. ∑u∈Uλu≤Γk·|U|

(18)

0≤λu≤1,?u∈U

(19)

s.t. ∑v∈Vζv≤Υ·|V|

0≤ζv≤1,?v∈V

s.t.∑u∈Uλu≤Γk·|U|

0≤λu≤1,?u∈U

綜合上述的模型推導過程，有以下定理成立。

定理：魯棒優化模型[M2]等價于線性混合整數規劃模型[M7]。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

ζv≥0,?v∈V

(26)

λu≥0,?u∈U

(27)ψk≥0,?k∈R (28) 表1 項目基本收益和成本

φ≥0

(31)

約束(3)-(7)

證明：建立模型[M4]的對偶模型[M8]。根據強對偶理論，[M4]和[M8]最優解的目標值相等。

[M8] max -Υ·|V|·φ-∑v∈Vζv

ζv≥0,?v∈V

φ≥0

同理，建立模型[M6]的對偶模型[M9]。

[M9] min Γk·|U|·ψk+∑u∈Uλu

λu≥0,?u∈U

ψk≥0

對于任意給定的魯棒水平Υ,Γk，容易求解線性混合整數規劃模型[M7]，得到滿足魯棒水平為Υ,Γk的最優項目組合選擇方案。

4 算例分析

4.1 算例描述

以國內某汽車企業投資研發項目為例。企業擬投資研發10個項目，經過市場勘察和調研，預計每個項目的收益和成本如表1所示。僅考慮資金這一種資源，研發預算不得超過300萬。估計項目間的收益和成本交互作用如表2所示。項目收益和成本交互作用具有不確定性，表示為區間[a-ξ,a+ξ]的形式，并且，參數在取值區間上的概率分布未知。由于算例只考慮了資金這一種資源，不妨將上述模型中與k相關的變量或參數的下標k省略。

根據表2，分別對收益和成本交互作用重新編號，定義集合V={1,…,5},U={1,…,4}，|V|=5,|U|=4。

所有計算實驗在CPU主頻2.20GHz、內存8GB、64位操作系統配置的個人計算機上運行實現。優化模型均在軟件MATLABR2013a上編譯，調用CPLEX規劃求解器求解。

表2 項目交互作用信息表

4.2 結果分析

不妨設置魯棒水平為Υ=Γ=0.5，用CPLEX求解模型[M9]，耗時1.4426秒，得到的最優決策方案為x=(1,1,1,0,0,0,0,1,0,0)，即選擇項目1，2，3，8構成的項目組合，總的收益目標值為3500。

為了研究不同魯棒水平Υ和Γ對最優解的影響。分別設置目標魯棒水平Υ和約束魯棒水平Γ的取值從0.00到1.00，以0.01為間隔，共計10201個不同魯棒水平的組合。計算每個魯棒水平組合下的魯棒最優解，統計結果，得到如圖1所示的目標值隨著兩種魯棒水平變化的情況。

從三維曲面圖1可以看出，最優目標值分別隨著魯棒水平Υ和Γ的增加呈遞減的趨勢。考慮兩個極端情況，當魯棒水平為Υ=Γ=1，參數的不確定程度最大，求解的魯棒最優決策方案為x=(0,0,1,0,0,1,0,1,0,0)，即選擇項目3，6，8構成的項目組合，總收益目標值為3220。該決策方案是對應最壞情景的最優方案，即魯棒性最高的決策方案。當Υ=Γ=0，最優解為x=(1,1,1,0,0,0,0,1,1,0)，即選擇項目1，2，3，7，8構成的項目組合，總收益目標值為4360。該方案是不考慮參數不確定(參數等于標稱值)的最優方案，方案的魯棒性最低。

接著，對兩種魯棒水平進行敏感性分析，分別固定Υ和Γ其中之一為0.5，令另一參數取值從0到1變化(以0.01為間隔)。則最優目標值隨著Υ和Γ分別變化的情況如圖2所示。可以看出，隨著Γ的增長，最優目標呈階梯式下降；而隨著Υ的增長，最優目標呈緩慢地逐漸下降。總體上看，最優目標值對資源魯棒水平Γ的變動而改變的幅度更大，敏感性更高。

下面，對10201次實驗的最優方案進行進一步統計分析，發現在所有的魯棒水平組合下，最優的項目組合方案共計10組，各最優方案產生的頻率如表3所示。從表3可以判斷，決策者風險偏好未知的情況下(任意的魯棒水平)，項目組合方案被選擇的概率。例如，項目組合方案{1, 2, 3, 8}在10201次實驗中，作為最優方案的次數最多，頻率最高，共計2659次，頻率為0.26。繼續考察單個項目的選擇情況，如圖3項目選擇頻率條形圖所示。可以看出，即使在項目交互作用不確定且決策者偏好不確定的情況下，項目3和項目8仍然具有較為穩定的優勢，分別以68%和74%的概率被選擇。而無論魯棒水平如何，最優方案都沒有選擇項目10。

圖1 不同目標和資源魯棒水平組合下的 最優目標值

圖2 魯棒水平的敏感性分析

圖3 項目選擇的頻率直方圖

綜上，決策者可以根據自身的風險偏好，通過調節魯棒水平參數Υ和Γ靈活地控制方案的魯棒性。并且，決策者可以統計和分析不同魯棒水平下的最優項目組合以及單個項目被選擇的情況，為進一步方案篩選和項目優劣勢評價提供決策支持。

表3 最優項目組合方案統計表

5 結語

項目組合選擇是項目管理領域最基本和最重要的決策問題之一。項目間交互作用和不確定性增加了項目組合選擇問題的復雜性。本文創新性地考慮了項目間收益交互和資源交互作用不確定性的特征，建立了魯棒性可調節的項目組合選擇魯棒優化模型，利用相關的優化理論，通過模型的逐步推導，建立對等的線性混合整數規劃模型。例舉一個研發項目組合案例，用CPLEX規劃求解器求解。通過設置不同的魯棒水平，進行了大量的計算實驗，并對結果進行了多角度的分析。探索收益目標和資源約束的魯棒水平對最優解的影響，統計最優方案以及單個項目被選擇的情況。結果表明，該魯棒優化模型可以靈活控制最優解的魯棒性，適用于不同風險偏好的決策者，為項目管理者提供有效的決策支持。研究的下一階段將致力于結合考慮決策主體不確定性的項目組合選擇的魯棒決策問題，設計綜合考慮客觀和主觀不確定性的魯棒決策支持系統。

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Robust Decision-Making of Project Portfolio SelectionwithUncertain Project Interactions

TAO Sha1,2, SHENG Zhao-han1,2，ZHU Jian-bo1,2

(1.School of Engineering and Management, Nanjing University, Nanjing 210093, China；2.Sino-Australia Collaborative Innovation Alliance for Megaproject Management in the Era of Internet+ and Big Data)

Project portfolio selection (PPS) is one of the most important basic problems in the field of project management. PPS is to select a subset of projects from candidates subject to resource capacity and some other constraints to realize one or more goals. By integrating some features, such as project interactions, parameter uncertainty and multiple objectives.The PSS is more complex and difficult to be solved. In practice, project interaction is influenced by many factors among which the relationships are uncertain and complicated.Consequently, the project interaction is usually with severer uncertainty and its probability distribution is difficult to estimate. Therefore, in this paper, the PSS problem with uncertain project interaction is investigated. At first, without considering uncertainty, the programming model is formulated to maximize the total profits for the PSS with two types of project interactions including profit interaction and resource consumption interaction. Then, the uncertainty of project interactions is taken into consideration. The uncertainty is defined as an interval with nominal value and the half-interval width. Two controller parameters called objective robustness level and constraint robustness level are also defined,which vary in the interval [0, 1].The objective robustness level and constraint robustness level control the robustness of objective function and constraints against the level of conservatism respectively. Based on the definitions of uncertainty as well as robustness level, the general robust optimization model is formulated.To solve the model, its robust counter part as a linear mix integer programming is derived on the basis of optimization theory. A case of R&D project portfolio selection is illustrated and numerous experiments are conducted to investigate the relationship among two robustness levels and the objective. Experiments show that the method can adjust the robustness of solutions, and thus can provide project managers who have different risk preferences with decision support.

project portfolio selection; project interaction; uncertainty;robust optimization; adjustable robustness

2014-08-07；

2017-01-06

國家自然科學基金重大項目(71390520,71390521)；國家自然科學基金項目(71571098,91646123,71671088,71501102，71471077)：南京大學優秀博士研究生創新能力提升計劃資助項目(201601B034)；南京大學博士研究生創新創意研究計劃資助項目(2016010)

盛昭瀚(1944-)，男(漢族)，江蘇人，南京大學工程管理學院教授，博士生導師，研究方向：社會經濟系統工程、社會科學計算實驗等，E-mail:zhsheng@nju.edu.cn.

1003-207(2017)04-0190-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.023

C934

A