高中導數理論的學習初探

高婭杰

世界上的實物是瞬息萬變的，因此，不斷認識事物的變化規律是我們面臨的重大問題。高中數學的學習不僅關注著事物內在的數量關系還特別重視變量之間的函數關系，研究函數的變化趨勢不僅是現實的需要，更具有十分重要的理論意義。在高中課堂中提出導數的概念，使我們更進一步理解了變量之間的關系，不可否認，導數在高考中占據著舉足輕重的地位，導數思想和方法也成為解決變量問題的基本工具，同時為進一步學習數學和其他學科奠定了基礎，因此需要我們認真學習，進一步研究。

導數在課本中是這樣定義的：設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，（x0+Δx）也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f（x）在點x0處的導數記為f'（x0），也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0，即。如果函數y=f（x）在開區間內每一點都可導，就稱函數f（x）在區間內可導。這時函數y=f（x）對于區間內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數y=f（x）的導函數，記作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡稱導數。導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻。不難看出，導數的幾何意義是函數曲線在點P0（x0，f（x0））處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率）。

導數理論的應用在高中數學的學習中是我們經常混淆的地方，因此我總結了以下兩個重點和難點：

1.通過導數判斷出函數的單調性

這一部分主要是利用導數的定義和題目所給條件判斷出函數的單調區間，可以運用數形結合的方法化抽象為具體，幫助我們更好的理解函數和函數單調性之間的關系。在高中課本中是這樣定義導數和函數單調性的關系的：如果在（a，b）內，f'（x）>0，則f（x）在這個區間內是單調遞增的，（a，b）則為f（x）的單調遞增區間。如果在（a，b）內，f'（x）<0，則f（x）在這個區間內是單調遞減的，（a，b）則為f（x）的單調遞減區間。我們必須牢記，當遇到判斷含參數函數的單調性這類題目時，不但要考慮參數的取值范圍還要根據函數的定義域來判斷f；'（x）的符號，否則可能會帶來誤判。通過做題經驗，我建議大家形成這樣的思想：“先求定義域，再求單調區間”。可以按照以下步驟來求解這部分題目：（1）確定函數f（x）的定義域；（2）求出導函數f'（x）；（3）通過f'（x）>0（或f'（x）<0）求出相應的x的范圍，再根據當f'（x）>0是f（x）在相應的區間范圍內是單調遞增的，當f（x）<0時，f（x）在相應的區間范圍內是單調遞減的。當確定了導數和函數單調性意見的關系后，我們就可以利用這種關系來求函數中含有某些參數的問題。這類題型一般會給出函數在哪個區間上是單調遞增的在哪個區間上單調遞減的，讓我們求參數的范圍。這時，求解參數的范圍實際上還是相當于求出函數的單調區間。需注意的是，題目中給出的單調區間一定是我們最后求出的單調區間的一個子集，我們便可以利用這個條件，通過集合的有關知識或者轉化為恒成立問題來求解。當然還可以利用導數來證明不等式f（x）>g（x）這類問題，需要我們先構造一個函數F（x）=f（x）-g（x），然后求出F（x）的導數，根據F'（x）確定函數的單調區間，利用函數的單調性證明題目要求的不等式。在求解上述類型題目時都要時刻牢記數形結合的運用，通過圖形化抽象為具象。

2.通過導數分析函數的極值

這部分要求我們學會根據已知導數求解函數的極值和最值，由于極值點和最值點的易混淆使這部分內容成為我們頭痛的地方，必須清楚認識極值和最值的區別。根據極值的定義我們可以知道取到極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值；極值指的是函數值，即當x為極值點時f（x）的值。另外，極值是一個局部概念，而函數的極值點必定會出現在這個區間內部，區間的端點不能成為極值點。在某些情況下函數的極值是不唯一的，要根據具體條件具體分析。在求極值時，我們一般先令f（x）=0，求出x的極值x ，再判斷x 兩邊f（x）的符號的變化，從而判斷出x 是否為極值點，再根據圖像和性質得出是極大值還是極小值點，從而進一步求出所對應的極值。當然還需要注意一點，雖然極值點出的導數一定是0，但導數為零的點不一定都是極值點，需要具體問題具體分析。不難發現，極值表現的是函數在某一點時的局部的性質，而最值則表示函數在整個定義域里的性質；極值只可以在區間內取到，而最值則可以在斷點處取到。因此，在求解導數f（x）在[a，b]上的最值時，可以將步驟規范如下：（1）求出f（x）在（a，b）內的極值；（2）將f（x）的各極值與區間端點值f（a）、f（b）比較，其中最大的則為最大值最小的則為最小值。

學習數學絕不是死記定理、公式，不是空洞的解題訓練，僅注重其形式化的表面，是無法把握數學的實質的。數學的存在和發展是基于某種實際需要的，了解這種需要，即數學各部分的作用，有助于對數學這個有機整體的認識，不假思索的接受，難以導致對數學的真正了解，因此親身接觸活生生的數學就顯得尤為重要。這就需要學習中對每個問題都能親自思考、透徹理解。我通常習慣于在遇到新概念時，自己先分析、推導一下它的性質；碰到定理、公式時自己先試著證明一下，這樣再學習書本上的內容時，與自己所思考的有種比較，對知識的體會就更多些，理解也能更深一點。眾所周知，數學需要嚴密的邏輯推理，但邏輯上的推理卻不足以代表數學的全部。如本世紀的大數學家柯朗所說："過分著重演繹公式的數學特性可能失之偏頗，創造性發明以及起指導和推動作用的直覺的要素才是數學理論的核心。"數學很重要的幾個因素就是邏輯與直覺、分析與創造、一般性與個別性，正是他們的綜合交錯作用才構成數學的豐富內涵。要學好數學，只有將自己置身于其中，親自去體會，才能發現數學的魅力。