高等代數教學方法的探討

何宏

【摘 要】 高等代數在高等數學教育中是一門尤為重要的科目，其中主要包括了高等代數的基本概念以及基本理論，高等數學教育中進行高等代數主要是為了培養學生抽象思維能力以及邏輯推理能力。目前，大部分學生在進行高等代數學習過程中，由于學生保持中學時期思維方式，導致對高等代數的理解掌握比較困難，因此需要進行教學方式的創新，以便學生能夠有效學習高等代數。

【關鍵詞】 高等代數；教學方法；學習過程；抽象思維

【中圖分類號】 G64.23 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）31-0-01

高等數學專業教育中進行高等代數教學，主要培養學生抽象思維能力以及邏輯推理能力。由于學生高等代數學習還保持著中學數學學習方式，導致學生在面對高等代數學習顯得力不從心，因此教師進行高等代數教學過程中，需要對學生采取一定的措施，改變學生固有的思維方式，以便滿足學生學習高等代數要求[1]。這就需要教師進行高等代數教學方法的研究，從而使得學生能夠有效進行高等代數學習，為培養學生的抽象思維能力以及邏輯思維能力提供有效的保障。本文將對高等代數教學方法進行有效探討，以此提高學生高等代數學習能力。

1.針對基本概念設計適當問題

高等代數具有概念多以及抽象等特點，目前所用的高等代數教材，一般都是在進行高等代數概念講解，之后附上一系列性質、定理的證明[2]。但是對高等代數概念的理解講解較少，從而導致學生在理解掌握高等代數有一定的難度，因此需要教師教學針對這一問題，進行一系列教學方式的改變，在進行高等代數概念講解過程中，有必要進行設計概念相關的例題進行針對性講解，題目設計要保證簡單明了，同時能緊扣高等代數基本概念。在此基礎上才能使得學生對高等代數概念能夠進行有效的理解掌握，從而為以后的高等代數學習奠定夯實的基礎。

例如，教師進行講解定理2.3.1時：F[x]的任意兩個多項式f（x）與g（x）二者之間存在最大公因式，在一個零次因式之外，f（x）與g（x）還存在一個最大公因式，換一種說法，就是d（x）是f（x）與g（x）的最大公因式，因此F的任何一個不為零數域的數，并且有且只有一個乘積符合f（x）與g（x）的最大公因式。

證：先進行證明定理的前半部分，如果f（x）等于g（x）且都等于0，因此根據題目定義得知，f（x）以及g（x）的最大公因式就是0；

如果f（x）與g（x）相等且都不等于0，舉個例子說：g（x）不等于0，應用帶余除法進行以下步驟，用g（x）去除f（x），得到結果式子為Q1（x）以及余式R1（x）；

如果R1（x）不等于0，然后通過再以R1（x）去除g（x），得到結果式子Q2（x）及余式R2（x）；

如果R2（x）不等于0，再通過R2（x）除R1（x），一直不為0，就一直循環除法，由于余式的次數每一次都得到了降低，因此進行了有限次循環除法之后，就必定會得出這樣一個余式Rk（x），它整除前一個余式R1k（x），通過統計循環運算，我們得到一串等式：

f（x）=g（x）q1（x）+r1（x），

g（x）=r1（x）q2（x）+r2（x），R1（x）=R2（x）q3（x）+R3（x）……（1）

R3k（x）=R2k（x）q1，k（x）+R1（x），R2k（x）=R1k（x）qk（x）+Rk（x），R1k（x）=Rk（x）q，1k（x）=R2（x），在此基礎上就可以進行說明Rk（x）就是f（x）與g（x）的一個最大公因式。

通過（1）的最后一個等式說明rk（x）整除R1k（x）；因此得，rk（x）整除倒數第二個等式右端的兩項，因而也就整除R2k（x）；同理，由倒數第三個等式看出rk（x）也整除R3k（x）。如此逐步往上推，最后得出Rk（x）能整除g（x）與f（x）；這就是說，Rk（x）是f（x）與g（x）的一個最大公因式；其次，假設h（x）是f（x）與g（x）的其中任意一個公因式，由此通過（1）的第一個等式知道，h（x）也一定能整除R1（x），同種方法下，由第二個等式，h（x）也能整除R2（x）

經過循環計算往下推，可以得到h（x）能整除Rk（x）。Rk（x）的確是f（x）與g（x）的一個最大公因式。在此過程中，證明了任意兩個多項式都存在一個最大公因式，同時在進行教學過程了解到一種新的最大公因式求法，這種方法叫做輾轉相除法[3]。

2.補充典型例題，鼓勵一題多解

對于一些高等代數基本概念的理解掌握以及實際解題應用，一般情況下學生通過大量做題鞏固對知識的理解掌握。因此教師可以在書本上原有例題基礎上，進行補充綜合性較強例題進行講解，同時鼓勵學生使用多種方法進行解答。此外，教師在進行經典題型講解過程中，要注重詳細講解解題思路，同時將個人的題目分析過程講解給學生。在解題之后，對例題進行綜合性分析，主要包括例題涉及的概念、公式以及解題步驟[4]。如此能夠有效使得學生加強對例題的理解掌握，同時對高等代數概念能夠進行有效復習鞏固。

例如：教師進行n（n>2）個多項式互素的情形講解，如果多項式h（x）能夠進行整除多項式f1（x），f2（x），……fn（x）中的任意一個，由此就可以說明h（x）是這n個多項式的一個公因式。

如果是f1（x），f2（x），……，fn（x）的公因式d（x）都能夠被n個多項式的任意一個公因式進行整除，由此d（x）叫f1（x），f2（x），……，fn（x）中的一個最大公因式。

根據以上就可以簡單推導出，如果d0（x）是多項式假設是f1（x），f2（x），……，fn-1（x）的一個最大公因式，因此d0（x）與fn（x）多項式的最大公因式也是多項式，如果是f1（x），f2（x），……，fn-1（x），fn（x）的最大公因式。

根據相關證明可得，兩個多項式的最大公因式一定是存在的，因此n個多項式也一定是存在最大公因式的，同時在進行求多項式最大公因式過程中，可以通過累次應用輾轉相除法進行求出多項式的最大公因式。與兩個多項式的求法一致，n個多項式的最大公因式也只有常數因子的差別。n個不全為零的多項式的最大公因式指的是最高次項數是1的那一個。那么n個多項式f1（x），f2（x），……，fn（x）是最大公因式就是唯一確定的。我們用符號（f1（x），f2（x），……，fn（x））表示這樣確定的最大公因式。

最后，若是多項式f1（x），f2（x），……，fn（x）除零次多項式外，沒有其它公因式，就說這一組多項式互素。教師在進行證明過程中需要注意，n（n>2）個多項f1（x），f2（x），……，fn（x）互素時，它們并不一定兩兩互素。例如，多項式f1（x）=x2-3x+2，f2（x）=x2-5x+6，f3（x）=x2-4x+3是互素的，但（f1（x），f2（x））=x-2。

3.結語

綜上所述，高等代數作為高等院校數學專業一門基礎性課程，高等代數的教學目的主要培養學生的邏輯思維能力以及推理能力，然而高等代數課程概念十分抽象，同時學生又保持中學時段的思維模式，導致高等代數教學變得困難。因此在教師教學過程中需要針對基本概念設計適當問題及補充典型例題，鼓勵一題多解等教學方法探討，以此為高等代數教學質量奠定夯實的基礎。

參考文獻：

[1]汪國軍，徐清舟.基于問題探究式方法在高等代數教學中的應用——以浙江大學為例[J].許昌學院學報，2014，05：120-123.

[2]陳靜.初中起點六年制本科小學教育專業（數學方向）高等代數課程的教學探索[J].湖南第一師范學院學報，2014，03：18-20.

[3]劉心，李敏.《高等代數與解析幾何》課程一體化教學內容與方法的優化研究[J].大連大學學報，2015，03：135-137.

[4]黎愛平.以就業為導向的《高等代數》課程教學改革與創新——以上饒師范學院為例[J].上饒師范學院學報，2013，06：13-18.