利用幾何畫板，助力“二次函數”課堂教學

朱社義

浙江省臨安市島石中心學校

摘 要：幾何畫板能準確地展現幾何圖形，揭示幾何規律，側重過程教學，動態地再現數學知識的發生、發展和形成過程，開創了教與學的新方式.幾何畫板的應用，能最大限度地調動學生思維的積極性和創造性，潛移默化地促使學生自主學習.本文在教學實踐的基礎上，結合一些典型的教學案例，從選擇函數探索圖象，分析圖象研究性質，函數變換動態演示，觀察最值總結規律。四個方面較深入地闡述了幾何畫板在初中數學教學中的具體應用，從而促進信息技術與數學教學的有效整合，提高教學效率。

關鍵詞：幾何畫板；二次函數；圖象

幾何畫板將函數圖象從紙面上轉移到了電子屏幕上來，這樣就使圖形更加規范，變換更加順暢，有效的提高了課堂效率。我們所熟知的幾何畫板通常應用在幾何圖形的繪制上，在函數圖象上的應用體現了幾何畫板的拓展性。在使用時，要注意到以知識為主，以軟件為輔，重點以教師演示為主，不要求學生掌握軟件，避免喧賓奪主。下面筆者從四個方面進行闡述。

一、選擇函數，探索圖象

學過二次函數的人都知道，二次函數的圖象是一個拋物線。拋物線的概念學生在生活中也不陌生，二次函數的學習將這個概念搬到了書本上。對于初學者來說，可以從圖形和解析式兩個方向同時學習，教師建立函數的同時也生成圖象，讓學生有一個完整的認識。

在教材中，二次函數安排在了九年級上冊第一章，自此開始，函數世界的大門真正向學生打開，更加復雜的函數圖象也即將與學生們見面。相比于一次函數的圖象是一條直線，二次函數中多了一項乘方運算，而函數的變化也更加復雜，[x2]是變量變化的一個積累。那么二次函數的圖像又會是怎樣？變化規律又會是怎樣？它又有哪些性質呢？等一系列問題開始困擾學生。我從一個例子開始給學生演示“同學們，我們現在開始探索二次函數[y=x2-2x+1]圖象，很顯然在學生還不知道二次函數圖象時是很難畫出完整圖象的，特別是對于最低點，對稱性等。如果這時能夠借助幾何畫板，用點[x，x2]，的，軌跡來構造函數圖象那就太好了，學生可以一目了然。

很清楚的看出[y=x2]的圖象是一條拋物線，函數的最低點是原點，對稱軸是[y]軸，以及圖象的增減性等。這對學生來說是一個函數的整體印象的把握，這就體現了幾何畫板

的函數圖象功能，為進一步教學的開展做出了準備。有一就有二，函數圖象創建出來之后，就有了發揮的空間。[y=x2-2x+1]”可以說是最簡單的二次函數，我們從簡單的入手再畫幾個二次函數的圖象例如[y=-x2]，[y=x2-2x+1]，[y=ax2+bx+ca≠0]從簡單到復雜，從特殊到一般，運用幾何畫板可以快速的得到它們的圖象，這也體現了運用幾何畫板可以提高課堂效率，對于運用幾何畫板作圖還可提高學生學習數學的積極性和創造性。

二、分析圖象，研究性質

函數的性質是學習函數部分的關鍵所在，有了幾何畫板的幫助，我們就可以非常方便地繪制出函數圖象，通過函數的圖象來分析函數主要的性質。總結規律需要較多數量的個例分析，而幾何畫板恰好提供了一個“無限”的函數圖象庫。

我們以[y=x2-2x+1]為著手點，我在演示函數圖象時，就已經繪制出了函數圖象。

對于該函數的圖象，我們可以發現，函數圖象呈左右對稱的形態，對稱軸為直線[x=1]。函數與[x]軸有一個交點，與[y]軸有一個交點。函數的最小值為0，最低點為（1，0）。通過對函數圖象的解讀，我們發現了很多性質，那這些性質是[y=x2-2x+1]獨有的，還是二次函數共有的性質？帶著這種疑問，我們繼續繪制圖象。接下來我有選取了[y=x2+2x+1]、[y=-x2-3x+1]、[y=x2-2x+3]等多個函數，一一進行圖象的繪制，并尋找圖象的性質，最終發現這些函數既有共同點又有各自的特性。共同點是二次函數都具有相同的形狀，即拋物線型，開口方向有上有下；每個拋物線都具有一條對稱軸，對稱軸對應了函數取最小值的那一點。不同點是函數圖象與橫軸的交點有較大差異，函數最多與[x]軸有兩個交點，最少也可能沒有交點。從圖象上得出的性質都是直觀的，同時也是非常重要的性質，如果僅從解析式上很難總結得出。既然函數圖象已經繪制出來，再結合解析式，我們就可以將函數的各項性質完整地表達出來。在分析了圖形中的性質之后，我又引導學生進行增減性的函數性質分析，同時將函數解析式與圖象進行對應，收到了良好的效果。

數形結合的思想是研究數學的利器，通過幾何畫板生成函數圖象的便利，學生在學習函數性質時不再是“被教”而是主動去探索，這對學生整個學習體系的建立、學習習慣的形成都是一個重要的契機。

三、函數變換，動態演示

二次函數具有三個參數，即二次項系數、一次項系數和常數項。如果已知了二次函數的三個參數，那么整個函數也就確定出來了。幾何畫板的一大優勢就在于可以通過拖動已經形

成的圖象從而改變參數。利用這一功能，我們可以更好地研究各項參數對函數的影響作用，一目了然。

我們知道二次函數的圖象有兩個重要的形狀指標，即開口大小和開口方向，它的位置指標有四個方向，上下左右。開口方向我們可以從二次項系數的正負輕松判斷出來，但是開口大小受什么因素影響呢？我們通過保持函數的水平、豎直位置不變，拖動曲線，使它的開口大小發生改變，觀察原解析式的變化。我們可以在函數顯示的窗口發現，隨著開口的變大，二次項系數是逐漸變小的。再來看函數圖象的位置影響因素，隨著函數圖象的拖動，我們發現函數的參數變化雜亂無序，很難分析特點。這是因為解析式的“看法”不對，我們換一種形式看即可。比如[y=x2-2x+1]。

我們應當把它化成[y=x-12+0]，這樣一來，當函數位置發生變化時，對應的“1”和“0”也發生著變化，并且變化的幅度是一致的，我們就摸清了函數位置的影響因素就是化成平方式之后的兩個參數。通過我們的圖像演示發現，函數在產生左右平移時，最大最小值不發生變化；在上下平移時，最大最小值發生改變。在學生理解時，可能會出現誤區，比如說到平移，就認為是常數項的改變，這是比較籠統的。在豎直方向上的平移取決于常數項的變化，這是因為在y值上加減某一個數，就直接作用在了常數項上。但是對于左右平移，要作用在x上，這就體現了整個式子都要發生改變，但是不像上下平移那么直接，需要進行一步運算，如[y=x2-2x+1]向左平移3個單位，就是變成[y=x-1+32]，即[y=x2+4x+4]。

通過圖象的變化，學生能夠理解變化中的影響因素是主要目的。幾何畫板的應用讓這一過程變得可視化，學生理解起來會更容易。沒有萬能的公式，在函數的變換中獲取知識，才是“萬能之道”。

四、觀察最值，總結規律

函數方面的題目，出題點最多之處莫過于最值問題，同樣我們在二次函數的教學中也把最值問題當做重點來講解。二次函數的最值問題可不僅僅是圖象上顯示的“峰值”這么簡單，而是要與取值范圍、函數圖象開口方向等來聯系緊密。

從函數圖象上進行分析，當沒有約束條件時，開口向上的函數有最小值，無最大值；開口向下的函數有最大值，無最小值。最值的取得是在對稱軸線上取到的值，最值為對稱軸對應的[x]值代入函數所取得的[y]值。假設函數解析式為[y=ax2+bx+ca≠0]，那么對稱軸就是[x=-b2a]相應的最值代入[x]值即可。但是求最值的問題往往沒有這么簡單，當函數有一個取值范圍，而恰巧的是，在取值范圍內還取不到對稱軸所對應的[x]值。利用幾何畫板，我標亮了取值范圍，圖象的取值就像被“刀子”切割了一樣，那么最值取多少就一目了然了。通過幾組練習，學生逐漸掌握了這樣的分析方法。當約束只能取到[-1≤x≤2]這樣的條件時，對于一些開口向上的函數就可以取到了最大值，如上圖所示。再如當函數圖象是一個動態函數時，例如點A，B的坐標分為（1，4）和（4，4），拋物線[y=ax-m2+n]的頂點在線段AB上運動，與X軸交于C，D兩點（C在D的左側），點C的橫坐標最小值為-3，問點D的橫坐標最大值為？像這類題目如果僅用黑板分析，那么很多同學理解起來就比較困難，因為圖象的動態比較抽象，如果這時我們能借助幾何畫板來演示這個動態過程，如圖：

那么肯定會大大降低這個題目的理解難度，而且還可以提高學生學習數學的興趣。

從研究最值的過程中，學生收獲的不僅是一個結論，更重要的是解決問題的能力。在練習、考試中，學生還會面臨其他的最值問題，甚至可能遇到沒見過的函數，掌握了方法才是關鍵所在。

以上就是筆者在自身的教學實踐中總結的幾何畫板應用實例，過程中難免有所疏漏，敬請各位同仁進行指正。幾何畫板的應用，能最大限度地調動學生思維的積極性和創造性，潛移默化地促使學生自主學習的教學工具，作為教師絕不應當喪失學生般的“學習精神”，對于這些先進的教學方法應當及時學習，及時掌握，與學生在不斷的配合中逐步提升教學效果。

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