突出本質事半功倍
——從一道解析幾何試題談高三復習的幾點體會

☉江蘇省西亭高級中學 戴黃亮

突出本質事半功倍
——從一道解析幾何試題談高三復習的幾點體會

☉江蘇省西亭高級中學 戴黃亮

如何搞好高三數學復習？很多教師的做法是刷題，筆者則認為靠題海來提升分數是不可取的，高三時間寶貴，如果不注重策略，不僅不容易收到短時間的成效，還會造成學生學習心理的負面影響，導致不必要的丟分，怎么辦呢？筆者認為我們的復習要抓住數學的本質.數學本質屬于數學哲學范疇，人們從不同的角度看數學，便對數學的本質有不同的認識.張奠宙教授在討論數學本質時指出其內涵是：數學知識的內在聯系；數學規律的形成過程；數學思想方法的提煉；數學理性精神等.本文結合筆者在和學生復習“解析幾何”時遇到的一道題為例，談談自己對高三復習的一些粗淺的體會.

一、例題呈現

（1）求橢圓C的方程.

（2）若P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：|AN|·|BM|為定值.

方法一：語言轉換.

設P（x，y），則x2+4y2=4（.由已知P是橢圓C上一點轉

0000換）

由（1）知，A（2，0），B（0，1）.

直線PA與y軸交于點M轉換）

當x0=0時，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2，所以|AN|·|BM|=4.

綜上，|AN|·|BM|為定值.

方法二：利用參數方程.

參數方程，可以使參與運算的量減少，并且，有時候參數的幾何意義亦可使運算更為簡潔.

綜上，|AN|·|BM|為定值.

評注：方法二雖然使用參數方程作為切入點，但整體的思路還是幾何語言與代數語言的相互轉化.

二、例題的復習啟示作用

1.復習要關注主干知識

從上面的例1我們可以得到的啟示有很多，其中有一點就是我們的復習必須抓住高考熱點問題，要借助于例題的設置來突出高中數學學習階段的核心知識、主干知識.與此同時，要盡可能地挖掘例題的復習教學功能，盡可能深入地研究問題的本質，如例1將考查的重點放在用代數方法研究幾何性質上，突出解析幾何的本質特征.

其實我們高中數學階段的高考熱點集中度較高，對于江蘇高考而言，“三角函數”屬于重點、熱點問題，同時也應該注意到這一部分知識因其公式繁多，靈活多變，特別是涉及證明與化簡的問題，要讓學生理解并不難，但是要活用也不易，對初學者更是如此.我們可以精選例題.如筆者在和學生進行復習時，選擇了如下例題.

這是一道三角函數的證明題，其等式左邊的分子與分母是α、3α與5α角的正余弦的和，右邊是3α角的正切值，形式優美，和諧簡潔.

2.引導學生進行一題多解

“一題多解”是有效發散學生思維的重要抓手，引導學生進行一題多解，其復習價值在于引導學生從多個視角挖掘與問題相關的數學本質，例1作為高考題可以一題多解，例2的解法也有很多.

解法3：利用角變換解決.從分析法可知，只需證sin2α=sin2α，可以嘗試構造sin（3α-α）=cos（5α-3α），等式的左右兩邊分別利用兩角差的正、余弦公式，順勢展開便可以得到sin3αcosα-cos3αsinα=cos3αsin5αsin3αcos5α，再進行移項可以得sin3αcosα+sin3αcos5α= cos3αsinα+cos3αsin5α，為了等式兩邊產生公因式，需添加項，即兩邊同加sin3αcos3α，得sin3α（cosα+cos3α+ cos5α）=cos3α（sinα+sin3α+sin5α），得sinα+sin3α+sin5α cosα+cos3α+cos5α =tan3α.

3.適當地進行變式探究

為了更為有效地發展學生的思維，幫助學生克服思維定勢，最終其能力能夠達到高考的要求，我們的問題設置還應該具有連貫性，即在原有問題解決的基礎上進行必要的拓展和變式.

例如，基于上述例2的解法，我們可以對其進行以下變式.

此類問題涉及的數學知識和證法也很多，這些實際上都是數學問題的本質所在.本文就不一一類舉，給出一種較為簡單的證法：

有時結合例題和變式，從問題的解答過程和結果出發，我們還應該引導學生進行必要的推廣，例如，上述問題可以得到下面的推廣：

推廣1：若sinα+sin3α+…+sin（2n-1）α=a，cosα+ cos3α+…+cos（2n-1）α=b，b≠0，則tan（nα

推廣2：若sin2α+sin4α+…+sin2nα=a，cos2α+cos4α+…+cos2nα=b，則tan（n+1）

推廣3：sinα+sin（α+β）+…+sin（α+2nβ）=a，cosα+ cos（α+β）+…+cos（α+2nβ）=b，b≠0，則（n∈Z）.F