數學習題講評課的“再思考”

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 程建剛

數學習題講評課的“再思考”

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 程建剛

眾所周知，數學教學離不開解題教學.習題講評一方面可以有效地提高學生解決問題的能力，另一方面還可以促進學生對已學過的基礎知識、相關概念和運算規則的理解，對學生學好數學有著積極的意義.但遺憾的是，有相當數量的教師把獲得正確的解題結果、方法作為解題教學的終極目標，好像是“題目解決了，任務就完成了”，而對于解題中出現的一些細節問題缺乏關注與深入的思考.

最近，筆者觀摩了一堂二輪復習習題講評課，上課內容是“導數的應用”，下面是其中一道題目的教學過程簡錄.

例題：已知函數（fx）=-x3+|x-a|，x∈［0，1］.

（2）求（fx）的最大值.

解：（1）略.

①當a＞1時，f（x）=-x3-x+a，x∈［0，1］，f（x）單調遞減，

所以［f（x）］max=f（0）=a.

②當a＜0時，f（x）=-x3+x-a，x∈［0，1］，

③當0≤a≤1時，分兩種情況討論如下：

由于分類討論過程比較復雜，學生基礎薄弱，這道題的講解耗費了將近一節課.教師先幫助學生了解題意，然后分析方法，再對解題過程進行詳細的板演，最后，對解題思想方法進行了的總結，如圖1所示.

圖1

對于這道題目本身，教師講解已經做到透徹到位，但對習題講評課來說似乎還有些美中不足.

一、例題選擇要科學合理

例題選擇的好壞直接影響習題講評的有效性.不同的題目具有不同的作用，有的是為了理解和鞏固新知識；有的重在揭示某類問題的一般思路和方法；有的重在訓練解題技能；有的是為了發展學生創造性思維等.教師在選擇習題時要根據教學目的選擇恰當的例題.不僅如此，例題的難度還應該貼近學生實際，教師要分析學生的“最近發展區”，然后在學生“最近發展區”內進行例題的選擇，例題太難、太簡單都不利于習題講評課的展開.

從本節課來看，一沒有變式，二沒有拓展，僅僅解了一道題目，雖然其中涉及了比較復雜的分類討論，但從整堂課來看內容還是過于單薄.受制于學生的認知水平，教師不敢增加題目的容量也在情理之中，但反過來分析，既然學生接受能力不足，這樣的題目設計是否有必要？有沒有必要設置“三個層次”分類討論，難度如果降低點，“兩個層次”的分類討論是否已經足夠？如果非要研究這類問題，那么在此之前是否應該做好思維鋪墊工作，比如，從簡單的問題出發，然后通過變式，逐步進入正題，這樣遠比讓學生直接面對巨大的思維障礙好得多.

二、思想方法要一般化

解題不是目的，而是獲得數學技能與方法的一種手段.題目中所涉及的思想方法往往具有普遍適用性，因此，遠比題目本身更具教育價值.以上述題目為例，其中所表現出的核心思想就是分類討論思想，而在實際教學中，分類討論思想往往是學生的“軟肋”，分類遺漏、重復更是很多學生“心中永遠的痛”.因此，教師要把握機會揭開分類討論思想的神秘面紗，在本節課的教學環節中，教師可以考慮增加如下內容.

首先，明確分類討論思想的實質，讓學生有足夠的心理準備.分類討論思想是序化思想的一種體現.根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的結論.分類討論思想的本質是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設條件的解題策略.

其次，明確分類原則，指導學生正確分類.分類中需要遵循標準統一、分類完整不遺漏、分類過程不重復等原則.分類討論的關鍵是確定分類標準，確定分界點.當分類討論需并列多次討論時，應找出各次分類的分界點，再確定分類標準；當分類討論需多層討論時，應根據題意逐層討論，或根據各層的分界點重新確定分類標準.

最后，提煉分類討論思想的解題步驟.一般來說，分類討論思想應用分三步走，第一步是明確標準，科學分類；第二步是歸納結論，合并同類；第三步是把握整體，優化分類.對這三個步驟的揭示遠比“對a分三個層次討論”的總結更具有指導意義.

上述做法的最大好處在于：在解題的同時避免“就題論題”的局限性，學生可以獲得對分類討論思想的一般化理解，并且有利于解題思路的自然形成.

三、解題方法要進一步優化

在上述解題過程中，一開始雖然進行了四種情況的分類，但在最后結論中被歸結為兩種情況.這背后是否存在著“隱情”？可惜教師對這一細節并沒有給予應有的關注.一般情況下，分類討論情景由繁到簡的突變往往預示著有更好、更快捷的解題方法的存在.這是教師進行優化解題方法，開展一題多解的契機.

圖2

解題的過程應是解題方法與思維不斷優化的過程，分類討論確實是重要的思想方法，但在具體操作中，應該盡量做到少討論或者不討論，因為分類討論過于花費時間，如何提高分類討論的效率是解題中必須要思考的問題.

四、要從解題中獲得復習線索

高考數學二輪復習通常是以專題形式進行的.“專題復習”有利于學生提升思維，建構知識網絡.在實際操作中，復習“專題”的設計往往存在著內容過于寬泛、缺乏針對性的弊端.因此，正確設計專題，使復習專題更加符合學生的實際需求是保證二輪復習有效性的關鍵.那么，復習專題如何確定呢？從解題中獲得有用的復習線索是一個重要的途徑.

以本節課為例，題目中顯然涉及“|x-a|”類函數問題.這類問題，形式新穎、綜合性強、思維要求高，其中含參絕對值二次函數是近年來高考的熱點，解決這類問題不僅要求深刻理解題意，還要求具備較強的邏輯思維能力和推理論證能力.

案例含參絕對值二次函數問題專題復習設計

例1（1）已知函數f（x）=x|x-2|-a有三個零點，求實數a的取值范圍；

（2）已知函數f（x）=x|x-a|在［2，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍.

例2已知函數f（x）=|x|（x-a）.

（1）當a≤0時，求函數f（x）的單調區間；

例3設a為實數，函數f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求函數f（x）的最小值.

意圖：三道例題的設計由易到難，層層鋪墊，環環相扣，基本上涵蓋了含參絕對值二次函數問題的所有類型.通過問題的剖析與解決，學生了解并掌握這類函數圖像（疊加）的基本特征與規律.

因此，在講解上述例題之前最好先對“|x-a|”類函數問題進行系統化的研究，或者在后續的復習中補充這一內容，然后在“|x-a|”類函數問題的認知基礎上重新審視上述問題的解題策略.這樣一來，上課效率就會得到進一步提升，也不會出現一節課只講一道題的尷尬.

習題講評課中的“細節”不僅決定了課堂教學的有效性，更為重要的是，這些細節可以成為知識的生長點，成為教學瓶頸的突破口.