例談構造函數，巧解（證）不等式

☉重慶市梁平中學 李繼浪

例談構造函數，巧解（證）不等式

☉重慶市梁平中學 李繼浪

近幾年，解（證）不等式是高考的熱點之一，也是難點之一，學生常常感到束手無策，無從下手.如果靈活構造函數并利用函數的性質，往往能使問題迎刃而解.如何構造函數，構造什么樣的函數，許多同學找不到突破口，感到無所適從.下面就此問題作出探討.

一、構造一次函數，利用單調性解不等式

分析：由已知得出m2-2am+1≥1對任意a∈［-1，1］恒成立后，直接求參數m比較麻煩，如果反客為主，改變主元，即把a當作未知數，構造關于a的一次函數，問題較易解決.

不等式f（x）≤m2-2am+1對所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，即m2-2am+1≥1對任意a∈［-1，1］恒成立，即2ma-m2≤0對任意a∈［-1，1］恒成立.

故m的取值范圍是（-∞，-2］∪｛0｝∪［2，+∞）.

二、構造二次函數，利用判別式證不等式

例2證明柯西不等式：設有非零實數組a1，a2，…，an及實數組b1，b2，…，bn，則（+a2n），當且僅當bi=λai（i=1，2，…n）時等號

分析：柯西不等式是高考中的選考內容.如何證明該不等式，方法很多，這里談的是如何構造二次函數來證明.根據不等式的結構特點和二次函數判別式的特點構造二次函數，對學生有一定難度.

證明：構造二次函數f（x）=（a2n）x2+2（a1b1+ a2b2+…+anbn）x+（b2

1+a22+…+a2

n＞0且f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2≥0，所以Δ≤0，即4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a21+a2n）.因為a2

1+b22+…+b21+a22+…+a2

2

+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≤0，即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+

當且僅當aix+bi=0（i=1，2，…，n），即bi=-xai時，取等號，所以λ=-x.

三、構造指數函數，利用函數的單調性證不等式

分析：根據題目所給函數，其形式符合指數函數，所以考慮構造指數函數來處理

證明：先證充分性.

再證必要性，用反證法.

四、構造“形似”函數

分析：題目所給不等式具有分式形式，所以可先構造分式函數，再通過求導，利用函數的單調性來證明.

分析：題目所給不等式的左邊是關于n的代數式，右邊是關于a的代數式，直接把左邊構造成關于n的函數，再利用函數的單調性解決問題.

例6（2016年全國普通高考重慶適應性測試（第一次））設f′（x）是函數f（x）的導函數，且f′（x）＞2f（x）（x∈為自然對數的底數），則不等式（flnx）＜x2的解集為（）.

因為f′（x）＞2f（x）（x∈R），所以F′（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上單調遞增.

姊妹題1：設f′（x）是函數f（x）的導函數，滿足f′（x）+ 2f（x）＞0，且f（-1）=0，則f（x）＜0的解集為（）.

A.（-∞，-1）B.（-1，1）

C.（-∞，0）D.（-1，+∞）

解析：構造函數g（x）=e2xf（x），由f′（x）+2f（x）＞0，可知g′（x）＞0，即g（x）=e2xf（x）在R上單調遞增.由f（-1）=0，得g（-1）=0，則當f（x）＜0時，x∈（-∞，-1）.

姊妹題2：已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf′（x）-f（x）≤0對任意正數a，b，若a≤b，則必有（）.

A.af（b）≤bf（a）B.bf（a）≤af（b）

C.af（a）≤f（b）D.bf（b）≤f（a）

因為xf′（x）-f（x）≤0，所以g′（x）≤0，即g（x）在（0，+∞）上單調遞減.

例7設α＞β＞e（e為自然對數的底數），證明βα＞αβ.

分析：遇到冪函數或指數函數，可考慮先取對數再構造函數.

例8（2015年全國Ⅱ卷21題）設函數f（x）=emx+x2-mx.

（1）證明：f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；

（2）若對于任意x1，x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

分析：根據特點，先等價變形再構造函數.

解：（1）證明略.

設函數g（t）=et-t-e+1，則g′（t）=et-1.

當t＜0時，g′（t）＜0；當t＞0時，g′（t）＞0.

故函數g（t）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

又g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e＜0，故當t∈［-1，1］時，g（t）≤0；

當m∈［-1，1］時，g（m）≤0，g（-m）≤0，即①式成立；

當m＞1時，由g（t）的單調性，知g（m）＞0，即em-m＞e-1；

當m＜-1時，g（-m）＞0，即e-m+m＞e-1.

綜上m的取值范圍是［-1，1］.

總之，構造函數解不等式問題：一要對問題題型和考點有很好的把握；二要對問題從多角度思考，這就需要我們具備一定的常用的變形處理手段，對問題等價變形，而非改變問題本身.同時構造函數解題自然需要構造函數模型，那么構造怎樣的函數模型，利用函數模型的哪些性質來解決問題，需要學生具備聯想的思維素質，并且具有一定的思維發散能力.F