例談“參數范圍”問題的解題策略

☉浙江省諸暨市海亮高級中學 沈鐵表

例談“參數范圍”問題的解題策略

☉浙江省諸暨市海亮高級中學 沈鐵表

近幾年的高考中，求參數的取值范圍是高考數學試題中經常考查的典型問題，作為一個常考的熱點，也是高中數學中的一個重要內容.下面談談這類題型的典型解決方法.

一、利用分離參數求參數范圍

分離參數是高中數學解題中常見的解題方法，因為避開了分類討論，具有思路清晰，易于操作等特點，深受師生的青睞.

（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

因為ex＞0，由-3x2+（6-a）x+a≤0，得a（1-x）≤3x2-6x.

點評：本題解法眾多，而通過分離參數，將參數a可直接分離出來，從而使得問題變得非常簡單.

二、利用構造函數求參數范圍

題目中如果涉及不等式、方程等問題，常常建立目標函數，并確定函數的定義域，用函數的方法分析，此類問題的解決方法即為構造函數.構造函數在解決參數問題時常常起著重要的作用.

例2已知函數f（x）=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函數f（x）的圖像上取定兩點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k成立.

解：（1）f′（x）=ex-a.令f′（x）=0，得x=lna.

當x＜lna時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞lna時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增.

故當x=lna時，f（x）取最小值f（lna）=a-alna.

于是對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當且僅當aalna≥1.①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt.

當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增；

當t＞1時，g′（t）＜0，g（t）單調遞減.

故當t=1時，g（t）取最大值g（1）=1.因此，當且僅當a= 1時，①式成立.

綜上所述，a的取值集合為｛1｝.

（2）證明略.

點評：先構造新函數g（t）=t-tlnt，再利用導數方法求得最值即可.

三、利用不等式放縮求參數范圍

已知一個不等式求其中參數的范圍，直接證明比較困難，常常利用合理的放縮達到所要證明的結果.

（1）判斷函數h（x）是否為補函數，并證明你的結論；

（3）當λ=0，x∈（0，1）時，函數y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍.

解：（1）函數h（x）是補函數，證明略.

所以點（xp，h（xp））不在直線y=1-x的上方，不符合條件.

設φ（x）=xp+（1-x）p，x∈（0，1），

則φ（′x）=p［xp-1-（1-x）p-1］.

又因為φ（0）=φ（1）=1，所以當x∈（0，1）時，φ（x）＜1恒成立.

綜上所述，p的取值范圍是（1，+∞）.

點評：本題考查導數的應用、函數的新定義，函數與不等式的綜合應用以及分類討論，數形結合的數學思想.

四、利用判別式求參數范圍

實系數一元二次方程ax2+bx+c=0有無實根的依據——判別式為Δ=b2-4ac≥0是否成立，因此常常將問題轉化為一元二次方程是否有根，通過判別式得到參數范圍.

例4設a＜1，集合A=｛x∈R|x＞0｝，B=｛x∈R|2x2-3（1+ a）x+6a＞0｝，D=A∩B.

（1）求集合D（用區間表示）；

（2）設函數f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D內有極大值點，求a的取值范圍.

解：（1）x∈D?x＞0且2x2-3（1+a）x+6a＞0.

令h（x）=2x2-3（1+a）x+6a，則

Δ=9（1+a）2-48a=3（3a-1）（a-3）.

所以B=（-∞，1）∪（1，+∞）.

于是D=A∩B=（0，1）∪（1，+∞）.

因為x1＜x2且x2＞0，所以B=（-∞，x1）∪（x2，+∞）.

又x1＞0?a＞0，所以

②當a≤0時，D=（x2，+∞）.

（2）f（′x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-1）（x-a）.

當a＜1時，（fx）的單調性如下表：

由表可么，x=a為（fx）在D內的極大值點，x=1為（fx）在D內的極小值點.

由表可得，x=a為f（x）在D內的極大值點.

④當a≤0時，D=（x2，+∞）且x2＞1.

由表可得，f（x）在D內單調遞增.

因此f（x）在D內沒有極值點.

綜上所述，a的取值范圍是（0，1）.

點評：解決時借助了一元二次方程的判別式，并結合導數與極值之間的關系.

總之，對于平時常考常新的題型，若能細致分析、挖掘，不但能提高教師的教研水平，提高教學效益，而且還有助于提高學生的解題能力，增強解題信心.引導學生在解題中不斷總結經驗，學生全面細致地分析問題，總會收到事半功倍的效果.