小議空間幾何中的翻折問題教學

☉浙江省余姚市第五中學 趙文煒

小議空間幾何中的翻折問題教學

☉浙江省余姚市第五中學 趙文煒

眾所周知，空間幾何是考查學生空間想象能力的學科，對于學生空間思維的培養有著最為直觀的作用.從二維平面幾何到三維空間幾何，學生對問題的認識也需要重新建立公理化體系.筆者認為，學好空間幾何有兩個準則：其一是公理化體系的掌握，即空間幾何的所有定理、性質都是依據四條公理推出來的，空間幾何的問題從論證到推導，嚴格地遵守了以四條公理為準的定理、性質的體系，空間幾何的學習便是有根可循、有的放矢；其二是空間問題平面化，在解決空間幾何問題時，我們主要是將各種點、線、面的關系平面化，從而可以回到平面幾何中尋求解決.

翻折問題是考查平面幾何與空間幾何結合處的一種問題類型，其以平面幾何問題為載體，通過翻折形成空間幾何問題，相比以往的問題來說，翻折問題更進一步考查了學生的空間想象能力，并且是從一種動態的視角考查了學生對公理化體系的掌握程度，提升了問題的難度，易區分學生的空間想象能力，從而受到命題者的青睞.

一、多點重合

多點重合是翻折問題的一種典型，其往往是以多點、多線為載體，通過多直線的翻折形成.值得關注的是，多點重合問題往往考慮的翻折圖形比較多，翻折線比較多，緊緊抓住翻折過程中的不變量是解決問題最核心的依據.

問題1如圖1，△ABC內接于直角梯形P1P2P3A，沿AB、BC、CA分別將△ABP1，△BCP2，△ACP3翻折上去，使得重合于一點P，構成一個三棱錐P-ABC.

圖1

（1）求證：PB⊥AC；

分析：（1）本題涉及三條翻折的線，要注意在翻折前后，未跨越翻折線的量都保持不變.翻折后，P1、P2、P3共點于P，那么PB與PA、PB與PC的關系轉變為P1B與P1A、P2B與P2C的關系，而P1B與P1A，P2B與P2C的垂直關系因為本身分布在翻折線的兩端，因此翻折前后位置關系不變，由此可以證明PB⊥AC（.2）有了（1）的證明可知，PB⊥平面PAC，因此要求三棱錐P-ABC的體積只需要求得PB的長度以及△PAC的面積即可.

解：（1）證明：在直角梯形P1P2P3A中，P1B⊥P1A，P2B⊥P2C，故在三棱錐P-ABC中有：PB⊥PA，PB⊥PC.又因為PA∩PC=P，故PB⊥平面PAC.又因為AC?平面PAC，所以PB⊥AC.

（2）因為翻折后使得P1，P2，P3重合于一點P，所以B為P1P2的中點，C為P2P3的中點，且AP1=AP3，

所以E為CP3的中點，從而

反思：從公理化體系的角度來說，要證明線面垂直主要有兩種方式：其一證明線與面中的兩條相交直線垂直，這也是線面垂直證明中最常用的判定定理；其二是利用兩平行線中的一條可證明垂直平面，從而得證另一條也垂直平面.顯然本題采用了第一種方式，在多點重合問題中，翻折前所存在的線線垂直并沒有因為翻折而改變位置關系，這也是由這些直線的位置決定的（均分布在翻折線的兩側），從而問題的證明顯然相對容易.解決多點重合問題，關鍵是看出折疊前后哪些點交匯于一點，對比折疊前后的點、線、面之間的位置關系的變化情況，那些不變的關系和數量就是我們解決問題的突破口.

二、單線翻折

單線翻折問題是命題的一類熱門問題，與多點重合翻折不同，這類翻折問題往往有變化的量，即這些量（線、面）分布在翻折線的兩端，從而在翻折過程中這些量的長度、角度等發生了改變.學生在思考具備變化量的動態翻折問題時，其難度往往就高于靜態翻折問題，從而學生空間想象能力的區分就容易凸顯.

問題2如圖2，在矩形ABCD中，點E，F分別在線段AB，AD上，且沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.

圖2

圖3

（1）求二面角A′-FD-C的余弦值；

（2）點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長.

分析：與問題1不同的是，本題的翻折具備了動態性，我們發現平面ABCD在沿直線EF翻折過程中分裂成兩個平面，其中一個未發生改變，另一個恰為所研究的平面A′FD，第（1）問就是研究分裂成兩部分的平面所組成的二面角余弦值，由條件平面A′EF⊥平面BEF保障，所以問題的解決相對而言有據可依，使用傳統角度來說，我們都是利用線面垂直結合二面角定義的方式去作出二面角（或類似于三垂線法）；對于第（2）問，有點回到問題1的味道，兩點重合即在不同的三角形中研究線段CM=A′M，將空間幾何問題平面化成為問題解決的關鍵.

反思：本題主要考查了線、面位置關系以及二面角.從知識角度來說，本題翻折讓一個平面分裂成兩個研究對象，其中一個屬于動態平面，對于學生的思維能力考查相比問題1提升了程度，但是知識的運用（二面角的求作）依然是基本知識的體現；空間幾何的精髓是空間幾何問題平面化.本題從C與A′重合出發，在兩個不同的直角三角形△CDM和△A′MH中實現了這一等量CM=A′M的求解.將空間幾何問題如何平面化，轉化到怎么樣的平面圖形中去，是教師教學的核心，一般來說三角形是轉化的主要背景，需要從空間幾何模型中去尋找.

三、動態最值

翻折問題中更為高層次的問題涉及函數思想，即動態最值.這類問題往往已經將知識的考查從空間幾何延伸到了其他內容，與函數知識的整合是進一步區分學生數學能力、綜合素養的關鍵.

問題3如圖4，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC（端點除外）上一動點，現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面△ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，則t的取值范圍是________.

圖4

分析：本題是翻折動態最值問題的經典，在平面ABD⊥平面ABC的背景下，研究平面△ABD內動直線DK的變化，從而計算t的取值范圍.從分析中可以思考，因為隨著F（在線段EC（端點除外））上運動，因此從函數的觀點入手，可迅速找到解題基本思路：AK=t=f（x），接下來的問題只要將空間幾何問題平面化后，找到相關的三角形進行求解就可以了.

解（函數思想）：設EF=x（0＜x＜1），則FC=1-x，作FH⊥AB于H，則BK=2-t，KH=1+x-t.所以FK2=（1+x-t）2+1.

又DF2=（1+x）2，DK2=1-t2及Rt△DKF，

所以DF2=FK2+DK2.所以（1+x-t）2+1+1-t2=（1+x）2.

反思：本題最大的特色相比例2來說，對動態變量又有了進一步的考查.從函數思想入手，較為從容地建立函數模型，這里需要多次用到勾股定理，也是空間幾何平面化的直接體現.若可以引導學生細細思考，我們不難發現，從點F的移動中可以發現，隨著其從E向C運動過程中，顯然空間直觀感受到平面ADF隨著AF的翻折，其與底面ABC靠得越近，AK的值在不斷減小，這種直觀感受是空間想象能力更高層級的體現.因此我們還可以從另一個特殊的角度去思考：F位于E處時，AK最大；F位于C處時，AK最小.如圖4易知，故

總之，從上述案例研究可以發現，在解決空間幾何中的翻折問題時，我們要關注翻折前后位于翻折線兩側的點、線、面的變化，以及從這些基本量引起的長度、角度等變化.一般而言，位于翻折線兩側沒有跨越翻折線的量基本保持其平面圖形中的不變性，而與翻折線有關的線、面往往發生了動態的變化.筆者認為，從問題的積累和經驗中，教師要引導學生在翻折動態過程中挖掘不變性是根本，主要是平行、垂直兩大基本關系以及各種角的大小、線段長度等相關量.要深度掌握翻折問題的精髓，還需要對公理化體系下的空間幾何論證有清晰的框架認知，以及空間問題平面化處理的思想.

1.薛彬.高中立體幾何改革的回顧與前瞻.中學數學教學參考（上旬）［J］.2009（3）.

2.俞求是.高中數學新課程立體幾何教學問題研究.數學教學［J］.2010（2）.

3.岳儒芳.由2009年高考立體幾何題閱卷引發的思考.數學通訊［J］.2009（8）