3－(2SPS)并聯機構靈巧度分析

劉寧寧,李開明

(南京理工大學機械工程學院,江蘇南京210094)

0 前言

并聯機構的靈巧度是衡量輸入與輸出運動(力)之間傳遞精度、評價機構運動學性能的一個重要指標,也是尺度參數設計的重要依據[1－2]。通常情況下,雅克比矩陣的條件數是評價并聯機構靈巧度的常用指標。Salisbury指出當雅克比矩陣的條件數達到1時,并聯機構是各向同性的。

3－(2SPS)并聯機構是 Stewart機構的一種變形,具有3個移動自由度。運動學正、反解唯一,且具有相當好的力學性能,承載能力較強,適用于載荷較大工況條件。本文根據3－(2SPS)并聯機構的結構布局和特點,建立其運動學方程,并得到力雅克比矩陣,以雅克比矩陣的條件數來分析機構的靈巧度,然后利用MATLAB軟件進行仿真并分析,為并聯機床結構優化與設計提供理論依據。

1 3－(2SPS)并聯機構及其運動學

3－(2SPS)并聯機構簡圖如圖1所示,該并聯機構通過六條兩兩平行的滾柱絲杠連接上下兩平臺,即A1B1//A2B2,A3B3//A4B4,A5B5//A6B6。 其中下平臺固定,上平臺可進行平動,機構通過特殊的鉸鏈布置和伸縮桿同步驅動限制了末端執行器的三個轉動自由度,機構可以實現三個移動自由度。

圖1 3－(2SPS)并聯機構簡圖

首先建立坐標系如圖1所示,固定坐標系O－xyz固聯于下平臺,坐標中心O與下平臺幾何中心重合,動坐標系O'－x'y'z'固聯于上平臺,坐標中心O'與上平臺幾何中心重合。 其中Ox軸(Ox'軸)過B1B2(A1A2)中點,Oz軸(Oz'軸)垂直向上。定平臺與動平臺的外接圓半徑分別是R和r,且 R ﹥ r。

圖2為定平臺和動平臺在xoy平面投影的鉸鏈點間的幾何關系。其中d為定平臺(動平臺)上兩根平行驅動桿的鉸鏈點間距。d的大小由動平臺外接圓半徑及驅動桿決定,設d0為平行桿發生干涉的臨界距離,則d0

根據圖2,可以求出定平臺各鉸鏈點相對于定坐標系的坐標和動平臺各鉸鏈點相對于動坐標系的坐標,然后設動坐標系原點O'在定坐標系中的坐標為,經過坐標變換即可求得桿長,由于本文的研究對象為三自由度平動機構,則繼而可以得到機構驅動桿的桿長為:

圖2 定、動平臺在xoy平面的投影

其中:μ＝H－h。

對式(1)求一階偏導數,得到該機構的三階速度雅克比矩陣,由雅克比矩陣可以證明在機構的工作空間內不存在奇異位姿[4]。在不考慮關節之間的摩擦力等影響因素的情況下,將速度(運動)雅克比矩陣轉置即可得到機構的力雅克比矩陣[5],可以得:

其中:

2 條件數與靈巧度

雅克比矩陣實質反應的是機構末端輸出運動與驅動輸入運動之間的速度比。從機構的操作和控制的精度出發,當機構處于奇異位形或接近奇異位形時,雅克比矩陣會呈現病態,此時機構輸入與輸出之間的運動傳遞會出現失真,而靈巧度就是衡量失真程度的指標[6]。描述機構運動的靈活性可用雅克比矩陣的奇異值構造靈巧度評價指標,如條件數、最小奇異值、可操作性等[7]。本文采用雅克比矩陣條件數進行靈巧度分析。

矩陣條件數、矩陣最大奇異值與最小奇異值之間存在如下關系:

由此可知cond(G)≥1,矩陣條件數越接近1,矩陣性態越好。條件數越大,矩陣越趨于病態,機構的輸入輸出之間的運動傳遞會出現較大的失真。當條件數為1時,機構的各個方向放大倍數都相等,機構運動學處于各向同性。因此在進行機構設計和控制時,要盡量使雅克比矩陣各向同性,以得到較好的機構性能。

為了更好地分析機構的靈巧度,本文將動平臺的力雅克比矩陣分為力映射矩陣和力矩映射矩陣的形式:

為了分析方便,取映射矩陣的條件數的倒數來衡量動平臺的各向同性度:其中:uF為力各向同性度,uM為力矩各向同性度。

3 具體分析

已知3－(2SPS)并聯機構動平臺外接圓半徑為202 mm,定平臺外接圓半徑為1 000 mm,平行桿鉸鏈點安裝距離為350 mm。

借助MATLAB軟件編程仿真可以得到并聯機構的力各向同性和力矩各向同性的分布圖。圖3為在x＝0、y＝0、z＝0的三個截面得到的力各向同性度。

圖3 不同截面力各向同性度分布情況

由圖3(a)可知,在x＝0截面內,力各向同性度關于y＝0對稱,且隨著y值的增大而減小;z增大,在一定范圍內,力各向同性度也會減小。圖3(b)反應了類似的情況,力各向同性度大致關于x＝0對稱,且隨著x的增大而減小;z增大,在一定范圍內,力各向同性度也會減小。圖3(c)中,在z＝0截面,力各向同性度關于y＝0對稱,且隨著y值的增大而減小,x增大,力各向同性度也會減小,在z＝0截面內,力各向同性度較差。

與力各向同性度分析方法類似,分別可以得到在x＝0、y＝0、z＝0的三個截面得到的力距各向同性度,如圖4所示。

圖4 不同截面力距各向同性度分布情況

由圖4(a)可知,在x＝0截面內,力距各向同性度關于y＝0對稱,且隨著 y值的增大而減小;當 z大致在1 100 mm時,力矩各向同性度最大,表現為靈活性最好。圖3(b)反應了類似的情況,力距各向同性度關于x＝0對稱,且隨著x的增大而減小;當z大致在1 100 mm時,力矩各向同性度最大。圖3(c)中,在z＝0截面,力距各向同性度關于y＝0對稱,且隨著y值的增大而減小,x增大,力距各向同性度也會減小,在z＝0截面內,力距各向同性度較差。

4 結論

根據3－(2SPS)并聯機構的結構布局和特點,建立運動學方程,得到力雅克比矩陣。以機構的雅克比矩陣的條件數評價并聯機構的靈巧度。運用MATLAB軟件得到并聯機構的力各向同性和力矩各向同性的分布圖,經分析得出當機構處于x＝0,y＝0時的各向同性度最好,機構的靈巧度最好。研究結果可為并聯機床設計提供理論參考。

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