基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構算法

鄒健

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構算法

鄒健

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

在傳統的基于壓縮感知的圖像重構中，小波變換往往用來將圖像稀疏表示，但小波變換并不能很好的表現圖像的輪廓和紋理等細節信息。提出了一種基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構算法：首先利用Contourlet變換將圖像稀疏表示，然后利用交替方向法重構原始圖像。與基于小波變換的方法相比，該方法不僅可以顯示更多的圖像的邊緣和輪廓信息，在重構精度上也占優。數值試驗也驗證了新算法的有效性。

壓縮感知；圖像重構；Contourlet變換；交替方向法

壓縮感知是一種新型的信號采樣和處理的理論框架[1～3]。利用信號在特定域上的稀疏性，壓縮感知可以從少量測量值中重構信號，且所需測量值遠低于奈奎斯特采樣定理的要求?；谝陨蟽烖c，壓縮感知近年來引起了廣泛的關注，在各個領域都有廣泛的應用，圖像重構正是其中一個重要的應用領域[4～6]。

在壓縮感知模型中，要求重構信號本身是稀疏的，或者在某個變換基下具有稀疏表示。在以往的壓縮感知模型中，常采用小波變換作為稀疏變換基，圖像經過小波變換后的小波系數是稀疏的[2, 7]。但是由于小波變換的各向同性，導致小波變化的方向選擇性差，很難充分和準確地捕捉到圖像的邊緣和輪廓信息，而圖像的邊緣和輪廓是自然圖像的主要特性。Contourlet變換是在繼承小波多尺度分析思想的基礎上的一種新的非自適應的方向多尺度分析方法。Contourlet變換能在任意尺度上實現任意方向的分解，擅長描述圖像中的輪廓和方向性紋理信息，很好的彌補了小波變換的不足。此外，Contourlet變換直接在分離領域中實現，有較低的計算復雜度[8, 9]。

壓縮感知的另外一個關鍵問題就是重構算法。一些傳統的優化方法，如內點法等，需要計算壓縮感知矩陣的二階導數等信息[10]。但在實際應用中，特別是一些圖像和高維數據處理問題，壓縮感知矩陣的維數往往相當大，采用這些方法往往需要很長的重構時間，甚至有時計算機會報告內存溢出。交替方向法只利用目標函數的一階導數信息，算法中只涉及到矩陣-向量相乘等低復雜度的計算，適合大規模問題的求解[11, 12]。為此,筆者提出一種基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構算法。

1 基于Contourlet變換的壓縮感知模型

壓縮感知的基本問題是從欠定線性測量y=Φx中重構信號x，其中x∈Rn，Φ∈Rm×n(m?n)。該欠定線性方程組有無窮多解。但壓縮感知理論指出，如果x是稀疏的，即x中非零元數目遠小于其維數，則可通過求解如下優化問題重構x：

(1)

式中，‖x‖0為向量x中非零數目。

式(1)為NP-難的非凸優化問題[13]，不易求解，可以將其轉化為如下優化問題：

(2)

式(1)和式(2)中都假設x是稀疏的，但大多數實際情況中，信號本身不是稀疏的，但在某種變換下具有稀疏表示，即：

x=Ψθ

式中,x是原始信號;Ψ為稀疏變換矩陣;θ為x在Ψ下的表示系數。x本身并不稀疏，但在是稀疏變換矩陣Ψ下的表示系數θ是稀疏的。在該情況下，壓縮感知模型即變為:

y=Φθ=ΦΨ*x=Ax(Ψ*為Ψ的逆矩陣)

此時，要想重構原始信號x，則應求解如下優化問題：

(3)

2 基于交替方向法的壓縮感知重構算法

交替方向法是一種求解大規模稀疏優化問題的有效算法，其通過構造增廣拉格朗日函數，將原問題分解為多個低維子問題進行求解。

令f(x):Rm→R和g(y)：Rn→R為凸函數，A∈Rp×m，B∈Rp×n,b∈Rp。對最優化問題：

(4)

其中變量x,y在目標函數中分離，在約束中耦合。

式(4)的增廣拉格朗日函數為：

(5)

其中,λ∈Rp為拉格朗日乘子；β>0為罰參數。

經典的拉格朗日方法迭代為給定λk∈Rp：

(6)

λk+1=λk-γβ(Axk+1+Byk+1-b)

(7)

其中,γ∈(0,2)保證迭代的收斂性。

式(6)是一個關于(x,y)的一個精確聯合的極小化問題，不易求解。交替方向法將目標函數的變量分離并通過2個簡單的子問題代替上面聯合的極小化。交替方向法基本迭代步驟如下：

(8)

(9)

這里筆者將利用交替方向法求解優化問題(3)。首先引入一個對偶變量z，將式(3)轉化為：

(10)

式(10)的增廣拉格朗日函數為：

(11)

如果固定x=xk,λ=λk, 即：

(12)

則f(xk,z)僅是關于z的函數,此時式(11)等價于：

(13)

對式(13), 令：

可得：

則式(13)的最優值z可表示為：

(14)

其中，PBδ(·)為函數在球面Bδ：{z:‖z‖2≤δ}上的投影。

固定z=zk+1,λ=λk,即：

(15)

此時目標函數f(x,zk+1)僅與x有關，式(11)等價于：

(16)

其中，式(15)可化簡為：

(17)

令：

將h(x)在xk處泰勒展開，得：

(18)

此時式(16)可表示成：

(19)

進一步化簡可得：

(20)

問題(20)有封閉解，其解可用收縮算子(軟閾值)來表示如下：

(21)

乘子λ更新步驟如下：

λk+1=λk-γβ(Axk+1+zk+1-y)

(22)

其中，γ>0為常數。

綜上所述，求解式(3)的迭代算法可以表示如下：

輸入:A,y,r0,x0,λ0,β>0,γ>0,Γ>0。

輸出:x

while”不滿足停止準則”do

λk+1=λk-γβ(Axk+1+zk+1-y);

endwhile

3 仿真試驗

使用標準測試圖片lena，將測試圖片分別通過小波變換和Contourlet變換進行稀疏表示，然后利用筆者提出的算法進行圖像重構。重構性能用峰值信噪比 (peaksignaltonoiseratio，PSNR)來度量，PSNR的定義如下：

(23)

試驗結果如圖1所示，為更直觀的展示重構效果，選取原始圖像中白色框中的局部圖像進行放大展示，從試驗結果可以看出，與小波變換相比，Contourlet變換后重構的圖片邊緣和輪廓更加清晰。而小波變換重構和Contourlet變換重構圖像的PSNR分別為25.60dB和27.40dB，也驗證了Contourlet變換比小波變換的重構精度更高。

圖1 不同方法重構圖像對比

4 結語

筆者提出了一種新的壓縮感知圖像重構方法，新方法利用Contourlet變換作為稀疏變換基，利用交替方向法重構稀疏信號。新方法具有較低的計算復雜度，適用于大規模圖像重構，仿真試驗結果也驗證了新方法的有效性。在今后工作中，將考查更多的多尺度稀疏變換基對圖像重構結果的影響。

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[編輯] 洪云飛

2016-12-16

國家自然科學基金項目(61503047)。

鄒健(1983-)，男，博士，副教授，現主要從事最優化方法及其在信號處理中的應用方面的教學與研究工作，zoujian@yangtzeu.edu.cn。

TP391.4

A

1673-1409(2017)05-0001-05

[引著格式]鄒健.基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構算法[J].長江大學學報(自科版)，2017,14(5)：1～5.