三聯體類半帶濾波器組的設計方法

地里木拉提·玉買江，吐爾洪江·阿布都克力木，黃允滸，古麗米熱·米吉提

（新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054）

三聯體類半帶濾波器組的設計方法

地里木拉提·玉買江，吐爾洪江·阿布都克力木，黃允滸，古麗米熱·米吉提

（新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054）

文中提出了一種由3個內核所定義的三聯體類半帶濾波器組的設計方法。采用了Lagrange半帶濾波器組和Remez算法，具體地給出了分解濾波器的設計和重構濾波器的設計。帶參數的Bernstein多項式用于構造內核。該濾波器組結構有完全重構，正則性等優點。確定Bernstein多項式的自由參數是利用最小二乘法得到。采用了兩個實例，對實例進行了具體對比和分析。得出了這種設計方法很靈活，比較容易設計出不同性能的濾波器組。

FIR數字濾波器；半帶濾波器組；三聯體類；小波變換

離散小波變換在需要分解信號方面廣泛應用，例如壓縮，去噪，印刷等。在提供時-頻分析方面，離散小波變換克服了傳統傅里葉變換中的一些限制，而時-頻分析是處理非穩定性信號所需要的[1-2]。設計小波濾波器相當于設計多重速率的完全重構濾波器組。傳統濾波器和小波濾波器的主要區別在于在后一種情況下的正則性。正則性是混疊頻率上實施零后所得到[3]。

結構上完全重構和正則性問題限制了濾波器系數，復雜了設計過程。設計過程相當于優化濾波器系數，它易受結構上完全重構和正則性的限制。這些限制如果直接用于實際問題上，將復雜設計過程并復雜優化。利用濾波器組結構替換直接法將會滿足限制條件[4-5]。

文中提出一種結構上完全重構并利用三個半帶的濾波器組。這有設計簡單、充實造型，并且克服半帶濾波器組的限制，這種濾波器組稱為三聯體半帶濾波器組。下面的兩個方法將用于設計三聯體的半帶濾波器組。第一個方法是利用Lagrange半帶濾波器組，過濾器被最大化，轉出低的流利度。第二個方法利用Remez算法[6]，結果會出現清晰的但沒有正則性的等波濾波器。上述兩種方法是濾波器組的兩極端的特點。在本論文中，設計三聯體半帶濾波器組對上面所述的兩種情況的巨大差距起一個橋梁作用。濾波器的正則性是利用帶參數的Bernstein多項式提高清晰度來替換的。這個技術根據最小二乘法來實現的。迭代過程是用于解決最小二乘法問題。

1 三聯體半帶濾波器組和Bernstein多項式

本節所提的濾波器組是三聯體類濾波器組。低通濾波器由以下等式得到

其中z0，z1，z2是從半帶濾波器中獲得，也就是1/2（1+Z0（z），1/2（1+Z1（z））和 1/2（1+Z2（z））是半帶濾波器組。值得注意，式（1）和（2）提供了濾波器的零相位。

高通濾波器由以下式子得到

其中參數λ的范圍在0≤λ≤1，當λ=0時，三聯體類濾波器組會限制半帶對濾波器組，半帶對濾波器組有些限制其作為分析低通濾波器的頻率響應將限制半帶過濾器。分解和重構低通濾波器的頻率響應的幅度在處ω=π/2，半帶對濾波器組限制在0.5和1之間。然而對于三聯體類濾波器組，當頻率響應的幅度在ω=π/2可以選擇任何一個適當的λ值。特別地當兩個分解和重構低通濾波器組的頻率響應的幅度在ω=π/2處是

值得注意，適當的重命名參數，上面的濾波器相當于文獻[7]中的正交鏡像濾波器。在文獻[7]中所用的濾波器是與文獻[4]中所用的濾波器是不同的。正交鏡像濾波器大量用于Mallat算法[8]。

在本文中，設計內核利用帶參數的Bernstein多項式[9]，即

其中當N是奇數時，α=[α0，α1…，α（N-1）/2]T，并且

通過半帶濾波器的Z變換，傳遞函數得到的x≡-（1/4）z（1-z-1）2將代入到式（4）中，內核由以下等式給出

值得注意改變多種Bernstein多項式，自然地給濾波函數零相位和三聯體類濾波器組的零相位。式（1）和式（2）都在這里使用。結果濾波器H0和F0的長度分別是

2 自適應參數最小二乘法的設計

BN0代入式（6）中，BN1

代入式（7）中，BN2代入式（8）中分別用B0（x），B1（x）和B2（x）表示，那么B0（x），B1（x）和B2（x）分別等于

2.1 分解濾波器H0的設計

利用以上等式，可以看出濾波器（1）可以表示為如下兩個形式：

從這可以看出H0是帶參數的多重線性函數。特別是H0對α線性的（當β固定時）和對β線性的（當α固定時）。值得注意的是α，β可以同時不同，但H0是對自由參數α和β時不會是線性的。

2.2 重構濾波器F0的設計

利用式（9）-（11）可以看出（12）式中的濾波器為

其中

從式（14）中可以看出F0對參數啄是線性，參數α，β從分解濾波器的設計中得到。

3 設計實例

例1：N0=N1=7，N2=5。濾波器H0和F0的長度各自分別為29和39。選擇L0=L1=L2=2，（α0=α1=α2=β0=β1=β2=啄0=啄1=啄2=0）且兩個濾波器都六級正則性，也就是每個濾波器在 z=-1處六重零優化 cp=0.4（ωp=0.436π），cs=0.8（ωs=0.705π），γ=0.5。優化的自由參數值為α3=-0.044 06，β3=-0.494 8，因此，α=（α0α1α2α3）=（0 0 0-0.044 06），β=（β0β1β2β3）=（0 0 0-0.49 48）。

在圖1中給出了濾波器組的頻率響應圖和所有參數為0時最大的響應圖和利用雷米交換算法設計一對等波紋。等波紋的阻帶波紋的大小是和最小二乘法優化濾波器的波紋大小是相同。通過對波紋的最大化，我們很容易看到對例題所對應圖的清晰度增加了。等波紋明顯的出來，但z=-1處沒有零，也就是在ω=π附近低消弱。

例2：N0=N1=7，N2=5。濾波器H0和F0的長度各自分別為29和39。選擇L0=L1=L2=1（α0=α1=β0=β1=0）和L2=2（γ0=γ1=γ2=0）并且兩個濾波器都四級正則性也就是每個濾波器在z=-1處四重零優化cp=0.4，cs=0.8，γ=0.5。

優化的自由參數值為α=（α0α1α2α3）=（0 0-0.6203 -0.2523），

濾波器組的頻率響應圖在圖2中給出，同時表明通過阻止正則性提高銳度。

圖3畫出了尺度函數和小波函數的圖像。

圖1 例1中H0，H1的頻率響應圖

圖2 例2中H0，H1的頻率響應圖

圖3 尺度函數（t）和小波函數ψ（t）

4 結 論

文中給出了雙正交濾波器組的設計方法。我們使用了三聯體的半帶濾波器組和Bernstein多項式，并且確認在結果上施加完全重構和約束條件。濾波器傳送函數是一個帶自有參數的多重線性函數并產

生重復二次目標函數。迭代過程是為了處理最小乘方問題。多種設計實例的給出為了顯示設計技術的有效性和靈活性。濾波器的正則性容易替換增加頻率響應的清晰度轉出。光滑的對稱拓展和小波函數容易得到。值得注意，不可分的二維濾波器組可以轉換成一維的濾波器組。

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A novel approach to design the class of triplet halfband filterbanks

Dilmurat·OMAR，Turghunjan·ABDUKIRIM，HUANG Yun-hu，Gulmira·MIJIT
（School of Mathematical Sciences，Xinjiang Normal University，Urumqi 830054，China）

A new approach to is presented for designing the class of triplet halfband filter bank which are defined by three kernels.Adopted Lagrange half band filters and Remez algorithm which are specific given analysis filterbank and decomposition filterbank.The parametric Bernstein polynomial is used to construct the kernels.The design of the free parameters of the Bernstein polynomial is achieved through a least squares method.The filterbank have the advantage of structural perfect reconstruction and structural regularity.Using two examples to concretely comparison and analysis.The design technique is flexible in that allows filter with different characteristic to be design with ease.

FIR digital filters；halfband filters；triplet；wavelet transform

TN713.4

A

1674-6236（2017）09-0010-04

2016-07-05稿件編號：201607034

國家自然科學基金資助項目（11261061；61362039；10661010）；新疆維吾爾自治區自然科學基金資助項目（200721104）

地里木拉提·玉買江（1993—），男，新疆喀什人，碩士研究生。研究方向：小波分析及其應用。