基于有理插值公式的GM(1，1)模型的背景值構造新方法與應用

韓然

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

基于有理插值公式的GM(1，1)模型的背景值構造新方法與應用

韓然

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

分析了GM(1，1)模型中的背景值，提出了用有理插值和數值積分中的梯形公式及外推法重構背景值，可以有效地提高模型的預測精度和適用性，并將其方法應用于我國人均發電量預測建模中，理論分析和應用實例表明了文章所提方法的有效性。

灰色系統；背景值；重構；GM(1，1)模型；有理插值

1 前言

灰色系統理論具有所需樣本數據少，不需要計算統計特征量等優點。因此，自1982年提出以來得到了研究人員的重視，已經在許多領域，特別是在顯著不確定性和缺乏數據信息的領域得到了成功應用。利用GM(1，1)模型進行預測雖然有許多成功的實例，但同時也存在一些預測誤差過大的情況，反映了GM(1，1)模型的實用性有待提高。因此，對GM(1，1)模型進行深入地研究，找出影響GM(1，1)模型精度及其適應性，具有非常重要的理論價值和實際意義。文獻[1]用實驗的方法分析了GM(1，1)模型誤差特性，文獻[2]提出GM(1，1)模型中的背景值構造方法影響其精度和適應性的關鍵因素，并給出了一個重構公式。文獻[3給出了基于多項式的Netwon插值重構，本文作者提出了基于古老的連分式理論的有理插值，仿真例子表明本文所提出方法的有效性。

2 GM(1，1)動態預測模型的建模機理

一次累加GM(1，1)模型是最常用的一種灰色動態預測模型，該模型由一個單變量的一階微分方程構成。其建模過程如下：

設原始非負數據序列為：

X(0)={x(0)(1)，…，x(0)(n)}，

(1)

其中x(0)(i)>0，i=1，…，n。

對原始數據作一次累加，

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

(2)

由一階生成模塊X(1)建立模型GM(1，1)，對應的白化微分方程為：

(3)

其中a和b為待辯識常數。

待辯識常數的最小二乘解為：

(4)

為背景值。

方程(3)的離散解為：

(5)

還原到原始數據為：

從公式(4)可看出擬合和預測精度取決于常數a和b，而a和b的求解則依賴于背景值z(1)(k+1)，背景值z(1)(k+1)的值成為直接影響GM(1，1)模型精度和適應性的關鍵因素。

3 GM(1，1)模型背景值的改進

考慮上述背景值的求法實際上就是數值積分中的梯形公式，而梯形法的誤差較大，精度較低，為此我們提出用基于連分式理論的有理插值與廣義梯形公式來重構背景值。

定義1[4]設{an}，{bn}為兩個實數列，稱形如：

(6)

的分式為連分式(continuedfractions)，記作

而式

(7)

稱為連分式(6)的n次漸近連分式。其運算法則按一般分式運算。見文獻[4]。

定義2下述形式的連分式：

調查還發現，影響學生對專業態度的因素依次為個人興趣愛好、就業出路和事業前途。在一二年級主要是受“個人興趣愛好”的影響，面臨畢業時，“就業出路”成為影響學生對專業態度的主要因素。

(8)

為Thiele型連分式。

定義3[4]設X={x0，x1，…，xn，…}是實平面上一點集，f(x)是定義在G?X上的函數，令

φ[xi]=f(xi)，i=0，1，2，…，

稱由上述公式確定的φ[x0，x1，…，xl]為函數f(x)在點x0，x1，…，xl處的l階逆差商。

定理1[4]設

(9)

其中φ[x0，x1，…，xk]≠0，∞，k=0，1，…，n為f(x)在x0，x1，…，xk處的k階逆差商，則有

Rn(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n

即函數Rn(x)為函數f(x)在點x0，x1，…，xn處的有理插值函數。

3.2 基于廣義梯形公式的背景值改進法步驟如下：

1)取(2)中的一次累加序列：

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

2)取y(k)=k，k=1，2，…，n，m=4(或m=8)，

4)構造背景值

當m=4時

當m=8時

或組合公式

4 應用實例

例1：本文以我國人均能源消耗量的預測為例，比較本文與文獻[3]模型的模擬預測精度，數據來源《中國統計年鑒》。其中以1998-2004年的數據建模，預測2005，2006，2007年的數據。結果如表1。按本文方法，建立我國人均能源消耗量灰色預測模型為如(10)式，文獻[3]模型如(11)式所示：

(10)

(11)

表1 我國人均能源消耗量預測比較

續表

例2：

本文以我國航空客運量預測為例，比較本文與文獻[3]的模型模擬預測精度，數據來源《中國統計年鑒》。其中以2000-2004年的數據建模，預測2005，2006，2007年的數據。結果如表2。按本文建立我國航空客運量灰色預測模型如(12)式，文獻[3]模型如(13)所示：

(12)

(13)

表2 我國航空客運量預測

5 小結

從上面的模擬和預測可以看出，所建立的模型模擬和預測精度是很高的，具有一定的實際應用價值。應該指出，在應用中應重視數據的整理處理的方法、分析和篩選。在解決實際問題時可以用不同方法得到不同的模型，從中選擇與現實問題擬合較好的模型，以便提高模型的擬合精度，得到較好的預測模型。

[1]黃巍松，吉培榮，胡翔勇.灰色GM(1，1)模型誤差特性的實驗研究[J].武漢水利電力學報，2000，1(22)：69-72.

[2]譚冠軍.灰色GM(1，1)模型的背景值構造方法和應用[J].系統工程理論與實踐，2000，20(4)：98-103.

[3]李俊峰，戴文戰.基于插值和Netwon-cores公式的GM(1，1)模型的背景值構造新方法和應用[J].系統工程理論與實踐，2004，24(10)：122-126.

[4]檀結慶.連分式理論及其應用[M].北京：科學出版社，2007.

(責任編輯：宋金寶)

A New Approach of Background Value-Building and Its Application Based on the Data Rational Interpolation

HAN Ran

(Science School，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，the author analyses that the building approach method of background value in Grey model GM(1，1)is important and that rationally constructing background value can improve precision and adaptability of the grey model.The method of background value reconstructing in grey model GM(1，1)based on the data rational interpolation and the extrapolation formula of numerical integral is pointed out.Simulation examples show the effectiveness of the proposed approach.

grey system；background value；reconstruction；GM(1，1)model

2016-07-05

韓然(1976-)，男(漢族)，山東濰坊人，中國傳媒大學理學院講師，E-mail：hanran@cuc.edu.cn.

O

A

1673-4793(2017)02-0022-06