基于SplitBregman算法的圖像處理

石國良

(中國傳媒大學 理工學部，北京100024)

基于SplitBregman算法的圖像處理

石國良

(中國傳媒大學 理工學部，北京100024)

在本文中，我們介紹了圖像去噪的經典模型-TV去噪模型，TV去噪能更好地保留圖像的邊緣細節。我們通過實驗使用SplitBregman迭代算法對TV模型進行圖像去噪，最終我們得出SplitBregman算法收斂速度快，處理TV去噪模型時也能保留圖像的細節。

圖像去噪；TV模型；SplitBregman迭代算法；保留圖像細節

1 前言

數字圖像處理主要包括圖像去噪、圖像增強、圖像壓縮、圖像分割、圖像壓縮等，圖像去噪是數字圖像處理的一個重要研究方向。圖像在獲取和傳輸過程中，不可避免地會受到噪聲的污染，所以在后續的圖像處理分析之前去進行圖像去噪是非常有必要的。在1992年 Leonid I.Rudin，S tanleyO sher and Emand Fatemi在”Nonlinear total vaiation based noise removal algorithms”一文中提出了TV去噪模型，該模型在圖像去噪和復原領域有著廣泛的應用。本文主要介紹在TV模型的背景下，使用SplitBregman算法進行圖像去噪，與ROF迭代算法進行比較。

2 圖像去噪的TV模型及其ROF迭代算法

2.1 圖像去噪的TV模型

全變分圖像處理問題就是通過觀測到的帶噪聲圖像u0(x，y)，提取出“干凈的”圖像u(x，y)。模型是u0(x，y)=u(x，y)+n(x，y)

考慮如下的帶約束的梯度最小化問題：

(1)

這個優化問題可以用Lagrange乘子技巧來解決，此時需要考慮的優化問題變為

(2)

(3)

(4)

(5)

2.2ROF迭代算法

(xi，yi)=(ih，jh)，i，j=0，1，2，3，…，N

(6)

時間變化率和邊界條件離散，

(7)

將以上的數值應用到(4)(5)式得出TV模型對應的離散梯度下降流計算格式為

(i，j=0，1，…，N)

(8)

3 Bregman算法及SplitBregman算法

3.1 Bregman算法

從[3]中給出如下的算法：

(9)

我們提出以下迭代算法

(1)加載：u0=0，v0=0

(2)Fork=0，1，2，…，計算uk+1，并更新vk+1：

(注：vk+1的迭代式子由Euler-Lagrange公式推導出)

(10)

(11)

由此得到一個一般的迭代算法；

令u0=0，p0=0，fork=1，2…

計算pk：pk=pk-1+λK*(f-kuk)∈?J(uk)。

3.2 SplitBregman算法

觀察到在使用Bregman迭代解決問題時，求解u的子問題時，計算量大所以在求解u的子問題時采用Split的技巧。假設我們要求求解以下的問題[4]：

(12)

引入一個對偶變量d=Φu，此時(12)就轉化為求解下列問題

(13)

(14)

(15)

(16)

由(16)可得

(17)

bk+1=bk-dk+1+Φuk+1

注意到(17)式與下式等價

(18)

第三項

bk+1=bk-dk+1+Φuk+1

(19)

求解(19)式可使用交替迭代算法，即固定u，求解d，固定d，求解u。在固定u，求解d時，可使用shrink算子求解，在固定d，求u時，方程就是一個較好求解的方程，但是依然會用到求矩陣的逆或者其他手段。

4 實驗結果

我們采用256×256的Lenna彩色圖象和256×256的cameraman灰度圖像，進行實驗。采用的高斯白噪聲均值為0，方差為0.01，圖1為使用SplitBregman算法的TV去噪效果，圖2為使用ROF迭代的去噪效果。

圖1 Split Bregman迭代

圖2 ROF迭代

5 總結

在本文中，我們以TV去噪模型為基礎，利用SplitBregman迭代算法進行TV去噪，實驗結果表明，去噪的收斂速度大大加快，且依然很好地保留了圖像的邊緣。

事實上，當噪聲強度比較大時，TV模型去噪會出現階梯效應的現象，目前比較流行的是使用四階偏微分方程去噪[5]，可以有效地避免階梯效應。

[1]LeonidIRudin，StanleyOsher，EmadFatemi.Nonlineartotalvariationbasednoiseremovalalgorithms[J].PhysicaD，1992，60(7)：259-268.

[2]王橋.數字圖像處理[M].北京：科學書版社，2009：222-228.

[3]MariusLysaker，StanleyOsher，Xue-ChengTai.NoiseRemovalUsingSmoothedNormalsandSurfaceFitting[J].IEEETransactionsonImageProcessing，2004，13(10)：1345-1357.

[4]TomGoldstein，StanleyOsher.TheSplitBregmanMethodforL1RegularizedProblems[J].SIAMJournalonImagingSciences)，2009，2(2)：323-343.

[5]MLysaker，ALundervold，Xue-ChengTai.NoiseRemovalUsingFourth-OrderPartialDifferentialEquationWithApplicationstoMedicalMagneticResonanceImagesinSpaceandtime[J].IEEETransactionsonImageProcessing，2003，12(12)：1579-1590.

(責任編輯：宋金寶)

The Image Processing Based on Split Bregman Algorithm

SHI Guo-liang

(Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，we introduce the classical model of image denosing-TV denosing model，TV denosing can retain the edge details of the noise image effectively.We denoise the blurred image through the Split Bregman iteration algorithm in experiment，and finally we known that using Split Bregman algorithm convergence is fast，what’s more，dealing with problem of TV denoising also can effectively retain the details of the image.

image denosing；Total Variation(TV)model；Split Bregman iteration algorithm；retain image details

2016-04-05

石國良(1988-)，男(漢族)，江蘇淮安人，中國傳媒大學碩士研究生，E-mail：shiguoliang@cuc.edu.cn.

TP

A

1673-4793(2017)02-0032-06