研究Noether準對稱性定理的時間重新參數化方法

劉艷東，張 毅

（1.蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009；2.蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011）

研究Noether準對稱性定理的時間重新參數化方法

劉艷東1，張 毅2*

（1.蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009；2.蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011）

提出并建立了證明Noether準對稱性與守恒量定理的時間重新參數化方法。首先，在時間不變的無限小變換群下給出Lagrange系統和Hamilton系統的Noether準對稱性定理；其次，利用時間重新參數化方法給出在時間變化的一般無限小變換群下Lagrange系統和Hamilton系統的Noether準對稱性定理。最后，舉例說明結果的應用。

時間重新參數化；Noether定理；準對稱性；Lagrange系統；Hamilton系統

1918年，德國女數學家Noether研究了Hamilton作用量在群的無限小變換下的不變性[1]，后人稱之為Noether定理。Noether定理揭示了對稱性與守恒量之間的內在關系，其研究已經取得了一系列重要成果[2-3]。2007年，Frederico和Torres利用時間重新參數化方法建立了基于分數階模型的Noether定理[4]，并進一步加以推廣[5-7]。張毅及其合作者給出了分數階Birkhoff系統[8-12]，時間尺度上Birkhoff系統[13]的Noether理論。但是，利用時間重新參數化方法研究約束力學系統的Noether準對稱性與守恒量迄今未見報道。筆者將時間重新參數化方法應用于研究Lagrange系統和Hamilton系統的Noether準對稱性，建立了相應的Noether準對稱性與守恒量定理。

1 利用時間重新參數化方法研究Lagrange系統的Noether準對稱性

時間區間[t1，t2]上的積分

稱為Hamilton作用量，其中qs（s=1，2，…，n）為廣義坐標，L（t，qs（t），q˙s（t））為系統的Lagrange函數。Hamilton原理可表示為

由原理（2）-（4）可以導出Lagrange方程

方程（5）所確定的動力學系統被稱為Lagrange系統。

定義1（時間不變） 設L1是另外一個Lagrange函數，若單參數無限小變換群

是Lagrange系統（5）的Noether準對稱變換，當且僅當對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。其中ε為無限小參數，ξs為無限小生成元。

由式（7）可知L1與L具有同樣的運動微分方程，此時有

其中△G=εG（t，qs（t）），G（t，qs（t））函數稱為規范函數。

判據1（時間不變） 若變換（6）是Lagrange系統（5）的Noether準對稱變換，則

成立。其中G（t，qs（t））是規范函數，ξs為變換（6）的生成元。

證明由于積分區間[T1，T2]的任意性，式（8）可等價于

對方程兩邊求ε的導數，并令ε=0，易推導出式（9）。

定理1（時間不變） 若變換（6）是Lagrange系統（5）的Noether準對稱變換，則系統（5）存在如下守恒量

證明利用式（9）和（5），可得

所以式（11）是系統的一個守恒量。

定義2（時間變化） 設L1是另外一個Lagrange函數，若單參數無限小變換

是Lagrange系統（5）的Noether準對稱變換，當且僅當對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。其中ε為無限小參數，ξ0，ξs為無限小生成元。

由式（13）可得L1和L具有相同的運動微分方程，此時有

判據2（時間變化） 若變換（12）是Lagrange系統（5）的Noether準對稱變換，則

成立。其中G（t，qs（t））是規范函數，ξ0和ξs為變換（12）的生成元。

證明由式（14）可得

由積分區間[T1，T2]的任意性，式（16）可等價于

對方程（17）兩邊求ε的導數，并令ε=0，易推導出式（15）。

定理2（時間變化） 若變換（12）是Lagrange系統（5）的Noether準對稱變換，則系統（15）存在如下守恒量

證明如果將t看作為一個獨立變量，則每個非自治問題（1）等價于一個自治問題。事實上，在時間t的一一對應的李普希茨變換

其中t（σ1）=t1，t（σ2）=t2，t′σ=dt（σ）/dσ，q′sσ=dqs（t（σ））/dσ。所以，如果作用量S[qs（·）]在定義2意義下是準不變的，則作用量在定義1意義下也是準不變的。由定理1，可以得到

是系統的一個守恒量。

定理1和定理2可以稱為Lagrange系統（5）的Noether準對稱性定理。

2 利用時間重新參數化方法研究Hamilton系統的Noether準對稱性

積分泛函

為相空間中Hamilton作用量，其中qs，ps（s=1，2，…，n）分別為廣義坐標和廣義動量，H（t，qs，ps）為系統的Hamilton函數。

相空間中Hamilton原理可表示為

定義3（時間不變） 設H1是另外一個Hamilton函數，若單參數無限小變換群

是Hamilton系統（25）的Noether準對稱變換，當且僅當對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。其中ε為無限小參數，ξs，ηs為無限小生成元。

由式（27）易得

其中△G=εG（t，qs（t），ps（t）），函數G（t，qs（t），ps（t））稱為規范函數。

判據3（時間不變） 若變換（26）是Hamilton系統（25）的Noether準對稱變換，則

成立。 其中G（t，qs（t），ps（t））是規范函數，ξs，ηs為變換（26）的生成元。

證明由于積分區間[T1，T2]的任意性，式（28）可等價于

對方程兩邊求ε的導數，并令ε=0，易推導出式（29）。

定理3（時間不變） 若變換（26）是Hamilton系統（25）的Noether準對稱變換，則系統（25）存在如下守恒量

證明利用式（29）和（25），可得

定義4（時間變化） 設H1是另外一個Hamilton函數，若單參數無限小變換

是Hamilton系統（25）的Noether準對稱變換，當且僅當對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。其中ε為無限小參數，ξ0，ξs，ηs為無限小生成元。

由式（33）可得H1和H具有相同的運動微分方程，此時有

判據4（時間變化） 若變換（32）是Hamilton系統（25）的Noether準對稱變換，則

成立。其中G是規范函數，ξ0和ξs為變換（23）的生成元。

證明由式（34）可得

由積分區間[T1，T2]的任意性，式（36）可等價于

對方程（37）兩邊求ε的導數，并令ε=0，易推導出式（35）。

定理4（時間變化） 若變換（32）是Hamilton系統（25）的Noether準對稱變換，則系統（25）存在如下守恒量

證明如果將t看作為一個獨立變量，則每個非自治問題（21）等價于一個自治問題。事實上，在時間t的一一對應的李普希茨變換

其中t（σ1）=t1，t（σ2）=t2，t′σ=dt（σ）/dσ，q′sσ=dqs（t（σ））/dσ。所以，如果作用量S[qs（·）]在定義4意義下是準不變的，則作用量，qs（t（·））]在定義3意義下也是準不變的。由定理3，可以得到

是系統的一個守恒量。

定理3和定理4為Hamilton系統（25）的Noether準對稱性定理。

3 算例

例1設力學系統的Lagrange函數

其中k，m為常數。

由判據2可得方程

方程（41）有解

式（42）對應系統的對稱變換，式（43）對應系統的準對稱變換。

由定理2可得

式（44）是由Noether對稱性（42）導致的守恒量，式（45）是由Noether準對稱性（43）導致的守恒量。例2設Lagrange函數為

式（51）是由Noether對稱性（49）導致的守恒量，式（52）是由Noether準對稱性（50）導致的守恒量。

4 結語

動力學系統的對稱性與守恒量的研究具有重要意義，在現代數學、力學、物理學等學科中占有重要的地位。該文主要工作：一是利用時間重新參數化方法證明了Lagrange系統的Noether準對稱性與守恒量定理；二是利用時間重新參數化方法證明了Hamilton系統的Noether準對稱性與守恒量定理。文中方法具有普遍性，可以進一步推廣于其他約束力學系統，如Birkhoff系統等。

[1]NOETHER A E.Invariante Variationsprobleme[J].Gott Nachr，1918，KI，II：235-257.

[2]梅鳳翔.李群和李代數對約束力學系統的應用[M].北京：科學出版社，1999.

[3]梅鳳翔.約束力學系統的對稱性與守恒量[M].北京：北京理工大學出版社，2004.

[4]FREDERICO G S F，TORRES D F M.A formulation of Noether’s theorem for fractional problems of the calculus of variations[J].Mathematical Analysis and Applications，2007，334（2）：834-846.

[5]FREDERICO G S F，TORRES D F M.Fractional optimal control in the sense of Caputo and the fractional Noether’s theorem[J].International Mathematical Forum，2008，3（10）：479-493.

[6]FREDERICO G S F，TORRES D F M.Fractional Noether’s theorem in the Riesz-Caputo sense[J].Applied Mathematics and Computation，2010，217（3）：1023-1033.

[7]FREDERICO G S F，TORRES D F M.Fractional isoperimetric Noether’s theorem in the Riemann-Liouville[J].Reports on Mathematical Physic，2013，71（3）：291-304.

[8]ZHOU Y，ZHANG Y.Noether’s theorems of a fractional Birkhoffian system within Riemann-Liouville derivatives[J].Chinese Physics B，2014，23（12）：124502.

[9]ZHANG Y，ZHAI X H.Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems[J].Nonlinear Dynamics，2015，81（1/2）：469-480.

[10]ZHAI X H，ZHANG Y.Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems with time delay[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2016，36：81-97.

[11]周燕，張毅.分數階Birkhoff系統基于Caputo導數的Noether對稱性與守恒量[J].動力學與控制學報，2015，13（6）：410-417.

[12]張毅，周燕.基于Riesz導數的分數階Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量[J].北京大學學報（自然科學版），2016，52（4）：658-668

[13]SONG C J，ZHANG Y.Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J].Journal of Mathematical Physics，2015，56（10）：102701.

The time-reparameterization method for Noether’s quasi-symmetry theorems

LIU Yandong1，ZHANG Yi2*
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

The time-reparameterization method was proposed and applied to prove Noether’s theorems of quasisymmetry and conserved quantity.Firstly,based on the infinitesimal group of transformations without transforming time，Noether’s quasi-symmetry theorems for Lagrange system and Hamilton system were given.Secondly，Noether’s quasi-symmetry theorems for Lagrange system and Hamilton system under the general infinitesimal group of transformations with transforming time were given by using the time-reparameterization method.Finally, two examples were provided to illustrate the application of the results.

time-reparameterization；Noether’s theorem；quasi-symmetry；Lagrange system；Hamilton system

責任編輯：謝金春

O316MR（2010）Subject Classification：70H33

A

：2096-3289（2017）02-0001-07

2016-12-02

國家自然科學基金資助項目（11272227；11572212）；蘇州科技大學研究生科研創新計劃資助項目（SKYCX 16_004）

劉艷東（1988-），男，河南固始人，碩士研究生，研究方向：力學中的數學方法。*

張 毅（1964-），男，博士，教授，博士生導師，E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn。