混合型迭代序列的弱收斂定理

謝 濤，郭偉平

（1.常州衛生高等職業技術學校 文化基礎部，江蘇 常州213002；2.蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009）

混合型迭代序列的弱收斂定理

謝 濤1，郭偉平2

（1.常州衛生高等職業技術學校 文化基礎部，江蘇 常州213002；2.蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009）

引入一個關于三個漸近非擴張自映射和三個漸進非擴張非自映射的混合型三步迭代序列，在一致凸Banach空間中證明了弱收斂定理，推廣了引文中的相應結果。

弱收斂；公共不動點；漸近非擴張映射；一致凸Banach空間

1972年，Goebel和 Kirk[1]引入了如下漸近非擴張映射。

設K是實賦范線性空間E的一個非空子集。映射T：K→K稱為漸近非擴張的，如果存在一個實數列{kn}n≥1?[1，∞），使得

2003年，Chidume等人[2]引進了漸進非擴張非自映射的概念。

設K是實賦范線性空間E的一個非空子集。設P：E→K是一個從E到K上的非擴張收縮映射。非自映射 T：K→E稱為漸進非擴張的，如果存在一個實數列{{kn}n≥1?[1，∞），使得

設K是實一致凸Banach空間E的一個非空閉凸子集。

Chidume等人[2]研究了如下的迭代列

其中{αn}是（0，1）內的一個實數列，并且在一致凸Banach空間中證明了迭代列（3）的強弱收斂定理。

2006年，Wang[3]推廣了迭代列（3）如下

其中{αn}，{βn}是兩個（0，1）內的實數列，并且在一致凸Banach空間中證明了迭代列（4）的強弱收斂定理。

2012年，Guo等人[4]構造了一種混合型的迭代列如下

其中{αn}，{βn}是兩個（0，1）內的實數列，并且在一致凸Banach空間中證明了迭代列（5）的強弱收斂定理。

受以上工作的啟發，筆者在文獻[5]中，構造了帶誤差項的混合型的三步迭代序列，并證明了該迭代列的強收斂定理。該文是在一致凸Banach空間中證明幾個弱收斂定理，進一步推廣文獻[2-4]中相應結果。

1 預備知識

設E是一個實Banach空間，K是E的非空閉凸子集，P：E→K是一個從E到K上的非擴張收縮映射。設S1，S2，S3：K→K是三個漸近非擴張自映射，T1，T2，T3：K→E是三個漸近非擴張非自映射。混合型迭代列[5]定義如下

其中，{αn}，{βn}和{γn}是（0，1）內的三個實數列，{un（i）}（i=1，2，3）是K中的有界序列。

在式（6）中，令un（1）=un（2）=un（3）=0（?n≥1），式（6）變為如下迭代列

為了證明文中的主要結果，需要如下的概念和引理。

設E是一個實Banach空間，E*是E的對偶空間，J：E→2E*是正規對偶映射，定義如下

其中＜·，·＞表示E和E*之間的偶對，j表示一個單值正規對偶映射。

Banach空間E稱為具有Frechet可微范數[6]，如果對于所有的

存在，對y∈U一致成立.

Banach空間E稱為滿足Opial條件[7]，如果對于在E中的每一點列{xn}n≥1：xn→x（弱），有

Banach空間E稱為具有Kadec-Klee性質[8]，如果對于E中的每一個點列{xn}：xn→x（弱）且||xn||→||x||，有xn→x（強）。

引理1[9]設E是一個實自反Banach空間，E的對偶空間E*具有Kadec-klee性質。設{xn}是在E中的有界點列，p，q∈ww（xn）（ww（xn）表示{xn}的所有子列的弱極限的集合）。若對所有t∈[0，1]，存在。則p=q。

引理2[10]設C是一致凸Banach空間E的非空凸子集。則存在一個嚴格增的連續凸函數φ：[0，∞）→[0，∞），φ（0）=0使得對每一個Lipschitzian映射T：C→C，（Lipschitzian常數L＞0）有

||tTx+（1－t）Ty-T（tx－（1－t）y）||≤Lφ-1（||x-y||-（1/L）||Tx-Ty||），?x，y∈C，t∈[0，1]

引理3[2]設E是實一致凸Banach空間，K是E的非空閉凸子集，T：K→E是一個具有數列{kn}?[1，∞）的漸近非擴張映射，則I－T在0點半閉，即，如果xn→x（弱），xn－Txn→0（強），那么x∈F（T）（F（T）是T的不動點集）。

2 弱收斂定理

引理4[5]設E是實一致凸Banach空間，K是E的非空閉凸子集。設S1，S2，S3：K→K是三個分別具有實數列{kn（1）}，{kn（2）}，{kn（3）}?[1，∞）的漸近非擴張自映射，T1，T2，T3：K→E是三個分別具有實數列{ln（1）}，{ln（2）}，{ln（3）}?[1，∞）的漸近非擴張非自映射，使得，且。設{xn}是由式（6）所定義的的序列，其中，{αn}，{βn}和{γn}是在（0，1）內的三個數列。則對任意的q∈F，存在。

引理5[5]設E是實一致凸Banach空間，K是E的非空閉凸子集。設S1，S2，S3：K→K是三個分別具有實數列{kn（1）}，{kn（2）}，{kn（3）}?[1，∞）的漸近非擴張自映射，T1，T2，T3：K→E是三個分別具有實數列{ln（1）}，{ln（2）}， {ln（3）}?[1，∞）的漸近非擴張非自映射，使得，且。設{xn}是由式（6）所定義的的序列，滿足如下條件：

（a）存在ε∈（0，1），使得{αn}，{βn}和{γn}是[ε，1-ε]中的三個數列；

（b）對所有的x，y∈K及i=1，2，3，有||x-Tiy||≤||Six-Tiy||。

引理6在引理4的假設下，若un（i）=0（i=1，2，3）（?n≥1），則對所有的p，q∈F及一切 t∈[0，1]，極限

存在，其中{xn}是由式（7）所定義的點列。

證明?t∈[0，1]，令an（t）=||txn+（1－t）p-q||。則，由引理4可得存在。

下面證明對于t∈（0，1）引理6也成立。

定義映射Hn：K→K如下：

引理7在引理 4的假設下，若un（i）=0（i=1，2，3）（?n≥1），且 E具有 Frechet可微范數，則對所有的p，存在，其中{xn}是由式（7）所定義的點列。進一步，如果Ww（{xn}）表示{xn}的所有子點列的弱極限集合，則對所有的p，q∈F和x*，y*∈Ww（{xn}），〈x*-y*，j（p-q）〉=0。

證明按文獻[11]中的引理3.2的證明方法 ，只需用引理6代替文獻[11]中的引理3.1即可。

定理1在引理5的假設下，如果E滿足Opial條件，則由式（6）所定義的序列{xn}弱收斂到S1，S2，S3，T1，T2和T3的一個公共不動點。

證明由引理4知{xn}是有界的序列，因為E是一致凸 Banach空間，則存在{xn}n≥1的一個子列{xnk}k≥1，使得{xnk}k≥1弱收斂到某一個點p∈K。由引理5，對于i=1，2，3，有。于是由引理3得p∈F。

現在，假設存在{xn}n≥1的一個子列{xmj}j≥1，使得{xmj}j≥1弱收斂到q∈K并且p≠q。由引理4，有如下兩個極限存在

因此，由 Opial條件，有

顯然是矛盾的。所以p=q。這就證明了{xn}弱收斂到 p。證畢。

定理2在引理5的假設下，若un（i）=0（i=1，2，3）（?n≥1），且 E具有Frechet可微范數，則由式（7）所定義的{xn}弱收斂到S1，S2，S3，T1，T2和T3的一個公共不動點。

證明仿定理1，可以證明存在{xn}n≥1的一個子列{xnk}k≥1，其弱收斂到p∈F。假設存在{xnk}k≥1的一個子列{xmj}j≥1，使得{xmj}j≥1弱收斂到q∈K。那么，用上面給出的同樣的方法，也可證得q∈F。所以p，q∈F∩Ww（{xn}）。由引理7得

因此，p=q，這就證明了{xn}弱收斂到p。證畢。

定理3在引理5的假設下，若un（i）=0（i=1，2，3）（?n≥1），且E的對偶空間E*具有Kadec-Klee性質，則由式（7）所定義的{xn}弱收斂到S1，S2，S3，T1，T2和T3的一個公共不動點。

證明用證明定理1給出的方法，可以證明存在{xn}n≥1的一個子列{xnk}k≥1，其弱收斂到p∈F。假設存在{xn}n≥1的一個子列{xmj}j≥1，使得{xmj}j≥1弱收斂到q∈K。那么，用上面給出的同樣的方法，也可證得q∈F。由引理6，對所有的t∈[0，1]

存在，再注意到p，q∈Ww（{xn}），由引理1，可得p=q，這就證明了{xn}弱收斂到p。證畢。

注記定理1至定理3推廣了文獻[2-4]中的相應結果。

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Weak convergence theorems for mixed type iterative sequences

XIE Tao，GUO Weiping
（1.Department of Cultural Foundation，Changzhou Hygiene Vocational Technology College，Changzhou 213002，China；2.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

We introduced a mixed type three-step iterative sequence for three asymptotically nonexpansive selfmappings and three asymptotically nonexpansive nonself-mappings and proved the weak convergence theorems in the uniformly convex Banach spaces.Our results generalize some corresponding results in the references.

weak convergence；common fixed point；asymptotically nonexpansive mapping；uniformly convex Banach space

責任編輯：謝金春

O177.91MR（2010）Subject Classification：47H09；47H10

A

：2096－3289（2017）02－0017－05

2016－01－07

國家自然科學基金資助項目（11271282）

謝 濤（1986-），男，江蘇溧陽人，助教，碩士，研究方向：泛函分析。