2015年高考福建理科卷壓軸試題解法探究
——洛必達法則在壓軸題中的解題應用

福建省泉州實驗中學(362000) 李仲青●

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2015年高考福建理科卷壓軸試題解法探究
——洛必達法則在壓軸題中的解題應用

福建省泉州實驗中學(362000)
李仲青●

解析 (Ⅰ)(Ⅱ)略.

由洛必達法則得，

故k≤1.

由①②可得，k=1.

筆者在近年的全國卷的高考試題中尋得數例，有興趣的讀者可以動手驗證，嘗試用此方法進行求解.

(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍．

解析 (Ⅰ)略.

(Ⅱ)由x(ex-1)-ax2≥0，可得ax2≤x(ex-1).

(ⅰ)當x=0時，不等式恒成立.

又由洛必達法則得，

>1，因此a≤1.

綜上述：a≤1.

(Ⅰ)求a、b的值；

解析 (Ⅰ)易得a=1,b=1.

當01時h″(x)>0,所以h′(x)有最小值h′(x)=0,即當x>0時，h′(x)≥h′(1)=0,所以h(x)在(0，+∞)上遞增.又因為h(1)=0,

所以當01時，h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)單調遞增.

由洛必達法得，

點評 巧妙地構造和差對偶式解題，達到了化繁為簡、化難為易的效果.

解 設M=cos1°+cos2°+…+cos44°,

構造對偶式N=sin1°+sin2°+…+sin44°.

則M+N=(cos1°+sin1°)+(cos2°+sin2°)+…+(cos44°+sin44°)

點評 充分利用式子的特征，巧妙地構造出對偶式，利用解方程的思想解決未知數，從而使問題得以順利解決.

三、證明恒等式

例5 求證：cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β)

證明 設M=cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β).

構造對偶式N=sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)

則M+N=2-2cos2(α+β)=2sin2(α+β). (1)

M-N=cos2α+cos2β-2cos(α+β)cos(α-β)

=cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]-2cos(α+β)cos(α-β)=0. (2)

由(1)+(2)得 2M=2sin2(α+β)，

即M=sin2(α+β),

原式得證.

例6 在三角形ABC中，求證：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.

證明 設M=cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC,

構造對偶式N=sin2A+sin2B+sin2C+2sinAsinBcosC

則M+N=3+2cosC(sinAsinB+cosAcosB)=3+2cosCcos(A-B)

M-N=cos2A+cos2B+cos2C+2cosCcos(A+B)

=cos2A+cos2B+(2cos2C-1)-2cos2C=cos2A+cos2B-1. (2)

由(1)+(2)得 2M=2，即M=1,

原式得證.

點評 例5與例6都是構造異名對偶式，將sinα與cosα互換，充分運用三角公式進行運算和化簡，從而達到了簡捷、高效的解題目的.

四、證明不等式

例7 求證：2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

證明 設M=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x,

構造對偶式N=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x.

則M+N=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x=7(sin2x+cos2x)2-8sin2xcos2x

=7-2sin22x=5+2cos22x, (1)

M-N=3(cos4x-sin4x)=3(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=3cos2x. (2)

原式得證.

點評 此題若采用降冪或化同名三角函數的思路證明就非常困難，而根據對稱的思想構造了一組對偶式來進行證明，解題過程就顯得簡潔明了.

構造對偶式，N=(1-sinA+sinB)+(1-sinB+sinC)+(1-sinC+sinA).

(當且僅當 sinA=sinB=sinC即A=B=C時等號成立)

又因為N=3，所以M≥3.故

點評 巧妙地構造出與之匹配的倒數對偶結構式，合理、妥善地運用基本不等式獲得了較為簡捷的解答.

五、解方程

解 設M=cos2x+cos22x+cos23x,

構造對偶式，N=sin2x+sin22x+sin23x.

則M+N=3, (1)

M-N=cos2x+cos4x+cos6x=cos(3x-x)+cos(3x+x)+(2cos23x-1)

=2cos3xcosx+(2cos23x-1)

=2cos3x(cosx+cos3x)-1

=4cosxcos2xcos3x-1. (2)

由(1)+(2)得 2M=4cosxcos2xcos3x+2.又M=1

點評 通過構造對偶式，把原方程轉化為cosxcos2xcos3x=0這一美妙而又簡單的有利條件，使問題得到了圓滿解決.

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1008-0333(2017)10-0008-02