三視圖的一個重要應用
——多面體的外接(內切)球半徑的求法舉要

湖北省巴東一中(444300) 張世林●

湖北省恩施高中(445000) 譚 斌●

?

三視圖的一個重要應用
——多面體的外接(內切)球半徑的求法舉要

湖北省巴東一中(444300)
張世林●

湖北省恩施高中(445000)
譚 斌●

求三視圖還原而成的幾何體的外接(內切)球的表面積或體積的問題在2016屆各地的高考模擬題中大量出現，這是高考的重點，也是學生學習的難點．困難表現在兩個方面：一是根據三視圖如何準確還原幾何體；二是依據畫出的幾何體的特征如何采用適當的方法求外接(內切)球的半徑．現就此類問題的常見求法舉例分析如下．

一、找“墻角”

例1 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( ).

解析 如圖，還原的多面體就是三棱錐A-BCD，其外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球.注意：DC,

二、尋外心

①當幾何體中出現兩個垂直關系，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半，球心為直角三角形斜邊中點(即直角三角形的外心)．

② 因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓，截面圓上的點與圓心、球心構成直角三角形，運用公式R2=r2+d2求半徑．

例3 已知三棱錐S-ABC的頂點都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°,則球O的表面積為____.

變式 一幾何體的三視圖如左圖，則它的外接球的表面積為( ).

A.12πB.16πC.20πD.24π

三、作截面

通過尋找外接球的一個軸截面圓，把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究.

例4 已知一幾何體的三視圖如右圖所示，則此幾何體的外接球的體積為____.

四、用結論

例5 如右下圖所示為某幾何體形狀的紙盒的三視圖，在此紙盒內放一個小正四面體，若小正四面體在紙盒內可以任意轉動，則小正四面體的棱長的最大值為( ).

鞏固練習1.如圖1，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為____.

3.如圖2是某幾何體的三視圖，求該幾何體的體積.

4. 如圖3，網格紙上小正方形的邊長為2，粗線畫出的是某幾何體的三視圖則該幾何體的體積是____.

5. 如圖4，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為____.

答案：1. 41π；2.16π;3. 8/3 4.14π5.41π/4

G

B

1008-0333(2017)10-0013-02