簡解2016年高考全國卷Ⅲ文科第21(3)題

北京市豐臺二中(100071) 甘志國●

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簡解2016年高考全國卷Ⅲ文科第21(3)題

北京市豐臺二中(100071)
甘志國●

高考題 (2016年高考全國卷Ⅲ文科第21題)設函數f(x)=lnx-x+1.

(1)討論f(x)的單調性；

(3)設c>1，證明當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

(2)由(1)的結論知，函數f(x)在x=1處取得最大值，且最大值為f(1)=0.

所以當x>0且x≠1時，lnx

(3)設g(x)=1+(c-1)x-cx，可得g′(x)=c-1-cxlnc.

當x0，g(x)單調遞增；當x>x0時，g′(x)<0，g(x)單調遞減．

又因為g(0)=g(1)=0，所以當00.

即當x∈(0，1)時，1+(c-1)x>cx.

(3)的另證 設h(c)=1+(c-1)x-cx(c>1)，可得

h′(c)=x(c0-cx-1)>0(01).

所以h(c)是增函數，得h(c)>h(1)=0,1+(c-1)x>cx(c>1).

注 本題第(3)問的背景是貝努利(Bernoulli)不等式.

普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修4-5·A版·不等式選講》(人民教育出版社2007年第2版)第51頁例3介紹的“貝努利(Bernoulli)不等式”的一般情形是：設t≥-1，則當0<α<1時，(1+t)α≤1+αt；當α<0或α>1時，(1+t)α≥1+αt.

在結論“(1+t)α<1+αt(t>0,0<α<1)”中，令t=c-1(c>1),α=x(0

G

B

1008-0333(2017)10-0023-01