零點與極值點重合之后

浙江省桐鄉第二中學(314511) 范廣法●

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零點與極值點重合之后

浙江省桐鄉第二中學(314511)
范廣法●

本文重點介紹了一類函數的零點與極值點重合時的一個結論,并結合高考實例給出常見應用.

零點與極值點重合;結論

用穿針引線法解高次不等式時，若遇到重根時則要求“奇穿偶不穿” ．如設f(x)=x(x-1)2(x-2)3，意思是說：由于2是方程f(x)=0的奇數重根，在x=2附近函數y=f(x)的圖象要穿透x軸；而1是方程f(x)=0的偶數重根，在x=1處函數y=f(x)的圖象碰到x軸后立刻反彈,而不是穿透，俗稱“穿而不透”．結合穿針引線法所畫函數y=f(x)的圖象不難發現，1既是函數y=f(x)的極值點又是零點，推而廣之后有：

一、“式”“圖”結對研判圖象

例1 (2009年安徽高考)設a

解析 (x-a)2是函數y=(x-a)2(x-b)的因式，這是已知函數在“式”上的特征，又a

二、明確身份特征，化解參數取值

上述結論中的x0及例1中的a都具有雙重身份——y=f(x)的極值點、零點，有時只要抓住這一點就可化解參數取值.

例2(2016年浙江高考)設函數f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，x∈R，則實數a=____，b=____．

解析 首先明確參數a,b的身份，設g(x)=f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，g(x)與f(x)的圖象存在上下平移關系，所以非零實數a是g(x)的極值點(當然也是f(x)的極值點)、零點，b是g(x)的另外一個零點，這樣實數a,b的身份就清楚了.其次化解參數a,b的取值，又f(x)=x3+3x2+1的極值點是-2、0，所以非零實數a=-2，從而g(x)=f(x)-5=(x-b)(x+2)2，令x=0求得實數b=1.

例3 (2016年天津高考)設函數f(x)=x3-ax-b，x∈R，其中a,b∈R．若f(x)存在極值點x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=0.

例4 (2012年浙江高考)設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=____．

解析 設f(x)=[(a-1)x-1](x2-ax-1)，當x→+時，x2-ax-1>0,f(x)≥0，必有(a-1)x-1≥0，所以a-1>0.而x>0時f(x)=0有兩正根．要使得x>0時f(x)≥0恒成立，考慮到穿根的特點，兩正根必相等，所以具有雙重身份——f(x)的極小值點、零點，，從而求得．

三、利用恒等原理，化解參數取值

例2例3中都有“x∈R”，這表明給定的式子是恒成立的，從此入手也可化解參數難題.

例5 (同例3)

解析二f(x)-f(x0)=(x-x1)(x-x0)2.因為f(x0)為常數且x∈R，所以f′(x)與[f(x)-f(x0)]′恒等，即3x2-a與(x-x0)(3x-x0-2x1)恒等，再求導有6x與6x-4x0-2x1恒等，比較兩邊的常數項有0=-4x0-2x1即x1+2x0=0．

4.利用取值畫圖,研判極值點類型

上述結論不能研判x0是極大值點還是極小值點，如若研判極值點類型，可參考以下兩例．

例6 (2013年浙江高考)已知e為自然對數的底數，設函數f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，則

A．當k=1時，f(x)在x=1處取到極小值

B．當k=1時，f(x)在x=1處取到極大值

C．當k=2時，f(x)在x=1處取到極小值

D．當k=2時，f(x)在x=1處取到極大值

解析一 當k=1時，f(x)=0只有兩解0，1，由穿針引線法可作出函數f(x)的大致圖象，排除A,B；當k=2時，f(x)=0只有兩解0，1(二重根)，由穿針引線法可作出函數f(x)的大致圖象(見圖)，易知只有選項C正確.

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