絕對值三角不等式的基本應用

湖北省武穴市實驗高級中學(435400) 李秀元●

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絕對值三角不等式的基本應用

湖北省武穴市實驗高級中學(435400)
李秀元●

一、知識背景

若a，b是實數，則|a+b|≤|a|+|b|①，當且僅當ab≥0時，等號成立.不等式①由于類似于三角形兩邊之和大于第三邊，故稱為絕對值三角不等式.其中，實數a，b換成向量a，b，不等式也是成立的，即有|a+b|≤|a|+|b|②，當且僅當a，b同向時等號成立.不等式②將絕對值三角不等式從一維擴展到二維，可以看成不等式①的一種幾何背景.更一般地，我們有|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，|a-c|≤|a-b|+|b-c|.

二、應用舉例

基本應用一：求函數的最值

例1 已知a,b>0，函數f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4，求a+b+c的值.

解 由絕對值不等式得f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|x+a-(x-b)|+c=a+b+c，所以a+b+c=4.

例2 若對任意實數x，不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立，則實數a的取值范圍是____．

解 因為|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4，要使不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立，則a2-3a≤4，解得-1≤a≤4．

例3 設f(x) =|x-1|+|x+1|．

(1)求f(x)≤x+2的解集；

解 (1)簡解得f(x)≤x+2的解集為[0，2].

說明 無論是直接求絕對值函數的最值，還是含參不等式恒成立，其落腳點都是絕對值三角不等式公式的直接套用.

基本應用二：求代數式的最值

例4 對任意x,y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

解 |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥|x-1-x|+|y-1-(y+1)|=3，選B.

例5 若實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是____.

解 令x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0,2π)，0≤r≤1.

則|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|2x+y-2-(6-x-3y)|=|3x+4y-8|=|3rcosθ+4rsinθ-8|

說明 本題是2015年高考浙江卷的一道填空題，是少有應用絕對值三角不等式的難題，其包含考點較多，可以用線性規劃方式求解，但過程略顯復雜，本解法應該是比較精彩的.

解 因為F=max{|x2-4y+m|，|y2-2x+n|}，所以2F≥|x2-4y+m|+|y2-2x+n|≥|x2-4y+m+y2-2x+n|=|(x-1)2+(y-2)2+1|≥1.

基本應用三：證明不等式

所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-1|

例9 已知定義在[0,1]上的函數f(x)滿足：

①f(0)=f(1)=0；

若對所有x,y∈[0,1]，|f(x)-f(y)|

解 不妨令0≤y

選B.

說明 本題有三個關口，一是函數的抽象性，沒有具體的解析式，二是對x-y取值的分類標準的把握，三是依據函數端點值構造絕對值三角不等式，突破關口才能順利解題.

基本應用四：和向量模的最值

解 因為|a|=1，|b|=2，|2a-b|≤2|a|+|b|=2+2=4，所以m>4.

A.6 B.7 C.8 D.9

說明：對于和向量模的最值問題，一般是將向量用坐標表示，進而用代數(三角)方法求解，但用絕對值三角不等式，避免了更多的代數運算，似乎來得更快.

G632

B

1008-0333(2017)10-0022-02