明晰目標抓特性順勢而為促優解
——由兩道導數試題引發的思考

安徽省靈璧第一中學(234200) 鄭 良●

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明晰目標抓特性順勢而為促優解
——由兩道導數試題引發的思考

安徽省靈璧第一中學(234200)
鄭 良●

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.通過對含參不等式恒成立、函數零點等典型問題的解答與反思，澄清對相關問題的認識與理解，并給出學習方式方法的思考.

函數最值法；分離參數法；圖象法；設而不求；數學素養

學生解題時往往囿于模式而不能根據特性跳出模式，導致過程冗長，事倍功半.本文對兩道導數試題進行分析求解，以期幫助學生提高審題的敏感性，思維的深刻性，方法適切性、過程的合理性.

(Ⅰ)若函數f(x)在區間(-1,+∞)內是增函數，求k的取值范圍；

(Ⅱ)當x>0時，不等式f(x)

分析 判斷函數單調性的常見方法為定義法、導數法、復合函數法、圖象法等，學生更喜歡選擇“功能強大”的導數法.對于含有參數的不等式(或方程)問題，確定參數取值范圍的基本方法是函數最值法、分離參數法、圖象法等，學生往往優選分離參數法.

又當k=-1時，f(x)是常數函數，所以k>-1.即k的取值范圍為(-1,+∞).

解法2 當x>0時，f(x)0)，則m′(x)=k-1-ln(x+1)，令m′(x)=0，得x=ek-1-1.

(ⅰ)當k≤1時，函數m(x)在(0,+∞)上單調遞減，當x>0時，都有m(x)≤m(0)=-1<0，符合題意.

(ⅱ)當k>1時，函數m(x)在(0,ek-1-1)上單調遞增，在(ek-1-1,+∞)上單調遞減.當x>0時，都有m(x)≤m(ek-1-1)=ek-1-k-1，要使f(x)1)，h′(x)=ex-1-1>0，所以h(x)在區間(0,+∞)上單調遞增.又h(2)=e-3<0，h(3)=e2-4>0，所以正數k的最大值為2.

(ⅰ)當k≤0時，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上單調遞減，所以g(x)

點評 對于第(Ⅰ)問，解法1用導數法判斷函數單調性，判定條件務必準確(函數f(x)在區間D上單調遞增?f′(x)≥0在區間D上恒成立，且f′(x)不恒為0，減函數類似)，f(x)的分母為一次式，分子中x(最高次)的系數為參數k，故有可能為常數函數.解法2通過等價變形直接利用反比例型函數的結論，事半功倍.當然也可以用函數單調性定義來求解.對于第(Ⅱ)問，解法1分離參數，此法解題的關鍵是原不等式(或方程)能分離出來參數，且分離后得到的新函數相對簡單，為后續研究函數性質奠定基礎.在判斷n(x)單調性時，遭遇h(x)零點“不可求”，通過“設而不求”遇水搭橋，求n(x)最小值時采用整體代換實現化歸與轉化，對學生的能力要求較高.解法4為圖象法，此法的關鍵要求兩個函數的圖象盡可能準確且差異明顯，對圖象局部模糊的部分進行放大或代數化處理，解題時盡可能規避函數的凹凸性.解答中用到了“設而不求”及下凸函數的性質.解法2與解法3均為函數最值法，通過研究函數的(定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性)性質，畫出函數的圖象，此處主要用到函數的最值性，不同的是，解法2將問題模式化：化分式為整式，此法可通過規避分式函數分子與分母求導繁雜的運算來優化解題過程，考慮到f(x)的分子與分母均為x的“一次”式，且ln(x+1)的真數恰為f(x)的分母，直接作差(解法3)求導更容易確定導數的零點，進而判斷原函數的單調性.通過對函數特性的分析，解法3更貼近學生認知，效果更好.

解法3 由題意知f(0)=f(2)=0，即無論a為何值時，f(x)有兩個不同的零點0，2.

解無定法，貴在得法.平時學習時要各種方法一起抓，經歷思維從膚淺到深刻的過程，比較解法差異與優劣，力爭既見樹木又見森林，以便宏觀規劃、細微入手.

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1008-0333(2017)10-0031-02