柯西不等式在求多元函數最值中的應用再探

江西省贛州市第三中學(341000) 溫芳勇●

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柯西不等式在求多元函數最值中的應用再探

江西省贛州市第三中學(341000)
溫芳勇●

解 觀察變元x、y、z的次數，依低次在不等式左邊、較高次在不等式右邊的原則，確定要湊配成(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)( )這種形式.

故括號里面的數很明顯是12+22+32.

據此有，(x+2y+3z)2≤ 5×(12+22+32)=70,

例3 設x+y+z=1，求函數u=2x2+3y2+z2的最小值.

解 要湊配成柯西不等式，觀察其變元的次數，低次在左邊、高次在右邊的原則得不等式的形式是：(x+y+z)2≤( )(2x2+3y2+z2).

通過上述三個例子，我們可以發現利用柯西不等式解題的一個關鍵是如何由已知條件湊配到柯西不等式.在這里，我們發現柯西不等式形式的一個規律是含低次方變元的代數式在不等號的左邊，含更高次方變元的代數式在不等式右邊，以此為突破口來進行構建柯西不等式就顯得容易多了.

[1] 傅建紅.例說根式型柯西不等式在求多元函數最值中的應用[J].中學數學研究，2012(3).

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1008-0333(2017)10-0034-01