構造函數法證明不等式

山東省青島第三十九中學(266000) 李洪忠● 劉世永●

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構造函數法證明不等式

山東省青島第三十九中學(266000)
李洪忠● 劉世永●

在比較大小或證明不等式的過程中，通過構造函數，利用函數的單調性，能有效地解決此類問題.下面通過例題說明如何從條件結構特點，構造函數解決此類問題.

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b

分析 從選擇支的結構形式來看，比較大小關系應構造y=xf(x)，然后利用函數的單調性比較大小.

解 ∵函數y=f(x)是定義在R上的奇函數，

∴x∈(-∞,0)時，xf′(x)

x∈(-∞,0)時，函數g(x)=xf(x)單調遞減且為偶函數，∴x∈(0，+∞)時，函數g(x)=xf(x)單調遞增.

∴c>a>b，故選A.

例2 已知y=f(x)是定義在R上的可導函數，且?x∈R,均有f(x)>f′(x)，則有( ).

A. e2015f(-2015)e2015f(0)

B. e2015f(-2015)

C. e2015f(-2015)>f(0),f(2015)>e2015f(0)

D.e2015f(-2015)>f(0),f(2015)

∵?x∈R,均有f(x)>f′(x),

∴g(-2015)>g(0),g(2015)

∴e2015f(-2015)>f(0),f(2015)

例3 已知e

分析 考慮到條件e

通過下邊的練習體會如何構造函數證明不等式或比較大小.

A.c

A.a

3.已知定義在(0,π/2)上的函數y=f(x)，導數是y=f′(x)，恒有f(x)

4. 定義在R上的奇函數y=f(x)的導數是y=f′(x),2f′(x)+f(x)<0成立，則有( ).

簡析 構造函數g(x)=xf(2lnx)，是減函數.故選B.

總之，對于這一類比較大小的題目，一定注重選擇支結構特點的提示作用，通過適當構造函數，然后求函數的導數得到函數的單調性，利用單調性達到比較大小的目的.當然有些題目還需要先變形，再證明，需要在解題的過程中不斷積累，不斷提升.

G632

B

1008-0333(2017)10-0044-01