探究轉化與化歸的思想在高中數學中的應用

江蘇省海門中學(226100) 汪香麗●

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探究轉化與化歸的思想在高中數學中的應用

江蘇省海門中學(226100)
汪香麗●

在高中數學中，我們常遇到一些這樣的問題，若要直接去解決會較為困難，但若通過對問題進行轉化、歸類就會簡單很多，這種解決問題的方法是高中數學的四大思想之一——轉化與化歸的思想方法.

在高考中，對轉化與化歸思想的考查，總是結合對演繹證明，運算推理模式構建等理性思維能力的考查進行，可以說高考中的每一道題，都離不開考查化歸意識和轉化能力，下面著重從五個方面來闡述高中數學應用中主要涉及的基本類型.

一、特殊與一般的轉化

一般也成立，特殊也成立.由特殊得到一般性的規律與結論，這種數學思想在高中數學中較為常見，這也正是化歸思想的體現.

分析 根據題意，面積大小為定值，與點P的位置無關，故可取任意一點解決問題.

評注 在高考的填空題中，經常會遇到定值問題的計算，我們可以取特殊點，特殊的幾何圖形，特殊的位置等，將一般問題特殊化，使問題變得直接簡單，達到了事半功倍的效果.另外，在解析幾何中，經常也會遇到求定值、定點問題，我們利用特殊的情況先找到定點，可以鎖定目標，再加以證明，可以簡化問題.

2.數與形的轉化

數與形的結合在解決函數與方程的問題中應用較為廣泛.它包含了“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，借助形的直觀性來闡述數之間的聯系或借助于數的精確性和規范嚴密性來闡述形的某些屬性.

分析 方程f(x)=0的根的個數問題可轉化為函數y=f(x)的圖象與x軸交點個數問題；或者通過分離參數轉化為研究兩個函數圖象交點個數問題.

評注 數形結合更能快速抓住問題的本質，從而得到結果.在高考的填空題中，很多抽象的問題需要借助圖形去解.比如“超越不等式”恒成立問題，轉化為兩個函數圖象的上下位置關系來研究等.不過運用數形結合一定要對有關的函數圖象較為熟悉，否則錯誤的圖形會導致錯誤的結果.

三 等與不等的轉化

等與不等式解決數學問題中矛盾的兩個方面，但它們在一定的條件下可以轉化，例如有些問題，表面上只有不等的關系，但只要我們善于挖掘其中隱含的等量關系，可以達到解決問題的目的；而有些問題表面只有相等的數量關系，根據相等關系又難以解決,但若我們若能通過建立不等式或不等式組去解決，可以達到簡捷求解的效果.

分析 含絕對值函數最值問題，一般要么去掉絕對值符號，或者研究絕對值里面的函數，對于這道題選擇這兩種方法都有一定的困難.題目本質是一個不等式組恒成立問題，通過對變量進行賦值，從而達到從“不等”向“等”的轉化.

評注 兩邊夾是解決由不等到等的一個重要方法.利用等與不等的辯證關系，往往使問題得到有效解決.

3.正與反的轉化

在處理某些問題時，按照習慣思維方式從正面思考會遇到困難，甚至不可能時，用逆向思維去解決，往往能達到突破性的效果.

例4 設g(x)=3-x2，正實數a,b,c滿足ag(b)=bg(c)=cg(a)>0，證明a=b=c.

分析 題目中所給的條件，如果直接從正面入手，解出a,b,c，形式較復雜，很難達到解決問題的目的，這時可從反面入手，即假設a,b,c中至少有兩個不等.

解 假設a,b,c中有兩個不等，不妨設a≠b，由ag(b)=bg(c)=cg(a)>0即a(3-b2)=b(3-c2)=c(3-a2)>0.由a≠b則a>b或者ab則3-b2<3-c2?b>c，又因為b(3-c2)=c(3-a2),結合b>c可得3-c2<3-a2?c>a.綜上可得a>b>c>a，此式不可能成立.

②若a

評注 正難則反，求補集的轉化思想在高中數學中也體現得非常明顯.

4.平面與空間的轉化

利用分割、補形、折疊、展開、作輔助線等方法處理空間圖形或平面問題，將立體問題轉化為平面問題來求解或類比相關的結論，是解決立體幾何的常用方法.

例5 已知正三棱錐S-ABC的側棱長為2，側面等腰三角形的頂角為30°，過底面頂角A作截面AMN分別交側棱SB,SC于點M,N，則△AMN周長的最小值為多少？

分析 平面內的兩點間的距離最短.在求三棱錐中兩點間的最短距離，利用展開圖的方法，也是把立體問題化歸為平面問題的重要依據.

評注 展開圖就是將空間圖形展開攤平成一個平面圖形，能使空間圖形中一些不易觀察的幾何體元素之間的數量關系在平面圖形中顯而易見.另外，在計算幾何體體積時或點到平面的距離時，常常用到割補或等積轉化或轉移等手法，從而達到化歸的目的.

轉化與化歸的主要特點是它的靈活多樣，它的關鍵在于確定化歸的方向與目標，通過對問題進行變形，不斷改變問題形態的過程.通常在遇到一些陌生的問題時，要充分聯想自己已知的問題，是否有與這一問題類似的情形，就是從不熟悉中尋找熟悉的因素，從而找到解決問題的突破口.此外，我們在用轉化思想解決問題時，還要注意以下幾個方面：(1)選擇恰當化歸目標，保證化歸的有效性.明確的目標，且要選擇好方法是化歸思想能有效實施的重要保障.(2)注意問題轉化的等價性，要確保邏輯正確.在實施轉化過程中，要做到命題的等價轉換或代數式的同解變形，才能解決問題.(3)注意轉化的不唯一性，我們解題時常常一題多解，如何在有限時間內選擇最優的方法去解決問題，需要長期的積累和總結.

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1008-0333(2017)10-0051-02