巧用“sin2x+cos2x=1”解題

浙江省諸暨市浬浦中學(xué)(311824) 蔡 明●

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巧用“sin2x+cos2x=1”解題

浙江省諸暨市浬浦中學(xué)(311824)
蔡 明●

“sin2x+cos2x=1”是三角函數(shù)中的一個重要同角關(guān)系式，在解決一些三角函數(shù)有關(guān)問題及非三角函數(shù)問題時，能充分挖掘、考慮與公式“sin2x+cos2x=1”間的內(nèi)在聯(lián)系，巧用此公式解題，往往可以起到事半功倍的效果.下面幾例拋磚引玉.

例1 已知tanα=2，求sinαcosα+cos2α的值.

本題為典型的齊次式問題，結(jié)合二次式聯(lián)想sin2x+cos2x=1，可避免求解sinα,cosα的值.

解 根據(jù)AB⊥BC可知，AC為直徑，由點A,B,C在圓x2+y2=1上運動，可設(shè)A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(-cosα,-sinα),

本題利用x2+y2=1上的點結(jié)合sin2x+cos2x=1將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

例3 已知實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是____.

解 根據(jù)題意設(shè)x=rcosα,y=rsinα，其中0≤r≤1.

|2x+y-4|+|6-x-3y|=|2rcosα+rsinα-4|+|6-rcosα-3rsinα|

=4-2rcosα-rsinα+6-rcosα-3rsinα

=10-3rcosα-4rsinα=10-5rsin(α+φ).

當(dāng)且僅當(dāng)r=1,sin(α+φ)=-1時，|2x+y-4|+|6-x-3y|有最大值為15.

本題借助sin2x+cos2x=1，巧妙地避開線性規(guī)劃與分類討論思想求解，有著柳暗花明又一村的感覺.

利用sin2x+cos2x=1有效地去掉根式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

例5 已知a,b為實數(shù)，滿足a2-2ab+4b2=4，求ab的最小值.

根據(jù)條件的二次聯(lián)想圓的模型，可考慮運用三角換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

本題結(jié)合sin2x+cos2x=1將二元最值問題轉(zhuǎn)化為一元最值，實現(xiàn)降元思想，將所求問題進(jìn)行優(yōu)化.

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，則a3=2a2-a1=2cosx-sinx.

本題利用sin2x+cos2x=1將數(shù)列問題有效地轉(zhuǎn)化為三角問題，借助三角這個工具實現(xiàn)所求.

總體來看，利用sin2x+cos2x=1求解的本質(zhì)實為三角函數(shù)的思想，將所求問題演變?yōu)槿呛瘮?shù)問題，巧用sin2x+cos2x=1可輕松、快速求解問題，實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化，也使問題迎刃而解.

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1008-0333(2017)10-0011-01