靈感源于構造三角形

南京市大廠高級中學(210044) 雷亞慶●

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靈感源于構造三角形

南京市大廠高級中學(210044)
雷亞慶●

有些代數問題處理起來無從下手，沒有頭緒，如果我們能夠根據已知條件構造出三角形，把抽象的代數問題轉化為三角問題，就會使隱藏的關系直觀化，從而發現解題思路，實現難題巧解，下舉幾例加以說明.

例1 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

解析 構造△ABC,使得A=38°,B=82°,C=60°,設△ABC外接圓直徑為2R,則

sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

由正弦定理：

sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

解題反思 如果利用三角公式進行化簡和求值運算，需要降冪公式和和差化積公式，較繁瑣，仔細觀察所給角的特征我們發現38°,82°與60°正好構成一個三角形的三個內角，因此考慮構造三角形利用正余弦定理求解.實際上利用歸納推理，大家還可以得到一般性結論: 這實際上是正余弦定理的綜合形式：

sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

例2 求tan15°.

解析 如圖2構造Rt△ABC，∠C=90°,AB=2,CA=1,則∠ABC=30°.

延長CB到D,使BD=BA，連AD，則∠ADC=15°

解題反思 先構造含有30° 角的直角三角形，再利用平面幾何知識構造出含有15°的直角三角形，利用銳角三角函數的定義輕松解決問題.事實上，如圖3我們把結論一般化可以利用構造直角三角形的方法巧妙地記憶正切的半角公式：

例3 已知a、b、c均為正實數,滿足關系式a2+b2=c2,又n為不小于3的自然數，

求證:an+bn

證明 設a、b、c所對的角分別為A、B、C，知C是直角，A為銳角，

因為0

所以n≥3時，有

sinnA

于是有sinnA+cosnA

從而就有an+bn

解題反思 由于這是一個關于自然數n的命題，一些學生都會想到用數學歸納法來證明，實際上由條件a、b、c均為正實數及a2+b2=c2可聯想到勾股定理,a、b、c可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函數的定義可得如上證法.

解題反思 很多同學看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁.從題目的外表形式觀察到，要證的結論的右端與平面內兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式.根據其特點，可構造三角形巧妙而簡捷加以證明，這正是思維變通的體現.

由雙曲線的第二定義有

解題反思 離心率是圓錐曲線的一個重要的基本量，根據直線與圓錐曲線位置關系求離心率是一個難點.如果我們掌握利用構造直角三角形，利用圓錐曲線的統一定義找到離心率，直線斜率和直角邊的關系，就可以順利求解.而且此類問題也有一般性結論，有興趣的老師和同學可以自行探究.

由此問題轉化為：在線段AB上取一點C，使MC+NC最小.

利用對稱性問題得以輕松的解決.答案應為13.

解題反思 本題有點兒那種“數缺形時少直觀”的感覺.而且用純代數方法不易尋得解題思路， 而如果變數為形，構造直角三角形，展示題目特點，利用對稱則可輕松獲解.

通過構造三角形對上述幾個問題的解決告訴我們解題時要注意代數與幾何之間的聯系，將題目條件的數字或式子特征與直觀圖形聯想起來，通過類比聯想、數形結合思想把問題放在三角形中，利用解三角形的知識使解題更加簡潔明了.

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1008-0333(2017)10-0012-02