《兩點間距離公式及中點公式》教學案例

高蓀芳

【摘要】基于《數學》課程本身的抽象、難于理解的特點以及中高學生自身的學業情況，案例通過與生活中的實際場景相結合，運用多種教學方法和手段進行課堂教學，不斷激發學生的學習積極性，引導學生積極參與問題的抽象與解決，理解數學的思維方法。

【關鍵詞】兩點間距離公式 中點公式 幾何畫板

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）14-0145-02

一、案例背景

（一）教材分析

《兩點間距離公式及中點公式》是江蘇省職業學校文化課教材《數學》第八章第一節的內容。對培養學生學會用代數方法解決幾何問題思維方法至關重要，同時可以提高學生的數形結合思考問題的能力，是學生進一步學習后續內容的基礎。

（二）教學目標

1.知識與能力目標：掌握兩點間距離公式和中點公式。

2.數學思想與方法：解析幾何；數形結合。

3.情態態度與價值觀目標： 距離中“愛”的表現；了解解析幾何發展的過程。

（三）教學理念

1.注重與中等職業學校學生學習能力實際銜接，貫徹“深入淺出，由易到難，由具體到抽象，循序漸進”的原則，采用具體——抽象——應用的辦法。

2.讓學生在接受、記憶、模仿和練習的基礎上，主動探索、動手實踐。使學生在數學學習過程中注重“理解”基礎知識，掌握基本技能，領會數學的方法。

3.把數學與實際生活、工作情境相聯系。

4.現代信息技術手段的使用：PPT、幾何畫板、CAD。

二、案例呈現

（一）導入新課

故事引入：PPT圖片中一位母親和孩子正在抬水，只見母親用手費力地拉著水桶盡量使水桶更靠近自己，孩子“驕傲地”地向前走。

問題1：媽媽為什么把水桶使勁拉向自己？

問題2：水桶放在中間對媽媽和孩子是不是更“公平”？

問題3：如果那個孩子是你，你知道長大后該如何做？

讓學生在“距離”中感受愛是什么，同時體會在成長過程中承擔責任。體會愛不是掛在嘴上，而是要落在一樁、一件日常生活的小事上。

（二）新課講授

（1）承前啟后

A.回顧數軸上兩點間的距離如何計算？——絕對值和相反數的概念復習。同時強調數軸上點的“一維”性，為平面直角坐標系中點的“二維”性以及空間坐標系的點“三維”性作好鋪墊。

B.勾股定理回顧：先從具體問題開始，引出數學中要探究的“唯一性”概念定義。

問題4：若小紅從“原點”出發，沿X軸正向走了3M，再沿Y軸正向走4M到達A點，則小紅到A點共走了多少M，從原點出發小紅到A點的最短距離是多少？

解決問題：從問題出發，認識到從一點到另一點有無窮多的“路線”可走，但兩點間的“直”線段距離最短。在潛移默化中將數學的思維方法體現出來。

C.平面向量回顧：因平面向量剛學習結束，可以將要用的三個知識點即向量的坐標表示、模的計算和向量相等讓學生回顧，這樣，既復習了舊知識，又引出了新舊知識之間的聯系。

（2）一般抽象

A.將坐標系中任意兩點的橫坐標、縱坐標進行“投影”，將“二維”轉化為兩個“一維”（解決問題方法：將“新”轉化為“舊”來解決），然后“構造”直角三角形，從而得出兩點間的距離公式。

B.確定向量模的計算，由向量的減法運算可知任意兩點表示的向量坐標，然后由向量的內積與模的關系可知距離公式。

C.若P為兩點的中點，由向量相等的定義可知P點與端點的坐標關系，從而導出中點公式。

（三）應用練習：從抽象到應用，練習要有層次。

問題5：計算A（1，5）、B（3，4）兩點的距離及中點D的坐標。

問題6：已知三角形的三點A、B、C，求各邊上中線的長度。

問題7：若有點E將AB分成1：2，求E的坐標？如果是1：N呢？

（四）歸納小結

回顧公式的導入過程，在例題講解和練習的基礎上再次加深理解，鼓勵學生學會用數學思維進行問題抽象，完成從具體到抽象再到具體的過程。對學生在課堂過程中積極的表現予以具體的鼓勵，同時對存在的問題及需要注意的問題進行強調。

（五）作業布置

1.聯系生活中的距離測定實例，要求學生積極地深入建筑等相關領域當中，或在網上搜集距離測定的實例。

2.課后習題完成（注重理解，先慢后快，賦予意義，有意識培養抽象思維）。

三、案例教學后反思

本次課堂教學設計中，改變了傳統的利用直尺和圓規作圖，直接利用信息技術手段即“幾何畫板”軟件完成坐標的建立、點的確定及標注、坐標距離的計算及中點的標示。在學習數學知識的同時，學生學會使用軟件，為后續專業課程及CAD軟件的使用打好基礎。和學生所處的信息環境相融合，使本來枯燥的課堂變得生動活潑。與學生的“前擁知識”結合，從學生實際出發，由具體到抽象，逐步建立起解決問題、認識事物的過程。在關注結果的同時更關注思維形成的過程。在知識的講解過程中將人文情懷始終貫穿其中，激發學生學習、思考的積極性。