基于蒙特卡羅法的平面度測量不確定度評定

吳呼玲

(陜西國防工業職業技術學院 機械工程學院，西安 710300)

基于蒙特卡羅法的平面度測量不確定度評定

吳呼玲

(陜西國防工業職業技術學院 機械工程學院，西安 710300)

形位誤差的測量不確定度評定是目前測量領域研究的熱點；但由于其測量的復雜性和測量結果評定的多樣性，導致在實際測量結果中形位誤差測量的不確定度評定成了難題；為此，根據形狀誤差評定準則，選取最小二乘法建立數學模型，確定形狀誤差數學模型中各參數值的傳遞系數和單點不確定度，并分析具體的測量方法和測量過程中的不確定度來源，根據傳統的GUM法對其進行不確定度評定；然后采用蒙特卡羅偽隨機數的方法來模擬實際測量數據，從而得到平面度誤差的不確定度；通過設置實驗對比，驗證了蒙特卡羅法評定平面度不確定度的可靠性和準確性；該方法不需要求出數學模型中的傳遞系數，利用MATLAB軟件很容易實現，為平面度誤差測量結果不確定度評定提供了更加簡便的方法，值得推廣和應用。

蒙特卡羅；平面度誤差；不確定度；最小二乘法

0 引言

平面度測量誤差的評定是測量領域中經常遇到的誤差評定項目。因此，準確、快速的評定平面度測量結果的不確定度成為一個重要的課題。隨著測量不確定度在我國受到越來越高的重視，對于從事測量的專業技術人員來講，測量不確定度成為了測量領域研究的熱點[9]。然而其復雜性和多樣性的特點，致使不確定度的評定難以評估。

蒙特卡羅法[1]又稱統計模擬法、隨機抽樣技術，是使用隨機數(或偽隨機數)來解決問題的一種方法。它的基本思想是，為了所求問題的解是某個隨機變量的數學期望時，通過某種實驗的方法，得出該隨機變量若干個具體觀察值的算術平均值，通過它得到問題的解。本文利用蒙特卡羅法進行平面度測量結果不確定度的評定，利用MATLAB軟件產生一組服從測量值分布概率的隨機數組來模擬測量值，從而利用統計方法來進行不確定度評定。為了驗證此方法的準確性和可靠性，根據不確定度合成公式再次進行評定，求出傳遞系數和各參數的單點測量不確定度，計算出平面度誤差的測量不確定度。實驗結果表明，蒙特卡羅法評定平面度測量不確定度準確、快捷、簡單、可靠，解決了形位誤差測量不確定度評定的復雜性和多樣性，為其他形位誤差簡單、便捷的評定提供了評定方案。

1 平面度誤差模型

本文用最小二乘法原理建立數學模型。

(1)

(2)

(3)

(4)

2 平面度測量結果不確定度評定

2.1 蒙特卡羅法評定平面度測量結果不確定度

根據平面度最小二乘法評定的誤差數學模型，利用蒙特卡羅偽隨機數的方法產生服從期望為各參數的測量值，方差為各參數的單點標準不確定度的正太分布的隨機值序列，得出平面度誤差測量不確定度。

具體操作的方法和步驟如下[7]：

1)分析測量過程中不確定度來源。確定分布區間和分布類型，確定因子K的取值，計算出各個方面不確定度來源對應的不確定度數值。為后續數組中的方差提供依據(方差為各參數的不確定度)。

2)確定平面度誤差模型(公式4)中的參數：xM；xL；yM；yL；zM；zL；a；b的期望和方差(期望為各參數的測量值，方差為各參數的單點標準不確定的度)。

3)以xM；xL；yM；yL；zM；zL；a；b參數的期望和方差生成八維隨機數來模擬平面度誤差的測量值，樣本容量為M，采用大樣本進行平面度誤差的測量不確定度評定。生成的八維隨機數分別為：xM1，xM2，xM3，……xMM；xL1，xL2，xL3，……xLM；yM1，yM2，yM3，……yMM；yL1，yL2，yL3，……yLM；zM1，zM2，zM3，……zMM；zL1，zL2，zL3，……zLM；a1，a2，a3，……aM；b1，b2，b3，……bM；

4)根據以上隨機序列，帶入(公式4)中平面度誤差模型，求出M個平面度誤差f的值，根據這組f的值，構造一個概率分布。判斷分布類型求出方差，即為所要求的平面度誤差測量標準不確定度。

2.2GUM法評定平面度測量結果不確定度

1)求出(4)式中平面度誤差模型各參數的傳遞系數[3]:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

2)各參數測量不確定度分別為：

平面度測量不確定度的分析，只需考慮分析z的不確定度即可[4]。z值的測量不確定度等于單點測量不確定度，即u(zM)=u(zL)=u0。而a和b的不確定度比較復雜，需要進行以下推導得到。

因此，

u(zM)=u(zL)=u0

(13)

(14)

(15)

將以上平面度誤差模型各參數的傳遞系數(公式9～12)和各參數單點測量不確定度(公式13～15)帶入不確定度合成公式16中，即可得到平面度誤差測量不確定度評定結果：

uf=

(16)

3 實驗數據分析及應用

使用愛德華公司的MQ686型三坐標測量機對一塊平板進行平面度測量和評定。將被測平板放置于三坐標測量機的測量平臺上，并使被測工件的長邊平行于X軸，然后對平面度誤差進行測量。被測工件長度80 mm，在X軸方向均勻取6個點，每個點間隔10 mm進行坐標測量，共測3行數據，即在被測平面上取3行6列共18個數據，布點情況[5]如圖1所示，測量結果如表1所示。

圖1 三坐標測量機測量平板平面度的布點情況

測點序號X坐標/mmY坐標/mmZ坐標/mm19．999710．0019-0．0079219．99979．9964-0．0066330．00299．9962-0．0082439．99989．9945-0．0064549．99809．9940-0．0060659．99879．9946-0．005779．986219．9999-0．0064819．995719．9946-0．0066930．002919．9960-0．00571039．999619．9954-0．00591149．998419．9954-0．00451259．999019．9960-0．0051139．985229．9992-0．00741419．995229．9944-0．00761530．002429．9954-0．00671639．999029．9957-0．00641749．998829．9953-0．00651859．999029．9958-0．0061

3.1 不確定度來源分析[8]

本次實驗采用的MQ686型全封閉框架移動橋式三坐標測量機，其量程范圍是:X600 mm，Y800 mm，Z600 mm，該儀器處于良好的工作狀態，室內空調已經連續運行一周，使被測平板和三坐標等溫，測量人員在1小時后進行測量工作。因此，可以忽略溫度、濕度等環境帶來的影響。其測量不確定度主要來自以下幾個方面：

1)重復性引起的不確定度分量[10]。

三坐標測量機的重復性測量引起的不確定度，在平面度的測量不確定度的評定過程中是一個重要的因素。在平面度測量過程中，平板的長邊是平行于X軸放置的，短邊是平行于Y軸的，所以影響平面度誤差的主要因素是Z軸的坐標值。因此，在評定重復性引入的不確定度過程中，只需要考慮Z軸坐標測量的重復性誤差。

在測量的18個點中，選取3個點(1點、6點和15點)進行重復性測量實驗，利用貝塞爾公式求出各點的重復性誤差，取這三個點中重復性測量引起的不確定度的最大值，作為三坐標測量機的重復性引起的不確定度。

選取1點重復測量10次的測量數據為：

-0.0082；-0.0079；-0.0081；-0.0083；-0.0081，

-0.0078；-0.0076；-0.0082；-0.0079；-0.0075

u6=σ6=0.074 μm；u15=σ15=0.067 μm；

取最大值作為重復性所引起的不確定度，因此三坐標測量機的重復性測量引入的不確定度為u重復=0.085μm。

2)示值誤差引入的不確定度分量。

3)測量力引入的不確定度分量。

在測量中測量力調節至很小，可忽略測量力引起的零件彈性變形。因此，測量力的影響帶來的不確定度分量為u力=0。

4)三坐標測量機分辨力引入的不確定度分量。

5)溫度引入的不確定度分量。

在測量過程中，實驗室空調已經連續運行了一周，被測件、三坐標和測量人員都在等溫后進行測量工作。因此，測量力的影響帶來的不確定度分量為u溫度=0。

根據以上分析，直線度的單點測量不確定度為：

3.2 平面度誤差計算

依據表1中的測量數據，帶入公式(1～3)，借助MATLAB軟件求出a=3.551696623161069e-05、b=8.394157412702668e-07、c=-7.687578147000283e-03，可得最小二乘平面為z=(3.55e-05)x+(8.39e-07)y-(7.69e-03)。然后求出各測點到最小二乘平面的距離，計算結果如表2所示。

表2 各測點到最小二乘平面的距離

由表2可知，距離最小二乘平面最高的點是測點11(在此稱為最大距離的點)，對應的點坐標為(xM，yM,zM)、最低的點是測點3(在此稱為最小距離的點)，對應的點坐標為(xL，yL,zL)。將各參數帶入平面度誤差模型公式(4)中，則平面度誤差值為：

2.981427013954202e-03mm=2.98μm

3.3 蒙特卡羅法的不確定度估算

利用MATLAB軟件中的normrnd函數[6]生成服從正態分布的八維隨機數,每一維數組的期望分別為各參數測量值，方差分別為各參數的不確定度，并且服從正態分布，即為：

[xM1，xM2，xM3，……xMM] ～N(49.9984mm，1.56μm)；

[xL1，xL2，xL3，……xLM] ～N(30.0029mm，1.56μm)

[yM1，yM2，yM3，……yMM] ～N(19.9954mm，1.56μm)

[yL1，yL2，yL3，……yLM] ～N(9.9962mm，1.56μm)

[zM1，zM2，zM3，……zMM] ～N(-0.0045mm，1.56μm)

[zL1，zL2，zL3，……zLM] ～N(-0.0082mm，1.56μm)

[a1，a2，a3，……aM] ～N(3.551696623161069e-05 mm，1.767929943168856e-04)

[b1，b2，b3，……bM] ～N(8.394157412702668e-07mm，4.420132407275619e-04)

樣本容量為M=10 000。由于樣本很大，這里不予列出。根據所得隨機數，求出10 000個f的值后，構建出平面度誤差概率分布，其概率分布根據MATLAB中的直方圖(橫坐標為平面度誤差值，縱坐標為其分布概率)來構建，求出這組數據的期望和方差，即為平面度誤差和平面度測量不確定度，分別求得：

平面度誤差：f=2.966479016299404e-03 mm=2.97 μm；

平面度測量不確定度：uf=6.036951149940499e-03 mm=6.04 μm；

圖2 平面度誤差的概率分布

3.4 GUM法的不確定度驗證

q=3.599307000000000e+02；u=2.729853448666000e+04；

v= 8.397192341290000e+03；w=1.259620107763000e+04；

S=1.134251187913089e+08根據公式(16)計算出平面度測量不確定度結果：

uf=6.074399101030872e-03 mm=6.07 μm

3.5 結果比較

表3 兩種方法計算的平面度誤差和評定的測量不確定度結果

4 結語

通過表3數據比較可知，用蒙特卡羅法進行平面度不確定度評定是可靠的。通過GUM法驗證，兩者結果幾乎相同，而且蒙特卡羅法比GUM法評定結果更加準確。因此，通過實驗驗證，蒙特卡羅法評定平面度不確定度以評定結果精度高、計算快捷，簡便、不必計算偏導數、不受模型復雜性的影響而凸顯出它的優勢。為以后其他形位誤差測量不確定度的評定和其他數據處理領域的應用奠定了一定的基礎，具有非常廣泛的應用前景和工程實用價值。

[1] 周桃庚.用蒙特卡洛法評定測量不確定度[M].北京:中國質檢出版社 2013.

[2] 倪驍驊.形狀誤差評定和測量不確定度估計[M].北京:化學工業出版社，2008.

[3] JJF1059.1-2012《測量不確定度的評定與表示》[S].

[4] 倪驍驊，黃曉峰，葛友華 平面度誤差最小區域評定結果不確定度估計[J].鹽城工學院學報(自然科學版),2006,19(2)：5-8.

[5] 王金星，蔣向前，馬利民，等.平面度坐標測量的不確定度計算[J].中國機械工程,2005,16(19)：1701-1703.

[6] 王 偉，宋明順、陳意華. 蒙特卡羅方法在復雜模型測量不確定度評定中的應用[J].儀器儀表學報,2008,29(7)：1446-1449.

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[8] 王東霞，宋愛國.基于三坐標測量機的圓度誤差不確定度評估[J].東南大學學報(自然科學版),2014，44(5)：952-956.

[9] 陳懷艷，曹蕓，韓潔.測量不確定度的發展和應用研究[J].宇航計測技術, 2014,10,34(5)：65-70.

[10] 費業泰.誤差理論與數據處理[M].北京:機械工業出版社, 2012.

Uncertainty Evaluation of Flatness Measurement Based on Monte Carlo Method

Wu Huling

(School of Mechanical Engineering, Shaanxi Institute of Technology, Xi’an 710300, China)

Evaluation of measurement uncertainty of shape and position error is a hotspot in the field of measurement. However, due to the complexity of measurement and the diversity of measurement results, the uncertainty of the measurement of the shape and position error in the actual measurement results has become a difficult problem. Therefore, according to the evaluation criterion of shape error, establish mathematical model adopting least squares method, determining the transfer coefficient of each parameter value of the shape error mathematical model and single point uncertainty, and uncertainty analysis of measurement methods and the specific process of the source, according to the traditional GUM method for uncertainty evaluation. Then the Monte Carlo pseudo random number method is used to simulate the actual measurement data, thus the flatness error uncertainty is obtained. The reliability and accuracy of Monte Carlo method to evaluate flatness uncertainty are verified by setting experimental comparison. This method does not need to calculate the transfer coefficient of mathematical model, it is easy to realize by using Matlab software, and provides a more convenient method for the uncertainty evaluation of flatness error measurement results.

Monte Carlo method；flatness error；uncertainty；least square method

2016-12-01；

2017-01-05。

陜西國防工業職業技術學院2016年科研項目(Gfy16-03)。

吳呼玲(1979-)，女，陜西臨潼人，講師，碩士，主要從事機械產品檢驗檢測、誤差理論與數據處理、機械設備狀態監測等方向的研究。

1671-4598(2017)05-0262-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.05.072

TH124

A