0/0型未定式極限求解方法的探索

陳智豪+楊天明+梅霞

摘要：■型未定式是極限計算中較為常見的一種極限類型。■型未定式極限的計算方法主要有約去趨向于零的公因式、等價無窮小量的替換、羅必達法則。什么情況下使用哪種方法可以使計算過程更加簡單快捷是教師在教學中需要著重引導學生思考的問題。

關鍵詞：■型未定式；趨向于零的公因式；等價無窮小；羅必達法則

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）20-0226-02

一元函數微積分學中包括極限、導數與微分、不定積分與定積分三大運算，其中，極限運算是最為重要也是最為基礎的運算。[1]

一、約去趨向于零的公因式

對于■型未定式來說，如果求極限的是一個分式，并且分子、分母有多個因式組成，那么其中很可能存在某幾個因式趨向于零。如果這些因式分別在分子和墳墓的位置并且可以約去的話，極限就會變得便于計算了。具體的做法通常有因式分解、分子或分母有理化等。

例1：求極限■■.

解：原式=■■=■■=2.

例2：求極限■■.

解：原式=■■

=■■

=■■=■.

例1通過因式分解約去了趨向于零的公因式（x+1），例2通過分子有理化約去了趨向于零的公因式x■，從而將此極限轉化為更為簡單的形式。

二、等價無窮小量的替換

常用的等價無窮小量有：當x→0時，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1-cosx～■，e■-1～x，ln（1+x）～x等.利用等價無窮小對因式整體替換往往能夠將極限式轉化為更為簡單的形式，給計算帶來便利。

例3：求極限■■[2]

解：原式=■■=■■=■

此例中如果對分子中的tanx和sinx直接使用等價無窮小量的替換，將會得到錯誤的結果，因為它們不是因式，使用這種方法的時候特別要注意針對因式使用等價無窮小量進行替換。

三、第一個重要極限

在兩個重要極限這一部分內容中，介紹的第一個重要極限是■■=1，在實際使用中，更多的是利用這個極限式的推廣形式■■=1求極限，其中，□可以是一個變量也可以是某個式子。

例4：求極限■■

解：原式=■■=■■·■■=■

四、羅必達法則

羅必達法則是求解極限的一種有效方法，雖然很多■型未定式都可以使用羅必達法則求解極限，但是特別要注意表達式是否符合法則成立的條件，否則可能導致計算變得更復雜甚至得到錯誤的結果。此外，在一個極限的計算中，羅必達法則的使用次數沒有限制，使用羅必達法則之前一定要確保該表達式符合法則成立的條件。

例5：求極限■■[3]

解：原式=■■=■■=1

再比如下面這個例子，如果只用羅必達法則計算就會很煩瑣，但是將等價無窮小量的替換和羅必達法則結合在一起使用則簡捷得多。

例6：求極限■■

解：原式=■■=■■=■■=■■=-■

綜上所述，在求解■型未定式的極限時，應當注意先仔細觀察再確定計算方法。在有些情況下，單單使用一種方法未必是最佳解法，將多種方法結合在一起使用，往往可以使得計算過程更加簡捷。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]楊天明.高等數學[M].南京大學出版社，2015.