分析微梁尺寸效應的傳遞矩陣法

李曉妮 程濤

摘 要：微梁是微機電系統中的常見結構，尺寸效應是微梁不同于其他梁的重要特征.基于偶應力理論和最小勢能原理，推導了微梁彎曲時一階微分方程組和邊界條件，通過引入狀態向量，建立微梁狀態向量間的傳遞關系，得到系統的狀態空間方程，并借助精細積分法求解傳遞矩陣，建立了一種分析微梁尺寸效應的高精度傳遞矩陣法.數值結果驗證了本文的有效性.

關鍵詞：微梁；尺寸效應；傳遞矩陣法；偶應力

中圖分類號：TU31；O34 文獻標志碼：A

0 引言

隨著微機電系統（MEMS， Micro-Electro-Mechanical System）在航天航空，機械電子，生物醫學等領域的廣泛應用，有關微尺度問題受到了眾多學者的關注.微梁是微機電系統（MEMS）中常見的微結構，它們的尺寸通常是微米或亞微米量級的.很多實驗發現這類微結構的力學行為與結構尺寸相關（即微尺度效應），這是經典彈性理論無法解釋的.20世紀60年代出現的彈性偶應力理論對這一現象做出了合理的解釋.Yang等[1]改進了偶應力理論（修正偶應力理論），將描述尺度效應的兩個附加常數減少為一個，大大地降低偶應力理論的應用難度.

最近幾年，偶應力理論被應用到更多新的領域.文獻[2-3]將偶應力理論應用于層合梁，分析其大變形下的穩定性和尺度效應.蘇文政等[4]建立了多孔固體的等效偶應力動力學一維鐵木辛柯梁模型.崔可興等[5]基于應變梯度理論對壓電振動能量采集器進行建模和尺度效應分析.

除了在多個實際工程領域的應用，基于偶應力理論的數值求解方法也不斷被報道.Kahrobaiyan等[6]基于修正偶應力理論和有限元理論建立了能夠反映微梁尺寸效應的一種新的梁單元.顏世軍等[7]和陳萬吉等[8]基于修正偶應力理論建立了線彈性體和層合板的有限元方法，分析結構的尺寸效應.楊海天等[9]將無網格伽遼金法用于求解平面偶應力問題，分析了微結構的尺度效應.王衛東等[10]基于偶應力理論，采用non-Sibsonian插值的自然單元法，求解了薄梁彎曲問題.這些求解方法在偶應力問題中的應用進一步促進了偶應力理論的完善和發展.

傳遞矩陣法具有原理簡單、求解精度和效率較高等特點，本文將其與偶應力理論結合起來，分析微梁的尺寸效應.首先基于修正的偶應力理論，推導微梁彎曲時一階微分方程組，建立系統狀態變量之間的傳遞關系，得到系統的狀態空間方程，并采用精細積分法求解傳遞矩陣，建立了一種分析微梁尺寸效應的傳遞矩陣法.

1 基于修正偶應力理論的微梁理論模型

與經典彈性理論不同，偶應力理論在應力張量和位移矢量的基礎上，增加了可以描述微尺度效應的偶應力張量和旋轉矢量.由于構造方式的不同，偶應力理論種類繁多.Yang等[1]的修正偶應力理論由偶應力理論發展而來，通過重新定義曲率張量，使得應變能密度只與應變和曲率張量的對稱部分有關，且在本構方程中只需一個描述尺度效應的參數.

1.1 修正偶應力理論

微梁上作用有分布載荷或集中力時，如算例2中簡支梁算例的情況，首先根據載荷情況對梁分段，由于兩端交界面兩側的狀態向量因載荷變化而不同，需根據連續性和載荷條件修改相應的狀態向量，再進行計算.

2 算例驗證

圖3為懸臂微梁自由端撓度的偶應力理論解與經典解之比隨厚度變化曲線，隨著厚度的增加，二者的比值接近于1，即在厚度較小時，尺寸效應明顯，而在厚度較大時偶應力解與經典解差異很小. 通過與解析解比較，可以看出本文方法的計算結果精度較高. 圖4為采用本文方法得到不同厚度下的微梁撓度曲線，從圖4中可以看出隨著厚度的減小，經典解與偶應力解的差異變大，當厚度減小至h=20 ？滋m時，兩種方法的結果出現較大背離，偶應力解呈現出較強的抵抗變形能力，而經典理論解則沒有. 這種差異說明是否考慮尺寸效應對結構響應的預測影響很大，在微結構中應予以考慮.

對于載荷和邊界條件復雜的結構，采用解析方法求解比較困難，本文提出的半解析半數值方法，可以高精度求解這類偶應力問題. 算例2以復雜載荷作用下的簡支微梁為例，驗證本文方法的有效性.

算例2 圖5所示簡支梁，梁上作用有分布載荷q1=1 N/m，q2=2 N/m和集中力P=50 ？滋N，微梁的寬度和長度分別為b=2 h和L=20 h，其他參數均與算例1相同. 圖6和圖7分別為不同厚度下微梁撓度變化曲線.

從圖6和圖7可以看出，隨著厚度的減小，經典理論解與偶應力理論解差異逐漸變大，尺寸效應所產生的影響較大，不可忽略.

3 結論

基于偶應力理論和最小勢能原理，建立微梁狀態向量間的傳遞關系，借助精細積分法求解傳遞矩陣，形成了一種分析微梁尺寸效應的傳遞矩陣法.這種方法原理簡單，精度較高，而且可以方便地求解各種邊界條件下微梁的變形. 數值結果表明，本文的方法具有良好的精度和穩定性. 通過分析不同邊界條件和載荷作用下微梁的彎曲變形，可以看出：當微梁的尺寸與材料的尺度參數相當時，尺寸效應非常明顯，在設計計算時需要考慮其影響. 因此，在微機電系統中，考慮尺寸效應的影響對于預測微系統的響應具有重要意義.

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Abstract： The micro-beam is the common structure of MEMS （micro-electro-mechanical system）， of which the size effects are the significant characteristic different from other beams. The first order differential equations and boundary conditions of the micro-beam bending deformation are derived from the couple stress theory and the principal of minimum potential energy. The transfer relations between the state vectors are established， and the state space equations are obtained. Precise integration method is used to solve the transfer matrix. So the transfer matrix method with high precision is set up to analyze the size-dependent effects of micro-beam. Several numerical examples are used to test the present method and the results show the validity of the method.

Key words：micro-beam； size-dependent effects； transfer matrix method； couple stress

（學科編輯：張玉鳳）