談數學教學中反例的使用

段恩祥

摘 要：反例就是用來說明某個命題不成立的例子。在數學教學過程中，會經常遇到很多命題需要判斷它的真假性。對于真命題而言，多少個正確的實例都抵不過一個嚴謹的證明。而對于一個假命題，只需要舉出一個不符合的例子即可證明。嚴謹的思維能力可以解決一個問題，一個恰如其分的反例也可以解決一個問題。在講授過程中，學生很有可能會因為對概念理解不透、對定理掌握不夠、對公式記憶模糊、對數學思想方法的應用不熟練，而出現各種錯誤。通過反例適當的引導，就可能糾正錯誤，并且在教材上例題習題都是一些正向的實例，其實進行一些反例的教學也可以起到加深數學概念的理解，對于培養學生逆向的數學思維也有一定的幫助。下面就多年教學經驗淺談數學反例在教學中的使用方法。

關鍵詞：反例；真命題；假命題

一、小學數學教學的反例

小學數學講授的是最基本的數學概念，這時的學生剛剛接觸有關的數學概念，各方面的接受能力比較弱，教學也適合大量的正面引導。小學高年級知識還是以正向講解為主，但是隨著題型逐漸豐富，反例就可以加強理解。

例1：在學習完有關小數的內容后，知道小數有這樣一個特點，即小數末尾的0可去可不去，按照題意的需求進行選擇。學生在理解過程中容易出現如下的錯誤，認為小數點后的0都可以去掉，可以舉1.08與1.80進行比較，很明顯1.08去掉0變為1.8，是錯誤的。

二、初中數學中的反例

初中數學相比小學數學，注重更多的是基礎性的概念和定理，并且重難點清晰明了。加強對基本數學概念的透徹理解和公式的靈活應用尤其重要。但是在講解概念的過程中，學生可能會產生偏差，如果在此基礎上舉出一個反例，就可能糾正過來，正確理解概念、公式。

比如學生往往會存在著一種對知識理所當然的理解，例如判斷“兩個無理數的和一定是無理數”，學生會認為兩個無理數的和就是無理數，但是π與-π都是無理數，但他們的和是0，是有理數，因此這是一個假命題。這個例子對實數的概念和實數的基本運算都有了進一步的掌握。有利于學生跳出思維定勢。

再如教材中的性質定理，就是我們在解題過程中的工具與武器。但在運用定理的過程中，容易忽視某些要點，這樣就會得出錯誤的結論。在學習平行線的相關性質之后，知道如果兩條直線平行，可以推出同旁內角互補，同位角相等，內錯角相等三個結論，這時就可以提出這樣一個反例，如果兩直線不平行，那么同旁內角互補（同位角相等或內錯角相等）這個結論還成立嗎？這時就會明白如果沒有直線平行的前提，結論是不一定正確的的。恰當的在學習有關性質定理時提出一個反例，對理解有很大的促進作用。有利于靈活應用性質定理。

例：當a何值時，關于x的二次方程（1-a2）x2-2x+2=0有兩個實根？

在解這道題的過程中可能會沒有注意到它的前提條件，這個方程是一個二次方程，因此解答過程中可能會出現類似下面錯誤的解答，漏掉條件，只要滿足Δ≥0，也就是4-4×21-a2≥0，解得a≥22或a≤-22。又關于x的平方項的系數必須不為0，則1-a2≠0，a≠1且a≠-1.這個例子是從命題中尋找反例的線索。

三、高中數學中的反例

相對于小學、初中，高中數學學習的內容多樣化涉及了集合、不等式、函數、數列、平面向量等，高中階段的數學學習更應該應用思維能力。對于理解基本數學概念和應用公式的能力要求更高，其中的性質和定理包含更多的要點，更多反例教學就可以運用其中。

例1：在理解相關關系與函數關系時，先講當一個變量的取值一定時，與之相對應的另一個變量的取值帶有一定的隨機性，聯系以前學習過的函數關系，很多學生就會認為相關關系是一種函數關系，然后可以舉出這樣一個反例，對“正方形的面積與邊長是相關關系”這一命題做出判斷，很明顯，他們不是相關關系，因為當邊長的取值確定時，面積的取值也隨之確定，不具有隨機性，是很確定的函數關系。這就可以進一步的理解相關關系與函數關系之間的區別。有利于加強對概念的理解。

例2：學習了等比數列前n項和公式后，學生在等比數列求和中往往直接應用公式，而不考慮q是否為1。對此，教師可設計例題：求和cosα+cos2α+cos3α+……+cosnα，學生做題中易忽略cosα=0和cosα=1兩種情況。通過教師提醒，讓學生認識到cosα=0時{cosnα}非等比數列；當cosα=1時{cosnα}雖是等比數列，但q=1時求和不能套用上面公式，這樣舉出反例可以讓學生求等比數列前n項和公式時注意分類，使學生認識到學習必須仔細觀察，培養自己的觀察力，提高數學思維的敏銳性。

例3：在函數單調性學習時，學生對單調性概念不易理解，容易出現一些錯誤，可以通過反例教學使學生對定義加深理解和認識。已知在區間（-∞，a）∪（a，+∞）上的函數y=f（x），在區間（-∞，a）上是減函數，在區間（a，+∞）上也是減函數，問函數y=f（x）在其定義域上是減函數嗎？（學生做此題認為該函數在其定義域上是減函數）教師可以通過反例糾正學生錯誤，深化學生對單調性的認識。

例4：在求數列通項公式時，已知數列2，4，8……求an，一眼看上去會認為這是一個等比數列，于是an=2n。實際上只給出前三項的數列，沒有給出他們之間的關系，是無法判定以后各項是以什么樣的規律存在的。譬如這個數列還可以是an=n2-n+2等等。

直接求解所得的整個理解過程不僅可以復習鞏固知識點，還可以引領我們學會深挖知識的要點，學會全面分析問題的能力。數學的知識點不是相互獨立的，而是相互關聯的，但大部分學生都只關注眼前所學的，不會很好的全面利用知識點分析問題，如果在某一類型題中，提出反例，除了掌握此類題，還可以更好的理解知識的要點，使得整個知識體系更加完善。

四、結論

反例也是發現問題和解決問題的途徑，反例除了有以上作用外，還可以起到激發學習興趣的效果，同時還能夠養成發展發散思維的習慣，有助于完成數學教學。