量子振蕩的數據處理方法

王健

DOI：10.19392/j.cnki.16717341.201714229

摘要：量子振蕩作為探測材料費米面的有效工具之一，在近年來探索拓撲材料的過程中，更加凸顯它的作用。本文通過分析量子振蕩的公式，提出一種快速準確處理量子振蕩數據的方法，可以更容易獲得材料的電子有效質量的信息。

關鍵詞：拓撲材料；量子振蕩；有效質量

2016年諾貝爾物理學獎被頒發給索利斯、霍爾丹、科斯特利茨三位科學家，基于他們對拓撲相變與具有拓撲相的物質的理論發現。尋找具有拓撲相的材料—拓撲材料，現已成為凝聚態物理前沿科學中重要的研究領域之一[1]。拓撲材料不僅能產生一些新穎的物理現象，諸如巨磁阻、高遷移率、較小的有效質量（文中有效質量均指電子有效質量）、手性反常等，而且對未來新型器件的設計起到一定的作用[2]。材料的導電性一般與材料能帶結構中的能隙有關，可分為導體（沒有能隙）、半導體（能隙較?。?、絕緣體（能隙較大）。傳統材料，其能帶結構中色散關系都是呈二次方的。而拓撲材料往往具有線性色散的能帶結構。拓撲材料也可以分為拓撲絕緣體和拓撲半金屬。對于拓撲絕緣體而言，其體態為絕緣體，但其表面態則表現為導體，并具有線性的能帶色散關系[2]。對于拓撲半金屬而言，其體態就存在線性的能帶結構[3]。

不同的能帶結構具有不同的費米面，量子振蕩是一種非常有力的探測費米面的工具之一。因此量子振蕩將在拓撲材料的探索中起到非常重要的作用。本文將著重闡述利用量子振蕩來判斷材料物理性質及其過程中可能會遇到的一些問題與相應的處理方法。

一、量子振蕩的頻率及其物理意義

在單晶材料中，當hωckBT時[4]，其中h是約化普朗克常量，ωc=eBm*c為回旋頻率，e為電子電荷量，B為磁場強度，m*c為回旋有效質量，kB為玻爾茲曼常數，T為溫度，材料的態密度就會隨磁場變化與磁場的倒數呈周期性關系。這就導致了各種與材料態密度相關的物理量出現周期性的振蕩現象—量子振蕩，諸如電導或電阻隨磁場的變化產生的振蕩，磁化率隨磁場的變化產生的振蕩等等。根據波爾—索末菲條件，我們可以得到F=（h2πe）AF（其中AF為費米面截面的極值），所以不同的量子振蕩頻率反映著不同的費米面截面的極值。從而通過磁場方向的改變得到不同角度下量子振蕩的頻率，就能得到該單晶材料的費米面的形狀。如果該材料具有多個頻率，則我們應采用快速傅里葉變化（FFT）來對所得到的量子振蕩數據進行分析，如圖一（a）、（b）所示。

二、材料中電子的有效質量

以電導振蕩為例，其振蕩的通常形式為[4]：

ΔσXX=A0RTRDRS cos2π（FB-12+β）（1）

其中A0為常數，β為相位，F為量子振蕩頻率，RT=αm*TB*1sinh[αm*T/B]，RD=exp（-αm*TDB），RS=cos（πgm*2），T是溫度，TD是丁格爾溫度，m*為約化有效質量（m*=m0/me，m0）為電子有效質量，

圖一 量子振蕩的計算機模擬：（a）多頻的量子振蕩。（b）對圖一（a）的FFT分析。（c）不同溫度下的量子振蕩。插圖：常規的擬合方法。（d）本文提出的擬合方法。

me為電子質量），α為常數約為14.69T/K。與材料本身性質無關的量為磁場強度B與溫度T?？梢园l現僅有RT與外界可以控制的量溫度T有關。所以我們可以通過調節溫度來推得RT這一項中電子的有效質量的值。確定磁場的大小和角度后，其余各項均為常數，一般人們都是通過擬合不同溫度下

ΔσXX=C0αm*TB*1sin h[αm*T/B]

的關系，來得到有效質量的值，如圖一（c）所示（圖一 （c）模擬的是不同溫度下的電導振蕩隨磁場強度倒數的變化）。這種擬合方法需要獲得多條不同溫度下的數據，其測量所需時間較長。仔細觀察ΔσXX的表達式，我們認為只測量兩個不同溫度的點，即可通過解析公式來得到約化有效質量m*的準確值。由ΔσXX（T1）/ΔσXX（T2），則有

ΔσXX（T1）ΔσXX（T2）=sinh[αm*T2Bsinh[αm*T1B]（2）

由于該公式含有sinh函數，應采用數值近似求解。以取溫度為2K和4K時為例，我們得到在1B=0.1049（T1）時，電導的值分別為1.47861E3 S/m與6.05619E4 S/m。估計有效質量的大致范圍，我們假設材料的有效電子質量在0～1me之間（對于拓撲材料而言其有效質量往往只有電子質量的十分之一），選取有效電子質量精度為小數點后五位，則利用計算機可以畫出一條關于y=sinh[αm*T2B]sinh[αm*T1B]的函數，其中自變量是有效質量m·ΔσXX（T1）*TtΔσXX（T2）*T1為常數，則我們可以畫出兩條線，這兩條線的交點的橫坐標即為約化有效質量的值，如圖一 （d）所示。采用這個方法分析，我們可以快速并且準確得到約化有效質量的值，對于本例其值為0.500與模擬的參數一致，并且發現該值的準確度比直接擬合公式所得到的準確度要更高。得到材料的有效質量以后，其他與材料相關的物理系數更加容易獲得。比如說

RD=exp·（-αm*TDB）

，這一項中，由于指數形式的函數僅包含在RT與RD中，我們可以通過利用對指數函數取對數的方法來獲得TD（丁格爾溫度），這與材料在磁場下的遷移率息息相關。一般而言，拓撲材料應具有高的遷移率，小的有效質量，所以在實驗數據較少時，采用本方法可以精確且快速得到其有效質量和遷移率的相關信息。

三、多個頻率的量子振蕩

對于實際的材料來說其費米面極值一般是多個的，我們可以分以下幾種情況討論：

1.對于費米面極值相差較大的材料，其對應的頻率分的較開，我們可以從其波形上直接讀取某個頻率的波峰波谷的位置，再將他當做單個頻率的量子振蕩來分析。獲得具體參數后，利用原始的混合頻率的振蕩數據減去單頻數據對剩下的數據再進行進一步分析。

2.對于費米面極值相差很小，但在量子振蕩中只有一個頻率占主導，其他頻率對材料性質的影響則較小，此時仍可當做單頻的量子振蕩來處理。

3.對于費米面極值較為接近或者頻率無法清晰讀取的情況，我們只能通過對函數ΔσXX=ΣiAiRTiRDiRSicos2π（FiB-12+βi）

中各個參數進行擬合，直至與原始數據較為接近，最后才能得到材料的各個物理參數。

四、總結

本文闡述了量子振蕩的數據處理方法，講解在數據較少的情況下，快速并且準確的得到材料的物理性質。此方法為判別某種材料是否具有拓撲性質提供了一種途徑。

參考文獻：

[1]Qi XL， Zhang SC. The quantum spin Hall effect and topological insulators [J]. Physics Today， 2010， 63（1）： 338.

[2]Ando Y. Topological insulator materials [J]. Journal of the Physical Society of Japan， 2013， 82（10）： 102001.

[3]Weng H， Dai X， Fang Z. Topological semimetals predicted from firstprinciples calculations [J]. Journal of Physics： Condensed Matter， 2016， 28（30）： 303001.

[4]Ashcroft N W， Mermin N D. Solid state physics [J]. 1976.