四步建構 感悟數學基本思想
——以《數學思考》教學為例

浙江省臺州溫嶺市澤國鎮第三小學 王海勇

四步建構 感悟數學基本思想
——以《數學思考》教學為例

浙江省臺州溫嶺市澤國鎮第三小學 王海勇

作為數學靈魂的思想方法，我們已在日常教學中或多或少地進行了蘊伏和滲透，但對六下總復習來說，又該如何定位呢？本文嘗試以六下總復習中的《數學思考》一課為例，從目標厘清、氛圍營造、學法設計、拓展應用四個方面對六下總復習中數學基本思想的教學策略進行了探索。盡管以管窺豹，但還是希望能對老師們有所啟迪。

數學基本思想；數學思考；感悟

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了“新四基”的數學課程目標，其中把人們通常認為是“軟任務”的思想提升為與“雙基”同等重要的“硬指標”是本輪課改著力凸顯的亮點之一。那么作為一線教師，如何在日常教學中科學、務實、有效地達成這一課程目標呢？這些問題都值得我們在實踐中展開探索。現以六下總復習中的《數學思考》一課為例，談談筆者對六下總復習中基本思想教學策略的一些思考，供同行們商榷。

一、厘清目標，解讀教材內涵

第一次試教《數學思考》時，筆者將教學重點定位于借助列表、畫圖的方法，探尋“平面端點連接所成線段條數”的規律，并運用規律解決問題。但作為六下總復習中承載著數學基本思想復習的一塊教學內容，這樣的目標只看到了問題解決，突出了基本知識，忽視了知識背后的思想以及復習過程中的數學感悟。因此，一節課下來效果大打折扣，甚至課一結尾，就有學生告訴筆者，這節課僅看書自學就可掌握本課所授的數學規律。后來，筆者經過多方查詢后認識到教材編排的目的，不僅僅是讓學生掌握幾道題的解法，更重要的是使學生經歷數學基本思想的洗禮。因此，筆者在反復斟酌之后將教學目標重新修改，在原有目標基礎上增加了一條“經歷并體驗‘化繁為簡，尋找規律’的問題解決過程，在解決問題的情境中滲透、介紹和突出化歸、數形結合、比較、極限等數學思想方法”，教學時更是將這一目標作為重點來組織教學。一節課下來，比起第一次試教時的“油浮于水”，學生這次的思考層面、感悟程度明顯深入。

二、蘊伏鋪墊，營造數學氛圍

1．創設情境，從“具體”中“抽象”

數學基本思想本身屬隱性知識或緘默知識，具有“所知比能言多”的特點，所以無論我們如何努力勾勒描畫，思想必定比任何華麗的辭藻都要豐富不知多少。鑒于此，教師需創設情境，引導學生在具體情境中逐步抽象，營造出思想形成需要的數學氛圍。

如上課伊始，教師就呈現奧運主場館鳥巢的圖片，由鳥巢的俯視圖入手，介紹設計師在設計其外形的時候就曾經參考過數學上的一幅簡單而美麗的圖形——由圓上20個點相互連接而成的組合圖形，由此完成從生活情境到數學情境的過渡，把抽象的數學知識融于現實的數學情境中，有效地在數學與生活之間架起了一座無形的橋梁。

2．課件演繹，化“靜態”為“動態”

教師可應用多媒體技術，以其形、聲、色渾然一體，圖、文、音并茂的優點，化“靜態”為“動態”，溝通課本與學生的認知，使之對教學內容有更深入、更本質的理解和把握。

如呈現出圓上20個點組合而成的圖形后，教師可使用課件演繹圖形的形成過程，并伴隨語言解說：“首先，圓上有20個等分點，分別用A1、A2、A3……A20表示。任意兩個點連成一條線段，直到所有點都兩兩相連，就形成了這幅圖形。”從而將數學的“形”通過多媒體技術化“靜”為“動”，直觀展示在學生面前。

三、設計學法，感悟數學思想

1．化繁為簡，明確問題——領悟“化歸思想”

六年級的數學學習多創設情境，以問題導入，圍繞著問題展開探索。這就需要教師能根據問題的特征或數量間的內在聯系，引導學生采用化隱為顯、化繁為簡、化難為易、化未知為已知等方式，把未解決的問題通過轉化歸結為一類較易解決的問題，有效降低學習難度。

如教學過程中教師提問：“你知道這里有多少條線段嗎？請大膽猜測一下！”學生眾說紛紜，有說100條的，有說500條的。當學生憑感覺多番猜測無果后，教師就可引導他們思考其中的原因。學生很自然地想到20個點太多，從而導致連成的線段也數不清。由此，教師拋出問題：“看來是20個點這個數據太大了，那在數學上遇到大數據的難題時該怎么解決？”學生很輕松地就想到將大數據化為小數據，繼而得到可以從“兩點一線”這個最簡單的情況入手，探尋規律再解決問題。教師也順水推舟，肯定學生的這種“把大數據化成小數據，從小數據入手研究規律，再反過來解決大數據難題”的思想方法，并板書“化繁為簡”，引導學生領會化歸思想。

2．借助圖形，動手操作——體驗“數形結合”

教師在教學過程中可引導學生通過“以形助數”或“以數解形”兩種方式，體驗“數學結合”思想，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。

如學生明確從“兩點一線”開始研究問題之后，教師就引導學生通過逐漸增加點數探究線段的增加條數和總條數，并通過動手操作畫出虛實相間或顏色不同的線段來區分增加條數與原有條數的不同，由此突出問題探索的重點在于增加的條數和總條數之間的內在聯系。如此，一方面，教師將抽象的數學思想方法借助簡單明了的學習素材，使之直觀化、形象化、簡單化；另一方面，學生對復雜的數學思想方法也有了深刻體驗，有效降低了學習難度。

3．關注重點，對比歸納——浸潤“不完全歸納”

教師可在教學中引導學生關注問題解決中的重點，比較題中已知和未知數量變化前后的情況并進行歸納，以便學生能理解知識的本質屬性，從而形成良好的認知結構。

如學生在借助圖形得出“增加一個點變成4點就增加3條線段，總條數為1+2+3＝6（條）”之后，教師立刻追問：“如果點數不斷增加，變成5個、6個、7個，會分別增加幾條線段？總條數又該如何計算？”學生面對不斷增加的點數和變得不斷復雜的圖形，就能感受到直觀圖形的局限，必然要另尋方法，自然會關注“增加條數”和“總條數（算式）”兩項，由此完成了方法層面的比較。這時，教師再進行追問：“每次都是增加1個點，為什么增加條數卻不同？”促使學生去羅列每次增加的條數，完成數據的比較。之后，教師可再追問：“對比算式，你又能發現什么？”引導學生去分析總條數的算式，完成列式的比較。因此，他們很容易就得出“5點時，增加4條線段，算式是1+2+3+4，總條數是10條”；“6點時，增加5條線段，算式是1+2+3+4+5，總條數是15條”……更為重要的是歷經三次比較之后，學生既對于“比較思想”在數學學習中的重要性有了重新的認識，又對“平面端點連接所成線段條數”的規律有了歸納——新增條數就是點數-1、總條數＝1+2+……+（點數-1）。

4．畫龍點睛、思維提升——體會“以退為進”

教師切不可沖鋒在前，一遇問題便幫助學開路搭橋，而要適時而“退”，讓學生在退中悟理，悟理而進，從而抓住知識內容的本質與核心，達到由知識學習提升為體會思想方法的目的。

師：剛才同學們化繁為簡、步步思考，最后歸納出了規律，并運用規律解決了“20個點能連接成多少條線段”這個問題。那請同學們回顧一下，剛才我們化繁為簡到幾個點開始研究？

生：2個點，2點連成一條線段。

師：能不能再退一退，退到1個點來研究？

生：不行，1個點連不成一條線段。

師：真的嗎？那就請同學們仔細想想，如果以A1為起點，能連多少條線段？如果以A2為起點，又能連多少條線段呢？現在，你發現了什么？

生：好像從每個點出發都能連接20條線段。不過，每條線段都重復了一次，像A1連A13的線段和A13連A1的線段是同一條，其他所有線段也是這樣。所以，總條數應該是20×19÷2。

師：同學們，數學就是這么奇妙！換一個角度，可能別有一番天地。數學家華羅庚就曾說過：“同學們，我們在解決數學難題時要學會知難而‘退’，要善于退、足夠地退，退到最簡單而不失關鍵的地方，那么，你就已經找到這道題的精髓了。”

四、實踐拓展、創新數學應用

1．思維遷移、開發課堂資源

《數學課程標準》明確指出：“數學教學中應當有意識、有計劃地設計一些實踐性的教學活動，引導學生體會數學知識之間的聯系，提高解決問題的能力。”這就要求教師開發課堂教學資源，引導學生進行思維遷移，使他們真正理解和掌握數學知識，同時感受數學與生活的密切聯系。

如：全班有44個人，每2個同學握手一次，總共握手幾次？學生有了前面的充分探索，很快就能想到“人其實就是點”、“握手就是一條線段”，“求握手多少次就是求44個點能連成多少條線段”，將課堂學習的新知巧妙地進行遷移，解決了課堂中的實際問題。在此基礎上，教師繼續追問：“如果老師也參加，總共握手幾次呢？”從而引領學生對比“45個點連成多少線段”和“原來的結果加上教師新增的44次握手”兩種解決方法，明悟規律的使用也要合理選擇。

2．巧妙變式、開發生活資源

數學知識來源于生活而最終服務于生活，數學思想方法更是如此。教師教學時就可以將生活中的素材作為教學資源巧妙變式，引導學生進行探索。

如：教師可利用學生乘坐動車的經歷，引出習題“動車從杭州到上海這條路上要經過7個站點，請問需設計多少種動車票以供乘客購買？”學生在短暫思考后列出了“9×8÷2”、“9×8÷2×2”、“9×8”三種算式。學生結合生活實際情況進行討論后，認識到杭州和上海之間應該有來回兩條路線，很快就排除了第一種方法，肯定了二、三兩個算式。教師在此基礎上再度拓展提升，向學生介紹二、三兩個算式就是排列和組合兩種數學思想的應用——排列考慮順序，因此先除2再乘2；組合不考慮順序，因此直接用9×8，極大拓寬了學生的知識面，為第二學段的排列與組合教學打下了基礎。

綜上所述，我們認為數學教學中不論是教學目標的確定、情境的創設，還是學法的選擇、實踐的應用，都需要教師有計劃、有目的地滲透、介紹或突出數學思想方法。當然，小學階段還有諸如對應、假設、分類等數學思想方法，在此因內容有限并未涉及。但不論如何，只要教師始終存著“如果把數學知識比喻成金子，那么數學思想方法就是‘點金術’，知識學習可以管用一時，而數學思想方法卻可使學生終身受益”的理念，那么六年的數學學習對學生而言必然是一趟美妙、充實的數學精神之旅。

[1]李海東：重視數學思想方法的教學[J]．中國數學教育，2011（1-2）．

[2]許春榮：比較出真知——淺談“比較思想”在小學數學中的應用[J]．數學學習與研究，2011（20）．

[3]滿 慧：小學數學思想方法教學的研究與實踐[D]．南京師范大學，2011．

[4]孫曉天：關于數學基本思想的若干認識與思考[J]．江蘇教育，2012（12）．