應用反例，培養(yǎng)數(shù)學思維能力

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學校 沈 奕

應用反例，培養(yǎng)數(shù)學思維能力

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學校 沈 奕

在初中數(shù)學的教學過程中，常常會發(fā)現(xiàn)學生們因為對知識理解有偏差，或者因為其他原因而出現(xiàn)多種多樣的問題。因此，老師可以將學生們的這種“錯誤”巧妙地融合到反例中，加強學生們對問題的認識度，進而培養(yǎng)他們的數(shù)學思維能力。文章從多個角度，縝密思維；辯證真假，靈活思維；透析概念，抽象思維；學以致用，創(chuàng)新思維四個方面，闡述了如何在初中數(shù)學教學中應用反例，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

初中數(shù)學；數(shù)學教學；反例；思維能力

新課程標準指出：在教學過程中應注重多方面培養(yǎng)學生們的思維能力。初中數(shù)學是鍛煉學生們正確理解數(shù)學思維并靈活加以應用的重要階段。在數(shù)學教學過程中，常常會發(fā)現(xiàn)學生們因為對知識理解有偏差，或者因為其他原因而出現(xiàn)多種多樣的問題。因此，我在教學過程中，將學生們的這種“錯誤”巧妙地融合到反例中，加強學生們對問題的認識，進而培養(yǎng)學生們的數(shù)學思維能力。

一、多個角度，縝密思維

在眾多人的認識當中，都認為研究數(shù)學的人們思維都十分縝密，的確如此，數(shù)學知識的理解和掌握確實需要我們有嚴謹?shù)膽B(tài)度和縝密的思維，但是在日常的練習或考試中，學生們就會發(fā)現(xiàn)有些錯誤的出現(xiàn)往往并不是因為自己不會做，而是因為自己在解題的過程中太馬虎大意，這就對我們在思考問題時的邏輯思維提出了更高的要求。反例應用，使學生們可以從多個角度看問題，很好地提升了學生們思維的嚴密性。

反例的應用需要學生們掌握好知識的脈絡，有足夠好的知識梳理能力。它不僅給予了學生們從另外的角度理解知識的一種方法，還對學生們的思維能力提出了更高的要求，巧妙應用反例，有利于縝密數(shù)學思維。

二、辯證真假，靈活思維

在數(shù)學的證明題中，我們習慣的思維是從題目的正面入手，根據(jù)題目的已知條件從正面解決問題，但是有時候我們會發(fā)現(xiàn)從正面解決問題會很難，在這個時候不妨試試應用反例進行證明。在數(shù)學問題中，有許多時候應用反例解決問題反倒使我們的思維更加靈活。

如在數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)真假命題的判斷，利用反例，就可以很好地解決此類問題。例如：已知兩個實數(shù)a、b不等于0，如果a＜b，那么1/a＞1/b。學生們代入了幾組數(shù)據(jù)，結果驗證這個命題是正確的。我就為學生們列舉了其中的一個反例：假如a=-2，b=1，代入其中時就會發(fā)現(xiàn)1/a＞1/b這個命題是假的，一個反例就可以把這個問題解決了。學生們紛紛詢問反例應當如何給出，我就帶領學生進行進一步的分析：由于1/a-1/b=（b-a）/ab，從題中我們已知a＜b，所以可以知道只有在ab＞0時，1/a-1/b才大于0，命題才成立，所以反例就應該在ab＜0的范圍內(nèi)去尋找，我們又已知a＜b，所以在這個范圍中找反例就好了。這樣靈活地進行分析總結，很大程度地降低了做題的盲目性，提高了做題的效率。

運用反例其實是一種很好的逆向思維能力，當按照常規(guī)的思維進行求解比較復雜時，需要學生們學會換位思考，應用逆向思維進行求解，往往會“柳暗花明又一村”。

三、透析概念，抽象思維

大多數(shù)數(shù)學概念都比較抽象，如一元二次方程、無理數(shù)、椎體等，如果單單拿出來為學生們講解其概念，學生們聽起來就會感覺迷茫，再加上有的概念不僅抽象，還十分相似，這就會使學生們對知識的應用產(chǎn)生混淆，更加打擊學生們學習的積極性。因此，在教學中應用反例，幫助學生們對一些易混概念進行比較學習，使學生們更好地抓住知識的本質(zhì)，提高學習興趣。

有時候?qū)W生們對概念的理解常常步入誤區(qū)，例如：無限不循環(huán)的小數(shù)為無理數(shù)，學生們就會經(jīng)常將其誤解為：無限小數(shù)或者是帶有根號的數(shù)都是無理數(shù)。為了使學生們對概念加以區(qū)分，我為學生們舉了以下反例，如：2.13131313……，這樣的無限循環(huán)小數(shù)便不是無理數(shù)。還有當根號內(nèi)為一個數(shù)的平方時，也不是無理數(shù)。學生們在以后解題時，就能將其與反例進行對比，減少了失誤。又如：分式方程的概念為：分母里含有未知數(shù)的方程叫作分式方程。有時候?qū)W生們對一些分母里含有參數(shù)的方程也會誤以為是分式方程，我就為學生們列舉了一個關于x的方程：（3x+6）/b=3，雖然分母里含有b，但是其不是未知數(shù)，因此不是分式方程。還有命題：如果一個多邊形的每條邊都相等，那么它是正多邊形。如果一個多邊形的每一個角都相等，那么他也是正多邊形。當我們在做題時想到菱形和矩形這兩個反例，就能很容易判斷出該命題為假命題了。

應用反例有助于學生們對易混知識進行對比學習，區(qū)別其中的差異，更加理解知識之間的本質(zhì)和聯(lián)系，在教學的過程中達到使學生們不僅“知其然”，還要“知其所以然”的教學目標，使學生們簡簡單單地區(qū)分概念，輕輕松松地掌握知識。

四、學以致用，創(chuàng)新思維

荀子曰：“不登高山，不知天之高也；不臨深溪，不知地之厚也。”其實學習知識也是如此，學習知識的目的就是應用于實際的生活當中，解決實際的生活問題。在教學的過程中恰當?shù)貞梅蠢齺砑ぐl(fā)學生們對數(shù)學知識的應用，有助于提高學生們的創(chuàng)新思維能力。

在正面的教學過程中選擇恰當?shù)臅r機融入一些反例，有助于學生們打破常規(guī)的思維，更加深入地探究知識的應用，從而學生們不僅理解了特殊的知識點，還懂得應當如何應用知識，使學生們體會到知識的價值。

數(shù)學是一門十分嚴謹?shù)膶W科，也是一門對思維能力有很高要求的學科。在我的教學中，通過多個角度、辯證真假、透析概念、學以致用的方法，巧妙引入反例，使學生們在認識上發(fā)生由量變到質(zhì)變的過程，培養(yǎng)學生們的思維更加具有縝密性、靈活性、抽象性和創(chuàng)新性。

[1]盛保和．淺議初中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力[J]．教育教學論壇，2013（06）：96-97．

[2]李濤．初中數(shù)學教學中如何提升學生的思維能力[J]．中國教育技術裝備，2016（05）：126-127．

[3]仲崇猛．在反例中求正解——談初中數(shù)學教學中對反例的應用[J]．黑龍江教育，2015（02）：53-54．