直角雙曲線內接三角形的垂心問題

王 慶

(蘇州市職業大學 數理部，江蘇 蘇州 215104)

直角雙曲線內接三角形的垂心問題

王 慶

(蘇州市職業大學 數理部，江蘇 蘇州 215104)

目前，有關直角雙曲線內接三角形垂心問題的研究還不多。本文用解析幾何與射影幾何的方法討論這一問題，得出直角雙曲線的內接三角形的垂心在原雙曲線上的結論。

直角雙曲線；射影幾何；垂心

性質1：直角雙曲線的內接三角形的垂心在原雙曲線上。

證明(1)，首先用解析幾何的方法討論。

(1)

設：b=cosαcosβcosγ+cosαsinβsinγ+sinαcosβsinγ+sinαsinβcosγ，c=sinαsinβsinγ+sinαcosβcosγ+cosαsinβcosγ+cosαcosβsinγ，

(2)

取ω=arctan(-b/c)，則bcosω+csinω=0，該式可變形為

(3)

取S為直角雙曲線上對應t=2ω的點，則RS的斜率為cos(ω-γ)/sin(ω+γ)。而由上式(1)可得RS⊥PQ，同理上式(2)可得QS⊥RP、上式(3)可得PS⊥QR。因此，S就是ΔPQR的垂心H，故H也在直角雙曲線上。

下面用射影幾何的方法證明，討論中所用射影幾何的概念及性質可見[1]。本文的討論要多次用到射影幾何的Steiner定理：設A，B是二次曲線上兩定點，它們與二次曲線上動點P的連線的對應APBP是線束A，B間的射影映射，兩線束間非透視的射影映射的對應直線的交點軌跡是二次曲線。為了給出性質1的證明，本文先給出如下的性質。

性質2：設A，B是雙曲線上兩定點，P是動點，則ΔABP的垂心是一條二次曲線。

確保無限制接入電網，余電上網全額收購。接入系統投資由電網公司負責。根據中共中央國務院《關于進一步深化電力體制改革的若干意見》電網企業應提高服務效率，保證無障礙接入。天然氣分布式能源按“以熱定電”的原則組織生產，具有綜合能效高的特點，電網企業應支持和保證天然氣分布式能源電力直供，余電優先上網和全額收購。根據國家能源局綜合司關于電網企業回購電源項目自建配套送出工程有關事項的通知精神，電網公司應承擔系統接入費用。由分布式能源公司先行墊支建設的，要在規定的時間內回購。

圖1

證明：如圖1，以AB為直徑作圓，設PA，PB分別交圓于X、Y，AY與BX的交點H是ΔABP的垂心。對雙曲線與圓用Steiner定理可得：

把性質中雙曲線換成橢圓或拋物線也成立[2]。進一步可以證明，性質2中橢圓的內接三角形的垂心軌跡也是一個橢圓。

圖2

證明(2)：設P、Q是直角雙曲線Γ上的無窮遠點，它們也是直角雙曲線的漸近線與曲線的交點(切點)。過P、Q的直線互相垂直。設A、B、C是Γ上三點，H是ΔABC的垂心。圖2畫出了無窮遠直線。不難知道，P→Q，A→E，B→D給出無窮遠直線一個對合，過這一對合的對應點的直線互相垂直，對Γ上定點A、B，動點C用Steiner定理可得無窮遠直線上雙曲型射影映射

φ:P→P,Q→Q,D→E

記交比R(PQ,DE)=k，由[1]性質2.2.2，φ的不動點P、Q與它的任一對對應點的交比是常數，于是

R(PQ,AB)=R(QP,ED)=R(PQ,DE)=k，

這證明φ(A)=B。在定點A、B，動點C給出的射影映射下，AA的像是BB，由Steiner定理，H是直角雙曲線Γ上點。

為了進一步的討論先給出下面的性質，叫做Desargues對合定理。

性質3 一直線與完全四點形的三對對邊交點是一個對合的三對對應點，過此完全四點形的二次曲線與直線的交點也是對合的對應點。

圖3

證明：如圖3所示，設Γ是過完全四點形ABCD的頂點的二次曲線，一直線與完全四點形的邊交于E、E′，F、F′，G、G′，與Γ交于P、Q，對A、B用Steiner定理可得，

R(PQ,EF′)=R(PQ,FE′)=R(QP,E′F)。

這證明有對合φ1，使P→Q，E→E′，F→F′。同理，對B、C用Steiner定理可得對合φ2，使P→Q，F→F′，G→G′。對合由兩對對應點決定，這兩個對合都把P、F分別變為Q、F′。因此φ1=φ2，記為φ。對合φ也由E→E′、F→F′決定，與二次曲線Γ的選取無關，這證明了Desargues對合定理。

性質4 過(非直角)三角形的頂點與垂心的二次曲線是直角雙曲線。

證明： 設Γ是過ΔABC的頂點與垂心H的二次曲線，D、E、F是三邊上的垂足，DEF是由A、B、C、H給出的完全四點形的對角三點形，也是Γ的自極三點形。顯然，自極三點形DEF的每一條邊的兩邊都有二次曲線上點，而二次曲線的自極三點形的三邊中總有一邊與二次曲線沒有交點，這證明Γ是雙曲線。設A、B、D、E分別是AH、BH、AC、BC上的無窮遠點，P、Q是Γ上無窮遠點，如圖2所示。由Desargues對合定理，P→Q,A→E,B→D給出一個對合。過A、E；B、D的直線分別垂直，由[1]§4.4習題8，過P、Q的直線也垂直。這證明Γ的漸近線垂直，Γ是等軸雙曲線[3]。

[1] 周建偉. 高等幾何[M]. 北京：高等教育出版社, 2003.

[2] 周建偉. 二次曲線局部與整體的關系[J].大學數學,2013,29(5):113-117.

[3] 王慶. 二次曲線垂直切線的研究[J].大學數學,2015,31(1):124-126.

[4] 石雙雙，杜旭東，白根柱.擴展的三角函數展開法及其應用[J].內蒙古民族大學學報(自然科學版)，2013(2)：142-144.

責任編輯：程艷艷

ProblemAboutOrthocenterofRectangularHyperbolicInscribedTriangle

WANGQing

(DepartmentofMathematicsandPhysics,SuzhouVocationalUniversity,Suzhou215104,China)

At present, the research on the problem about orthocenter of rectangular hyperbolic inscribed triangle is not much. This paper uses the methods of analytic geometry and projective geometry to discuss the problem, giving a conclusion that the orthocenter of rectangular hyperbolic inscribed triangle is on the original hyperbolic.

rectangular hyperbolic; projective geometry; orthocenter

2017-02-16

國家自然科學基金項目(11271277)；蘇州市職業大學校級課題(SVU2015CGCX13)

王慶(1979-),男，江蘇高郵人，副教授，碩士，主要從事從事高等幾何方面研究。

O123.1

C

1009-3907(2017)04-0023-02