一類(lèi)帶記憶項(xiàng)的非線(xiàn)性Petrovsky方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì)

胡文燕,柴樹(shù)根

(1.晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600;2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

一類(lèi)帶記憶項(xiàng)的非線(xiàn)性Petrovsky方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì)

胡文燕1,柴樹(shù)根2

(1.晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600;2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

考慮如下具有記憶項(xiàng)的非線(xiàn)性Petrovsky方程：

非線(xiàn)性Petrovsky方程；記憶項(xiàng)；正的初始能量；爆破時(shí)間；下界估計(jì)

考慮如下帶記憶項(xiàng)的非線(xiàn)性Petrovsky方程的初邊值問(wèn)題：

(※)

對(duì)于不帶記憶項(xiàng)的Petrovsky方程：

(1)

文獻(xiàn)[1]證得當(dāng)m

因?yàn)楫?dāng)爆破發(fā)生時(shí)，精確的爆破時(shí)刻往往是無(wú)法估算的，從而研究爆破時(shí)刻的上下界就變得非常重要。很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)拋物型方程的爆破時(shí)刻的下界估計(jì)做了大量研究，并得出了相應(yīng)的結(jié)果[4-10]。文獻(xiàn)[11]對(duì)如下不帶記憶項(xiàng)的Petrovsky方程進(jìn)行了研究：

(2)

并給出了該方程在正的初始能量下解的爆破時(shí)間下界估計(jì)。

對(duì)于具有記憶項(xiàng)的Petrovsky方程：

(3)

文獻(xiàn)[12]研究了其解的局部存在性，給出了當(dāng)初始能量有上界時(shí)解在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)爆破的結(jié)論。

本文在前人工作基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)具有記憶項(xiàng)的Petrovsky方程解的爆破時(shí)間進(jìn)行研究，并給出了在正的初始能量下解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮Lebesgue空間Lp(Ω)和Sobolev空間Hq(Ω)，對(duì)于不增的松弛函數(shù)g(t)，假設(shè)如下：

(I1)g：R+→R+滿(mǎn)足：

(4)

且

(5)

g′(t)≤0,t≥0。

(6)

(7)

(8)

ut∈C([0,T];L2(Ω))∩Lq(Ω×(0,T))；

utt∈L∞((0,T);L2(Ω))。

證明 可以利用Faedo-Galerkin方法，證明其解的存在性和唯一性(參考文獻(xiàn)[1])。

(9)

其中C為Sobolev嵌入的最佳常數(shù)。

再由Poincaré不等式可得

證畢。

定義初邊值問(wèn)題(※)的能量函數(shù)E(t)如下：

(10)

其中(g。

引理1.2[12]假設(shè)g,p,q分別滿(mǎn)足(I1)，(I2)，(I3)，且u(t)為初邊值問(wèn)題(※)的解，那么

證明 將初邊值問(wèn)題(※)的方程兩邊同乘以u(píng)t，并在Ω上積分，運(yùn)用格林公式，可得

(11)

其中，

(12)

將(12)代入(11)，由g′(t)≤0，有

即E′(t)≤0，證畢。

定理1.2[12]假設(shè)g,p,q滿(mǎn)足條件(I1)，(I2)，(I3)，那么當(dāng)p>q，且E(0)

詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)參考文獻(xiàn)[12]。

2 主要結(jié)果及證明

引理2.1[13]若Ω?R2(n≥2)為一光滑區(qū)域，當(dāng)x∈Ω時(shí)，u(x)為一分段函數(shù)，當(dāng)x∈?Ω時(shí)，u(x)≡0，則下述不等式成立：

定理2.2 若u為問(wèn)題(※)的解，它在有限時(shí)刻T爆破，則

證明 由能量函數(shù)(10)式，有

那么

由引理1.2，E′(t)≤0，即E(t)≤E(0)，將其代入上式可得

(13)

=22p-4p2-pC2(p-1)l-1Fp-1(t)+F(t)+pE(0)+22p-4pC2(p-1)l-1Ep-1(0)。

(14)

在定理2.1中，由于C并不是一個(gè)確切的值，故很難找到爆破時(shí)間T的準(zhǔn)確下界，為此，假設(shè)p滿(mǎn)足：

(15)

顯然，在此假設(shè)條件(I2)仍成立。

定理2.3 假設(shè)m,q滿(mǎn)足(I1)，(I3)，p滿(mǎn)足(15)式，若u(x,t)為問(wèn)題(※)的解，它在有限時(shí)刻T爆破，則

證明 因?yàn)棣?>0為齊次Dirichlet邊界條件下的第一特征值，所以

由H?lder不等式，有

即

由引理2.1，取s=p-1，可得

證畢。

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[13]PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear wave equation[J].Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik und Physik,2015,66(1):129-134.

(責(zé)任編輯：傅 游)

Lower Bounds for Blow-up Time of a Nonlinear Petrovsky Equation with Memory

HU Wenyan1,CHAI Shugen2

(1.School of Mathematics,Jinzhong University,Jinzhong,Shanxi 030600,China; 2.School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan,Shanxi 030006,China)

nonlinear Petrovsky equation; memory; positive initial energy; blow-up time; lower bounds

2016-09-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171195)

胡文燕(1983—)，女，山西平遙人，講師，研究方向?yàn)槠⒎址匠?E-mail：huwy0007@163.com柴樹(shù)根(1969—)，男，山西介休人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

O

A

1672-3767(2017)03-0091-05

具Dirichlet邊界條件的初邊值問(wèn)題。當(dāng)松弛函數(shù)g滿(mǎn)足適當(dāng)?shù)臈l件時(shí)，該問(wèn)題的解在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)爆破。進(jìn)一步對(duì)解的爆破時(shí)間進(jìn)行研究，給出了正的初始能量下解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)。