利率掛鉤產品定價研究*
——以區間累積型產品為例

哈爾濱工程大學經濟管理學院 呂彥昭 伍曉靜 原藝

利率掛鉤產品定價研究*
——以區間累積型產品為例

哈爾濱工程大學經濟管理學院 呂彥昭 伍曉靜 原藝

利率掛鉤產品是市場上重要的結構性金融產品，其公平定價是買賣雙方關注的重點。本文通過構建利率掛鉤產品定價的一般模式，從而為此類產品進行公平定價。該產品定價的一般模式包括利率期限結構的確定、產品現金流的分解與確定、產品的定價、產品價格的敏感性分析等，使用LMM市場利率模型和蒙特卡羅模擬估計貼現率和掛鉤利率的期限結構，從而確定產品未來現金流，將產品現金流貼現就得出產品的理論價格。選取區間累積型利率掛鉤產品作為樣本進行定價。結果顯示：該產品為折價發行，值得投資者投資；敏感性分析結果顯示，價格與產品期限的變動正相關，價格與貼現率及其波動率的變動負相關。

利率掛鉤產品 公平定價 LMM模型 敏感性分析

一、引言

國內金融產品市場日益活躍，結構性金融產品蓬勃發展。截至2014年8月底，全國商業銀行結構性產品發行量已達1758個。2015年，銀率網統計的32家商業銀行發行的結構性理財產品總量為3754個，利率掛鉤型產品為發行量最大的結構性產品之一。因此，對該類產品進行定價研究，在投資決策、金融產品研發等方面具有重要意義。

二、文獻綜述

國內外學者在利率掛鉤型產品的實證研究方面有較多的成果。在國外，Chen、Taylor和Wu（2001）研究市場指數聯動債券的定價，并將MITTS視為零息債券與歐式買權的組合。Sascha、Carsten和Klaus（2003）使用歐洲期貨交易所的看漲期權，運用復制技術比較結構性產品的價格，并分別從產品類型、基礎產品、發行者方向研究這些結構性產品的價格差異。Szymanowska、Horst和Veld（2007）發現阿姆斯特丹證券交易所的反向可轉換債券有5%水平的溢價率，而反向障礙可轉換債券卻是折價發行的。Wallmeier和Diethelm （2009）運用Chen、Chung和Yang（2002）提出的多叉樹模型研究瑞士市場上嵌入障礙期權的多資產可轉換債券定價，認為產品的定價與債券類型相關，投資者容易低估衍生部分價值而高估固定收益部分價值。在國內，成黎明（2009）分別用HW模型、BDT模型和BK模型對我國市場上的含權債券進行了定價。劉昭文（2010）用修正的Heston模型、馬爾科夫鏈的蒙特卡羅模擬方法對觸發式利率掛鉤產品進行定價。李勇飛、侯志強（2013）運用最小二乘蒙特卡羅和Libor Market Model（LMM市場利率模型）對美式可贖回債券定價。孫學彬和潘永泉（2014）基于未校準的LMM市場利率模型對一款區間累積利率掛鉤產品進行了定價。

大多數研究將利率掛鉤產品拆解成“固定收益部分+期權部分”的形式，并分別進行定價，其中的期權定價和利率期限結構估計為研究的重點內容。在期權的定價方面，經典的B-S期權定價模型并不一定能準確地描述各類標的資產價格的變化過程，在實證研究中廣泛使用的是數值分析方法，包括樹圖方法、蒙特卡羅模擬和有限差分等。對于貼現率及掛鉤利率的估計，若想要模擬未來的利率變動過程來得到未來利率的估計，動態模型比靜態模型更好，其利率期限結構會與市場真實情況更相近。對于需要估計遠期利率的問題來說，以基于刻畫遠期利率變動的HJM模型和LMM模型為佳，且LMM市場利率模型計算的利率更加貼近實際情況（LMM有兩個優點：一是LMM模型上的校準比較容易；二是LMM模型是建立在市場上可以觀察到的利率的基礎上）。對于結構性產品風險的研究，學者普遍從敏感性分析和避險參數分析兩方面著手，但專門對利率掛鉤產品風險的研究較少。本文嘗試構建利率掛鉤產品定價的一般模式，使用LMM市場利率模型和蒙特卡羅模擬，選取區間累積型利率掛鉤產品進行定價，并運用敏感性分析方法來分析利率掛鉤產品定價的影響因素。

三、利率掛鉤產品定價的一般模式

一般情況下，結構性產品定價模式主要由現金流的分解與確定、貼現率的確定、產品定價三部分組成。而利率掛鉤產品需要估計收益率的掛鉤利率，這是利率掛鉤產品定價區別于其他類型產品定價之處，對掛鉤利率的估計與對貼現率的估計方法相同，可以把二者計算步驟合并。另外為探究各變量對定價的影響，應增加敏感性分析部分。因此，本文構建了利率掛鉤產品定價的一般模式，其具體步驟包括：第一步，利率期限結構的確定：選擇LIBOR市場利率模型估計出所需的掛鉤利率和貼現率；第二步，產品現金流的分解與確定：將產品未來現金流拆分為“固定收益證券+利率期權”的形式，分別確定兩部分的現金流或收益率、現金流發生的時間；第三步，產品的定價：用估計出的貼現率將固定收益部分和期權部分的現金流貼現，加總即得到產品的理論價格；第四步，敏感性分析：改變定價中各輸入變量數據，分析它們的變化對價格的影響情況。

（一）利率期限結構的確定

（1）利率模型的選擇。利率模型選擇的標準主要是計算結果盡量與市場利率的期限結構相符，并且模型盡量簡單且有效。本文選用動態利率模型，考慮利率的均值回復特性，增加了對利率動態變化的刻畫。本文選擇Brace、Gatarek和Musiela（1997）等提出的LIBOR市場利率模型（簡稱LMM模型或BGM模型）。其優點在于：它用金融市場上可以直接觀測到的利率和市場隱含波動率作為輸入參數進行計算，計算結果與市場實際情況更加吻合；模型考慮利率的均值回復性，波動率模型可以單獨設置；模型適用于描述遠期利率的動態變化，比同樣刻畫遠期利率動態過程的HJM（1992）模型簡單實用。

（2）利率期限結構的計算。利率期限結構的計算相對復雜。首先，要確定模型所需的期初遠期利率，可以用市場上的利率報價作為即期利率計算遠期利率，也可以用國債報價計算出的國債收益率曲線作為即期利率。其次，波動率的期初數據可通過計算歷史波動率或隱含波動率獲得，而由于市場上遠期利率波動率是時變的，需選取適當的波動率模型描述未來波動率的形式以代入利率模型。最后，由于較復雜的利率模型的方程沒有顯示解，需選用數值方法來計算，本文選擇蒙特卡羅模擬法進行計算，該方法計算相對簡便、適合路徑依賴型期權定價。圖1描述了利率期限結構的計算過程，其中虛線表示該過程的樣本選取與計算方法并不唯一。

圖1 利率模型的一般計算過程

一是期初利率期限結構的確定。對于LMM模型，其期初的輸入數據是0時觀察的瞬時遠期利率，若要求得瞬時遠期利率，則需先得出期初的即期利率曲線。

期初即期利率曲線的計算，即期利率曲線的估計主要運用靜態利率模型。當能夠從市場上獲取離散的即期利率時，可直接采用曲線擬合的方法求出即期利率曲線。由于掛鉤利率有每日市場報價，因而選取這種方法估計掛鉤利率的即期利率曲線。當市場上不能獲取即期利率報價時，就需運用息票剝離法計算國債市場的即期利率，而后運用曲線擬合方法求出即期利率曲線，這里運用三次樣條函數描述國債即期利率曲線。貼現率的即期利率用此方法計算。

期初遠期利率的計算。得到期初即期利率曲線之后，就可求出相應的期初遠期利率期限結構。在連續計息假設下，由即期利率計算遠期利率的公式為：

其中，r1是［0，t1］期間的即期利率，r2是［0，t2］期間的即期利率，f1，2是［t1，t2］期間的遠期利率。這里的利率都為連續復利計息的利率。

二是波動率的確定。標的資產的波動率是結構性產品定價的一個重要輸入變量。本文中掛鉤的遠期利率波動率選擇隱含波動率，貼現率波動率則選擇國債市場歷史波動率。

利用利率上限期權報價（Cap）求隱含波動率。當市場上存在相關利率期權報價時，可通過它們求得隱含波動率。由于利率上限期權（Cap）存在市場報價，用其價格可求出隱含波動率。利率上限期權（Cap）是由一系列不同時間段、相同執行價的利率上限子期權（Caplet）組成的利率衍生產品，它在利率上升時會鎖定最高利率來保護浮動利率債務。利率上限子期權則是基于短期利率（浮動利率）的看漲期權。一般，Cap的市場報價是波動率的報價，此時一般用BS模型計算出Cap的期權價格。由于Cap由一系列Caplet組成，所以Cap的價格是一系列Caplet價格之和。Caplet是一種歐式期權，它的價格可以由BS模型計算，0時觀察的［Ti-1，Ti］Caplet價格公式為

其中，j表示Caplet的總期數。另外，可以由Cap的報價波動率計算它的實際市場價格，公式為

其中為［Ti-1，Ti］期間Cap的報價波動率。在無套利條件下，Cap的理論價格與實際價格相等，就可由Cap報價計算隱含波動率νi。

遠期波動率形式。為應用LMM模型，需確定波動率在遠期的變化形式。為簡化模型的參數估計，通常假設遠期波動率為分段常數形式，波動率與其所在的時間有關。Brigo和Mercurio（2001）將分段常數形式的波動率歸納為五種不同的形式，本文選擇常用的只與剩余期限有關的遠期波動率模型，該模型參數估計較少，計算方便。

假設遠期利率距離到期日的時長是影響波動率的唯一因素，且分段常數形式的遠期波動率在每個期間（Tm-2，Tm-1］內為常數，Tm-2

該模型的波動率中所需要估計的變量只有M個，為η1，η2，...，ηm。波動率數據來源于市場上的利率上限期權報價Cap的隱含波動率。

三是利率模型的計算。利率模型的計算主要有偏微分方程法、樹圖法、有限差分法以及蒙特卡羅模擬。實證分析中選取一款區間累積型利率掛鉤產品，該產品的收益率取決于掛鉤利率處于設定區間內的天數，因而收益的計算具有路徑依賴的特點，由此選擇蒙特卡羅模擬方法來估計未來利率走勢。該方法的基本思想是：對所求的問題建立隨機概率模型，使它的某些變量是問題的解，由于隨機概率模型可由各種概率分布構成，通過產生已知隨機概率的隨機數計算變量的統計特征，得出求解變量的近似值。在估計利率走勢中，蒙特卡羅方法首先通過生成隨機數模擬利率變化的多個路徑，從而計算出利率走勢的期望及產品現金流入的期望值，即得到利率期權的價格。

（二）產品現金流的分解與確定產品現金流的分解分為以下幾步：

（1）將產品的現金流分解為固定收益證券和利率期權兩部分，這里的固定收益部分多為零息債券和附息債券的形式，而利率期權則有很多種，如看漲/看跌歐式期權，障礙期權、亞式期權等。

（2）根據產品收益的特點確定固定收益部分現金流發生的時間以及相應的現金流大小，現金流大小可根據息票率求得，息票率一般是利率掛鉤產品的最低收益率；

（3）剔除固定收益部分未來現金流，剩余部分為期權未來現金流。現金流發生的時間及計算方式可根據具體產品直接獲得，而現金流的數額則取決于掛鉤利率。

（三）產品的定價理論上，任何一種金融產品的價值等于該產品給投資者帶來的未來現金流的現值。對產品固定收益部分和利率期權部分的定價也應用這種思想，用估計出來的貼現率將估計的全部現金流進行貼現，所得現值之和即為利率掛鉤產品的理論價格。

（四）產品價格的敏感性分析由于在產品定價過程中，主要的輸入變量是掛鉤利率及其波動率、貼現率及其波動率的期初數據。為進一步分析價格的影響因素，對產品定價進行敏感性分析，以考察輸入變量的改變對產品價格的影響情況。

（1）掛鉤利率的變化會直接影響產品現金流，最終改變產品價格。但由于不同利率掛鉤產品的收益計算方式不同，最終價格的變化情況也不盡相同。例如，對于看漲類型的產品，掛鉤利率越高，收益就會越高，而對于看跌類型的產品則恰恰相反。

（2）掛鉤利率的波動率也會對產品的價格產生影響，但它的變動對不同類型產品的價格影響方式不同。例如對于區間累積型產品，若波動率很大，則掛鉤利率超過預設利率范圍的機會大大增加，投資的收益就可能會因此減少。但對于一般看漲產品，波動率只影響掛鉤利率的波動程度，卻不能影響它的波動方向，對產品價格的影響方向則不甚明確。

（3）貼現率對產品價格的影響源于貼現過程。當期初利率期限結構曲線向下平移時，意味著貼現率會降低，產品的價值則會隨之增加；當曲線向上平移時，貼現率會升高，產品價值則隨之減少。

（4）與掛鉤利率波動率相似，貼現率波動率的變化也會影響產品的定價，但其只影響貼現率的波動幅度而不能影響方向，因此無法從理論分析獲得它對產品價格的作用情況，有待進一步考察。

四、利率掛鉤產品定價案例

在國內市場中，區間累積型利率掛鉤產品是常見的產品類型。本文以平安銀行2014年發行的掛鉤LIBOR的區間累積型產品為例，應用前文所構建的定價模式對該產品進行定價。樣本產品是平安銀行“私人銀行專享”結構類（掛鉤利率）2014年34期人民幣理財產品，存續期為185天，銷售期從2014年5月26日到2014年5月29日，產品投資期從2014年5 月30日（包括該日）到2014年12月1日（不包括該日）。產品的收益與國際市場美元3個月LIBOR掛鉤。另外，產品100%本金安全保障，衍生品部分投資于利率衍生產品市場。該產品的收益計算方法為：

投資者獲得的收益率=潛在年化收益率×（實際投資天/365）×（處于累積區間內的日數/日歷數）

其中，累積區間為［0.00%-5.00%］（包括邊界），潛在年化收益率為4.80%。

（一）利率期限結構的計算

（1）期初掛鉤利率的估計。在LMM模型計算中，首先計算期初即期利率。掛鉤利率LIBOR有每日市場報價，因報價利率是簡單年利率，所以首先將其轉化為連續復利的利率。轉化后期初2014年5月26日的市場LIBOR數據見表1：

表1 LIBOR數據

由于需要得到期初即期利率曲線，基于三次樣條插值方法對離散的即期利率進行插值，得出期初即期利率曲線。由于需要以3個月遠期利率作為LIBOR市場模型的輸入數據，因此根據公式（1）計算獲得產品發行當日的3個月LIBOR遠期利率曲線如圖2。

圖2 期初3個月期LIBOR遠期利率曲線

（2）期初貼現率的估計。對于貼現率的估計，由于樣本產品在國內發行，本文選取國債市場的即期利率數據作為計算貼現率的基礎數據。首先，選取20個市場上交易的期限不同的國債，利用息票剝離方法計算出國債市場的即期利率。應用三次樣條插值法，得到國債市場期初即期利率曲線。最終需估計出的貼現率是期末觀察的185天的遠期利率f（188，188，373），因而仍用公式（1）計算期初6個月期的遠期利率曲線如圖3。

圖3 國債市場期初6個月遠期利率曲線

（3）掛鉤利率波動率的估計。本文使用分段常數形式的波動率來描述遠期LIBOR利率的瞬時波動率。利用市場上提供的Cap報價和利率觸發線計算出隱含波動率作為模型中的遠期利率瞬間波動率。先要從市場上取得Cap波動率報價（見表2）。

表2 Cap波動率報價

Cap報價是Cap所在區間內的平均波動率。利用市場上各年期Cap報價反推出各個不同區間的Caplet波動率，也就是模型中所涉及的3個月遠期利率波動率。假設Cap所包含的每個Caplet（3個月期）的波動率是相等的，以3個月為時間間隔，根據公式（2）、（3）和（4），可以求出從計息日開始的3個月LIBOR波動率為σ0.25=0.9171，σ0.5=0.9265。

（4）貼現率波動率的估計。由于估計貼現率選擇國債市場數據為樣本，因此本文使用遠期歷史波動率來輸入利率模型。基于20支國債日報價，使用息票剝離法和三次樣條插值法計算得出2014年5月12日到2014年5月26日的每日國債收益率曲線作為即期利率曲線。由于貼現率的期限是185天，所得遠期利率曲線的期限也須是185天。根據公式（1），計算得出遠期利率曲線（如圖4）。將每日的瞬時185天遠期利率波動率求平均值，計算得出的185天遠期利率的歷史日波動率為σ=0.791%。

圖4 歷史國債遠期利率曲線

（5）蒙特卡羅模擬。相對于定價的0時點，決定產品收益的掛鉤利率為在產品持續期內每日觀察的遠期利率，用F表示掛鉤利率，所需求出的利率為F（4，4，94）、F（5，5，95）、...、F（188，188，278）。對這樣的具有類似路徑依賴性質的利率期權，蒙特卡羅模擬結果顯示，所有觀察日的掛鉤利率都落在［0，5%］的區間內，也就是說產品可以實現4.80%的年化收益率，期末時貼現率即半年期的遠期利率為3.0410%。

（二）樣本產品現金流的分解與確定在定價之前，首先需要明確產品定價的時間。本文以樣本產品起售日為定價的0時點。由于產品起售日至起息日之間并非投資期限，所以最終得到的產品現金流都需貼現回起息日。從結構上來看，該產品由一個以100萬元為面值的零息債券和一個利率期權組成。對于固定收益部分，定價所需計算的變量則是在產品持續期185天時間的貼現率。預測產品貼現率需要預測出產品持續期內的遠期利率期限結構，貼現所需利率為f（188，188，373），即期末時的185天遠期利率。再來考察樣本產品的期權部分，該產品的利率期權是一個奇異期權，該期權的價值由掛鉤利率來確定。設產品在持續期內掛鉤的3個月美元LIBOR在［0，5.00%］區間內的天數為n，產品的持續期為N（N=185）天，則由產品收益計算方法可知，期末時產品現金流I為

將估計的期權現金流以期望貼現率貼回起息日，得到利率期權產品價格P為

（三）定價結果分析根據樣本產品的現金流及貼現率得出產品的理論價格，相關結果見表3。由于該產品本金數額較大，設產品本金為100元，根據這個基數計算產品價格。結果表明，此產品的理論價格為100.8871元，為本金的1.0089倍，投資者每投資100元本金在半年內實際可獲得2.3961元的現金凈流入。

表3 每100元本金的理論價格

由此可以看出，產品理論價值大于實際價格，該產品是折價發行的，值得投資者投資。其中，保本條款的保障本金安全，而利率期權部分也體現出了一定的盈利能力。觀察產品說明中的掛鉤利率和歷史數據描述中3個月期美元LIBOR曲線，可以發現利率水平都處于［0，5.00%］的區間內，投資者獲得最高收益的情況會比較樂觀。蒙特卡羅模擬結果也印證了這一點，所有模擬出來的利率水平都低于5.00%的邊界，也就意味著投資者幾乎已經鎖定4.80%的年化利息收入。在期末，該產品發布的收益公告顯示產品達到其最大年化收益4.80%，與本文得出的實證結果相同。

另外，由于產品的發行日從2014年5月26日開始，而計息起始日為2014年5月30日，若投資者在26日投入資金，那么投資者會有4天的時間沒有收益，這部分資金的閑置對于投資者來說也是一種潛在的損失。因此，購買日期越接近起息日對投資者來說面臨的損失就越小，但理財產品也可能快速售完，因此不能在銷售的最后一天去購買產品。

（四）產品價格的敏感性分析

（1）掛鉤利率及其波動率敏感性分析。由于掛鉤利率實際值比區間上限小很多，且近幾年的3個月LIBOR數據沒有高過1%，當掛鉤利率變化不大時，它落在區間內的天數不變，而掛鉤利率波動率對價格的影響也類似如此。因此，產品現金流不會變化，價格也不會變化。

（2）貼現率敏感性分析。假設其他輸入變量不變，分別使貼現率的期初即期利率各上升和下降5%和10%的水平，得到的價格與基準水平的理論價格相比較。當期初貼現率水平上升時價格下降，期初貼現率水平下降時價格上升。產品理論價值變動情況見表4。

表4 價格對貼現率的敏感性分析

（3）對貼現率波動率的敏感度分析。由于計算時未能獲得有效的市場數據，只運用歷史波動率計算貼現率，所以需分析波動率對定價的影響。假設其他輸入變量不變，分別使歷史波動率上升和下降各5%和10%的水平，與基準水平下的理論價格相比較。在不同初始波動率水平下，波動率越高，產品價格越低，但整體變化幅度不大。產品理論價格變動情況見表5。

表5 價格對貼現率波動率的敏感性分析

五、結論

本文構建了利率掛鉤產品定價的一般模式，選擇區間累積型利率掛鉤產品作為樣本進行案例分析。分析結果顯示，樣本產品是折價發行的，值得投資者投資，但該產品掛鉤利率遠小于設定的區間上限，在市場未發生劇烈變化時收益幾乎是固定的。另外，敏感性分析顯示，價格的變動與期初貼現率及波動率的變動呈負相關，二者對價格的影響程度不大。應用本文構建的定價模式，投資者可直接通過定價結果來評價產品是否值得購買以及相應的風險，發行者也可用其評估產品定價的準確性。由于我國利率市場上沒有基于國債的金融衍生品，在確定貼現率波動率時使用歷史波動率，而未能運用市場上衍生產品的隱含波動率作為反映市場波動率的指標。今后在我國利率市場更加完善時，將時變的波動率代入利率模型會使貼現率更加貼近市場實際。

*本文系國家社會科學基金資助項目（項目編號：15BJY036）；黑龍江省自然科學基金資助項目（項目編號：G2015005）；黑龍江省社會科學基金資助項目（項目編號：14B073）階段性研究成果。

［1］成黎明：《中國債券市場中內嵌利率期權債券的定價研究》，南京航空航天大學2009年碩士學位論文。

［2］劉昭文：《觸發性結構化利率債券定價的蒙特卡羅方法研究》，《經濟論壇》2010年第6期。

［3］李勇飛、侯志強：《基于LMM的美式可贖回債券定價研究》，《北方工業大學學報》2013年第1期。

［4］孫學彬、潘永泉：《利率掛鉤型結構化產品定價分析》，《時代經貿》2014年第6期。

［5］蔣承、郭黃斌、崔小勇：《利率衍生品的定價研究——基于LIBOR市場模型》，《金融理論與實踐》2010年第2期。

［6］Boyle P.Options:A Monte Carlo Approach.Journal of Financial Economics.1977，4.

［7］Boyle P，Broadie M，Glasserman P.Monte Carlo methods for security pricing.Journal of Economic Dynamics and Control. 1997，21.

［8］Cox J C，Ross S A，Rubinstein M.Option pricing:A simplified approach.Journal of financial Economics.1979，7.

（編輯杜昌）