柔性并聯(lián)機器人非線性摩擦動力學建模與速度規(guī)劃

趙 磊 范夢然 趙新華 周海波 欒倩倩

(1.天津市先進機電系統(tǒng)設計與智能控制重點實驗室, 天津 300384； 2.天津理工大學機械工程學院, 天津 300384； 3.天津艾利安電子科技有限公司， 天津 300401)

柔性并聯(lián)機器人非線性摩擦動力學建模與速度規(guī)劃

趙 磊1，2范夢然3趙新華1，2周海波1,2欒倩倩2

(1.天津市先進機電系統(tǒng)設計與智能控制重點實驗室, 天津 300384； 2.天津理工大學機械工程學院, 天津 300384； 3.天津艾利安電子科技有限公司， 天津 300401)

為了實現(xiàn)柔性并聯(lián)機器人的高速、高精度控制，基于Hensens & Kostic理論，計入關節(jié)非線性摩擦力建立了Lagrange動力學誤差模型，測試了補償前后機器人的單點定位誤差?；跈C構最大速度和加速度約束條件，分析了S型和常用T型2種速度規(guī)劃算法下機器人的位置誤差和速度性能。仿真結果表明：T型速度規(guī)劃位置和速度跟蹤最大誤差為78.1 μm和11.4 mm/s，而S型速度規(guī)劃分別是37.8 μm和3.72 mm/s，且2個終止點定位誤差僅為8.1 μm和8.9 μm；速度性能方面，S型速度峰值誤差變化最大僅為1.74 mm/s，遠小于T型速度規(guī)劃的6.88 mm/s。可見，在高速下S型速度規(guī)劃算法保證了較高的位置跟蹤精度尤其是定位精度，速度尖峰突變小且整體曲線相對平緩，大幅提高了速度跟蹤精度和運動平穩(wěn)性，更易于實現(xiàn)機器人高速、高精度平穩(wěn)控制。實驗測試了機器人連續(xù)運動下定點位置誤差，仿真所得位置誤差小于實測數據，存在100 μm左右的誤差，但所得結論一致，驗證了仿真分析的有效性。

柔性并聯(lián)機器人； 非線性摩擦； 動力學； 速度規(guī)劃； 誤差

引言

并聯(lián)機器人由多條運動支鏈同時控制末端執(zhí)行器，抵消了串聯(lián)機構存在的誤差累積效應[1-4]。從機構學角度分析，并聯(lián)機構具有運動慣量低、負載能力強、剛度大等優(yōu)點，彌補了串聯(lián)機器人的不足[5-7]。對于高精密控制系統(tǒng)而言，工作精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性是重要的技術指標，故降低誤差，提高系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性和快速性非常重要[8-9]。目前，除了柔性機構自身的結構誤差和大尺寸連桿彈性變形外，柔性機構驅動關節(jié)的非線性摩擦力對機器人的精度、運動的平穩(wěn)性和快速性的影響越加突出[10-13]。本文基于Hensens & Kostic理論建立6桿并聯(lián)機器人Lagrange非線性摩擦動力學誤差模型，并測試補償前后機器人的單點定位誤差和S型與常用梯形(T型)兩種速度規(guī)劃算法下機器人的位置和速度跟蹤誤差。

1 Lagrange非線性摩擦動力學誤差建模

1.1 并聯(lián)機器人結構

少自由度并聯(lián)機器人具有明顯的經濟特性，其結構簡單、易于控制，已經被廣泛應用到工業(yè)領域中[14-15]。對大范圍、具有大尺寸連桿的機器人，在高速運動下大尺寸連桿的彈性變形尤為突出，大量學者針對機構的柔性問題做了深入研究并取得重要成果。然而，在并聯(lián)機器人連續(xù)軌跡運動控制中，關節(jié)摩擦尤其是主動關節(jié)摩擦力是影響位置精度和運動平穩(wěn)性的重要因素[10]。圖1為柔性平面6桿并聯(lián)機器人。

圖1 6桿并聯(lián)機器人Fig.1 Parallel robot of six poles

該并聯(lián)機器人主要由6個連桿構成，其中包含3個驅動桿和3個被動桿，3個被動連桿終端連接處為控制終端。3個伺服電動機固定于工作平臺上，每個驅動連桿均由伺服電動機驅動，控制終端實現(xiàn)二維空間的平動。

基于圖1所示的機器人結構，其空間坐標系建立如圖2所示。3個基座D1、D2和D3分別固定于XOY工作平面內，其中D1和D2分別位于Y軸和X軸上。如圖2所示，設Di(xDi、yDi)(i=1,2,3)分別為3個基座上驅動電動機對應坐標；Bi(xBi,yBi)(i=1,2,3)為被動副關節(jié)坐標，6個桿件的理論長度分別為LD1、LD2、LD3、LB1、LB2、LB3，O(xo,yo)為控制終端坐標,θi(i=1,2,3)為驅動角，θBi(i=1,2,3)為被動角。

圖2 并聯(lián)機器人坐標系Fig.2 Coordinate system of parallel robot

1.2Lagrange動力學建模

對于一個多剛體并聯(lián)機器人，其Lagrange函數等于動能與勢能之差，即

L=T-U

(1)

式中L——Lagrange函數T——系統(tǒng)總動能U——系統(tǒng)總勢能

ZDi(xcdi,ycdi)和ZBi(xcbi,ycbi)為驅動桿和被動桿重心。機器人單支鏈結構如圖3所示。

圖3 單支鏈結構Fig.3 Structure of single chain

則驅動桿和被動桿動能分別為

(2)

(3)

由串聯(lián)機構運動學關系有

(4)

式中rd——驅動桿重心ZDi到點Q的距離rb——被動桿重心ZBi到點B的距離

令驅動桿和被動桿桿長均為l，則并聯(lián)機器人的Lagrange函數為

(5)

(6)

式中Li——支鏈i的拉格朗日函數

忽略閉鏈約束內力的Lagrange方程為

(7)

將式(5)代入式(7)可得Euler-Lagrange方程

(8)

整理得

(9)

其中

式中C——科里奧利矩陣G——重力矩陣M——慣性矩陣

對于m條支鏈和n個關節(jié)的并聯(lián)機構，其閉鏈約束條件為

(10)

又并聯(lián)機器人在工作空間內任意一點的速度約束條件

(11)

式中S(θ)——速度約束矩陣

故加速度約束條件為

(12)

則含有約束內力系統(tǒng)的動力學模型為

(13)

式中η——約束因子，表示約束內力

式(13)等號兩側左乘JT可消去約束力項STη，整理可得

(14)

由于被控終端在平面內運動，故忽略重力勢能G，由式(14)可得

盡管目前我國隨著電子商務和物流的快速發(fā)展已基本實現(xiàn)了物流的溯源功能，但是在跨境電商物流方面卻不盡如人意。跨境貿易的產生動力是將本國具有比較優(yōu)勢的產品出口到其他國家。例如中東的石油、歐洲的機械產品、中美洲的食品、亞洲的制造業(yè)等都具備自身的比較優(yōu)勢。但此類產品往往由于進出口國信息的不對稱容易造成交易的逆向選擇。更有一些國內不法商家把國內假冒偽劣商品通過造假物流信息，變成為名正言順進口商品。這些不僅損害了消費者的根本利益，同時也危害了跨境電商的發(fā)展，甚至引發(fā)國際糾紛。

(15)

1.3 非線性摩擦力動力學誤差建模

式(15)建立了機器人系統(tǒng)含約束內力的實際動力學模型，但忽略了關節(jié)摩擦力。在動態(tài)軌跡運動控制中，主動關節(jié)摩擦力是影響其精度和動力學性能的主要因素[16-18]。因此，建立精確的非線性摩擦力誤差補償模型尤為重要。文獻[10]基于Hensens & Kostic理論，提出了一種非線性指數函數的近似摩擦力模型

(16)

可得非線性摩擦力動力學誤差模型為

(17)

(18)

2 非線性摩擦動力學誤差補償與速度規(guī)劃

2.1 非線性摩擦力誤差補償

表1 機器人結構參數Tab.1 Structure parameters of robot mm

表2 非線性摩擦力動力學誤差標定結果Tab.2 Error calibration result of nonlinear friction dynamics

采樣點以T型速度控制進行采樣，用表2標定結果進行非線性摩擦力動力學誤差補償，得到21個采樣點補償前后的定位誤差曲線如圖4所示。

圖4 定位誤差曲線Fig.4 Curves of location error

從補償前后對比曲線看出機器人補償前后在邊界點的定位誤差較大，遠高于工作空間內中心部分的定位誤差。補償前，邊界處正向和負向最大定位誤差分別為185 μm和-196 μm，補償后為75 μm和-77 μm；而工作空間中心處11個采樣點經補償后定位誤差分布在32～47 μm。故通過非線性摩擦力補償可降低機器人整個空間內的定位誤差。

2.2 機器人速度規(guī)劃

由于機器人工作時的路徑常為連續(xù)運動軌跡，而單點定位誤差只能反映其重復性精度指標，故對機器人進行連續(xù)軌跡下實時速度和位置跟蹤精度的仿真分析，為保證仿真結果的合理性，需要確定機構的最大速度和加速度。

2.2.1 機器人最大速度和加速度約束模型

6桿并聯(lián)機器人在W工作空間內的速度和加速度限制主要由速度雅可比矩陣J和慣性矩陣M決定，由文獻[10]可知其最大速度和加速度約束模型為

(19)

(20)

2.2.2 運動路徑與速度規(guī)劃

隨著對機器人運動穩(wěn)定性和控制精度的提高，多種速度規(guī)劃算法逐漸被廣泛應用到高精密機器人控制中[19-20]。設定機器人運動路徑為連續(xù)折線，如圖5所示。從起始點E1經點E2到終止點E3，仿真測試S型和T型速度規(guī)劃算法下的位置和速度跟蹤性能，具體速度規(guī)劃控制模型詳見文獻[20]，這里不做贅述。

圖5 機器人運動路徑Fig.5 Motion path of robot

測試步驟如下：

(1)設(xq,yq)和(xe,ye)分別為起始點和終止點的坐標，每段期望軌跡與x軸正向的夾角為φ=arctan(2(ye-yq,xe-xq))。

(3)令s(t)為S型曲線加速或T型(梯形)運動位移函數，故期望運動軌跡下采樣點在x和y軸上的理論位置如下

(21)

(4)S型曲線加速或T型加速下理論速度和加速度，則在x和y向的速度和加速度分別為

(22)

(5)設采樣時間Tc為0.01 s，t=iTc，i為采樣點個數；期望軌跡運動時間T由s(t)和步驟(2)中的速度和加速度求得，則采樣點個數i=T/Tc。

(6)機器人實際速度v′(t)和位置s′(t)可由傳感器反饋數據獲得，則任意時刻t的速度和位置跟蹤誤差分別為

(23)

表3 速度規(guī)劃參數Tab.3 Parameters of velocity planning

3 實驗

6桿并聯(lián)機器人3個驅動電動機減速比n均為100，最大角速度ωmax=367 rad/s，速度規(guī)劃參數及完成路徑軌跡時間見表3，仿真測試了以0.4 m/s和0.5 m/s的速度完成E1—E2和E2—E3段運動軌跡。

由表3可得：由于S型速度規(guī)劃相比T型速度規(guī)劃多了加加速和減減速運動，在完成相同運動路徑下，軌跡所用時間大于T型速度規(guī)劃，快速性上相對較差。

圖6 位置跟蹤誤差曲線Fig.6 Tracking error curves of position

圖6仿真結果表明：T型速度規(guī)劃下跟蹤誤差最大值為46.1 μm，遠大于S型速度規(guī)劃的21.2 μm； 此外，T型速度規(guī)劃下在終止點E2定位誤差為35.4 μm，而S型速度規(guī)劃僅為8.1 μm；從速度性能上看，T型最大速度誤差達到8.42 mm/s，比S型最大速度誤差大了6.32 mm/s。整段路徑S型速度規(guī)劃的位置跟蹤和速度跟蹤精度均優(yōu)于T型速度規(guī)劃，尤其是定位精度高。如圖7所示，速度和加速度增加后，2種速度規(guī)劃下機器人完成E2—E3段路徑運動時間減少，但位置精度和速度跟蹤性能均下降。由表4和表5數據可知：T型速度規(guī)劃算法的最大位置誤差和速度誤差增至78.1 μm和11.4 mm/s，比E1—E2段增加了32 μm和2.98 mm/s；而S型最大位置和速度誤差僅為37.8 μm和3.72 mm/s；T型控制算法下，速度增加后E3終止點定位誤差擴大至42.2 μm，遠大于S型規(guī)劃下的8.9 μm，定位精度低。

圖7 速度跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking error curves of velocity

表4 位置誤差Tab.4 Error of position μm

表5 速度峰值誤差Tab.5 Error of peak velocity mm/s

上述仿真分析結果是忽略了機器人結構誤差如連桿加工誤差和電動機零位安裝誤差等因素，為了進一步獲得機器人實際控制精度，采用激光干涉儀進行運動軌跡的跟蹤實驗如圖8所示。

圖8 激光干涉儀Fig.8 Laser interferometer

由于實際檢測難以獲得連續(xù)運動下如仿真分析中以10 ms為采樣周期各點位置坐標，故給出兩種不同速度規(guī)劃算法下E2和E3點的定位誤差。為了保證兩次規(guī)劃算法下起始點零位的一致性即E1的位置相同，記錄第1次測試前激光干涉儀示數，第2次測試前調整與第1次記錄數據差值為4 μm以內定義為位置重合，如圖9所示。

圖9 起點E1位置數據Fig.9 Position data of start point E1

表6可得實際定位點誤差明顯高于忽略結構誤差后的仿真結果。以0.4 m/s的速度完成E1—E2點第1段路徑，兩種速度規(guī)劃算法所測得E2和E3點實際位置誤差分別為123.8 μm和84.2 μm，比仿真結果增加了88.4 μm和76.1 μm；以0.5 m/s的速度完成E2—E3點第2段路徑所得E3點終止點位置誤差分別為171.6 μm和128.6 μm，比仿真結果增加了129.4 μm和119.7 μm?？梢姡S著速度的增加，機器人精度逐漸降低，誤差越來越大；仿真數據與實驗數據存在100 μm左右的誤差，但結論一致，驗證了仿真結果的正確性。

表6 定點位置誤差數據 Tab.6 Error of position μm

4 結論

(1) 仿真結果表明：S型速度規(guī)劃算法下柔性并聯(lián)機器人位置和速度跟蹤精度均高于T型速度規(guī)劃算法，且S型速度規(guī)劃有效保證了速度的連續(xù)，利于減小速度轉換時產生的速度峰值突變。

(2) 機器人速度增加后，T型速度規(guī)劃下機器人的最大位置誤差和速度峰值誤差達到78.1 μm和11.4 mm/s,高于S型速度規(guī)劃，機器人高速與高精度控制矛盾更為突出。

(3) S型速度尖峰值相差僅為1.74 mm/s，遠小于T型速度規(guī)劃的6.88 mm/s，且速度曲線更為平滑，機器人運動平穩(wěn)性更好。

(4) 經非線性摩擦力誤差補償，可降低機器人的單點定位誤差；在位置跟蹤誤差測試中，仿真與實測數據存在100 μm左右的誤差，但仿真分析所得結論與實驗一致，驗證仿真分析方法的正確性。

(5) S型速度規(guī)劃算法大幅提高了機器人連續(xù)軌跡的位置精度和運動平穩(wěn)性，有效緩解了高速與高精度控制之間的矛盾，更易于實現(xiàn)柔性并聯(lián)機器人高速、高精度的平穩(wěn)控制。

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Nonlinear Friction Dynamic Modeling and Velocity Planning of Flexible Parallel Robot

ZHAO Lei1,2FAN Mengran3ZHAO Xinhua1,2ZHOU Haibo1,2LUAN Qianqian2
(1.TianjinKeyLaboratoryoftheDesignandIntelligentControloftheAdvancedMechatronicalSystem,Tianjin300384,China2.SchoolofMechanicalEngineering,TianjinUniversityofTechnology,Tianjin300384,China3.TianjinAdrianElectronicTechnologyCo.,Ltd.,Tianjin300401,China)

In order to realize control of robot in high speed and accuracy, Lagrange method was applied to deduce dynamic model and nonlinear friction force dynamic compensation model based on Hensens & Kostic theory. The single point positioning error was analyzed before and after compensation. A kind of S type velocity planning method was designed based on the constrain model of maximum speed and acceleration. Performance test in real time was implanted between T and S types velocity control algorithm about position and speed tracing. The experiment data indicated that the maximum position tracking error and speed tracking error of T type velocity planning were increased to 78.1 μm and 11.4 mm/s. But those of S type velocity planning were only 37.8 μm and 3.72 mm/s. Location accuracy of S type planning at two termination points reached 8.1 μm and 8.9 μm. The maximum speed difference of S type planning was 1.74 mm/s which was much smaller than 6.88 mm/s of T type velocity planning. High precision of position control especially termination-point location was ensured by S type velocity planning algorithm. Its peak velocity mutation was much smaller and velocity curve was also smoother compared with that of T type velocity control algorithm. It was demonstrated that speed tracing performance and stability of motion were improved greatly. The contradiction of T type velocity planning existed between high speed movement and high precision control was effectively relieved. So S type velocity planning was much easier to realize the control of robot in high speed and accuracy. In order to verify the correctness of the simulation analysis conclusions，position error of robot was tested by laser interferometer under continuous motion at different speeds. Simulation data was less than experiment data. The data error was about 100 μm between simulation and actual measurement. But the conclusions were consistent with the experiment. The validity of the simulation analysis method was verified.

flexible parallel robot; nonlinear friction; dynamics; velocity planning; error

2016-09-08

2016-12-07

國家自然科學基金項目(51275353、51275209)、天津市應用基礎與前沿技術研究計劃重點項目(14JCZDJC39100)、天津市高等學?？萍及l(fā)展基金計劃項目(20140401)和天津市智能制造重大科技專項(15ZXZNGX00040、15ZXZNGX00270)

趙磊(1983—)，男，講師，博士，主要從事機電一體化技術研究，E-mail: leizhaotjut@163.com

趙新華(1962—)，男，教授，博士生導師，主要從事機器人技術研究，E-mail: xinhuazhao@tjut.edu.cn

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.05.050

TP112; TP203

A

1000-1298(2017)05-0390-07