計算域可變的CEL方法*

付 崢，劉 軍，馮其京，王 政，張樹道

(北京應用物理與計算數(shù)學研究所，北京 100094)

計算域可變的CEL方法*

付 崢，劉 軍，馮其京，王 政，張樹道

(北京應用物理與計算數(shù)學研究所，北京 100094)

為了更好地兼顧拉氏方法和歐拉方法各自的特長，提出一種可將拉氏介質(zhì)映射到歐拉計算域的耦合歐拉-拉格朗日(CEL)方法。通過這種映射，將歐拉-拉格朗日重疊區(qū)域的接觸面協(xié)調(diào)問題轉(zhuǎn)換為歐拉區(qū)域內(nèi)的多介質(zhì)計算問題，簡化了CEL方法的構(gòu)造過程。通過與侵徹實驗和結(jié)構(gòu)對爆炸沖擊波響應實驗的比較，驗證了新算法，計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合較好。

CEL方法；映射算法；計算域；沖擊動力學

基于網(wǎng)格的數(shù)值方法是研究沖擊動力學問題的重要工具[1]。其中，拉格朗日方法能夠清晰描述物質(zhì)界面的演化，但在處理大變形問題時網(wǎng)格會嚴重扭曲、變形，如不進行特殊處理，計算精度會受到嚴重影響，甚至得到非物理解或迫使計算終止；歐拉方法不會出現(xiàn)網(wǎng)格扭曲的問題，但在進行多介質(zhì)問題計算時，如不進行特殊處理，物質(zhì)界面會逐漸模糊，甚至偏離物理解[2]。為了發(fā)揮拉氏和歐式方法的優(yōu)點，1964年，W.F.Noh[3]提出了耦合歐拉-拉格朗日(coupled Euler Lagrange, CEL)的概念。他將整個計算域劃分成若干子域，一些子域劃入拉格朗日計算域，其他子域劃入歐拉計算域，通過協(xié)調(diào)兩種計算域接觸面上的力、速度等物理量實現(xiàn)耦合計算。這一思想奠定了CEL方法的基礎(chǔ)。此后，CEL方法迅速發(fā)展，新的耦合算法層出不窮。其中，有代表性的算法包括：L.Olovsson[4]結(jié)合LS-DANY的接觸算法[5]提出的一種罰函數(shù)算法(Penalty Method)，R.P.Fedkiw[6]和M.Arienti等[7]結(jié)合Level Set和Ghost Fluid方法提出的Ghost Fluid Eulerian Lagrangian (GEL)方法。目前CEL方法的思想已經(jīng)在ABAQUS，ANSYS等大型商用軟件中得到實現(xiàn)，并在侵徹[8]、固體結(jié)構(gòu)對爆炸沖擊波響應[9]等沖擊動力學問題的研究中得到推廣和應用。

但是，目前大部分CEL算法在耦合計算時，歐拉和拉格朗日計算域都是預先設(shè)定好的，隨著流場的發(fā)展，拉格朗日計算域內(nèi)仍可能出現(xiàn)網(wǎng)格扭曲甚至自相交等問題，拉氏方法原有的缺點依然存在，特別是類似材料發(fā)生拓撲變化，產(chǎn)生新的物質(zhì)界面等拉氏方法處理困難的問題，此時預設(shè)區(qū)域的局限性就會凸現(xiàn)出來。例如，計算彈體侵徹問題時，原始CEL方法預先將彈體劃入拉格朗日計算域，將靶板劃入歐拉計算域。當入射速度較低時，彈體變形較小，預設(shè)區(qū)域的耦合算法能夠得到較好效果[8]。但當彈速較高，發(fā)生高速甚至超高速侵徹的情況下，彈頭將快速鈍化、損耗，磨損掉的部分與靶板粘結(jié)在一起導致彈體質(zhì)量不斷下降，直至侵徹結(jié)束(如圖1[10])，此時預設(shè)區(qū)域的耦合算法將無法計算。為了模擬拉格朗日計算域內(nèi)存在網(wǎng)格扭曲或自相交等問題的沖擊動力學現(xiàn)象，需要開發(fā)一種新型的CEL耦合算法。

圖1 高速侵徹實驗回收的彈體[10]Fig.1 Recovered bullets in experiments of high velocity impact[10]

本文中，提出一種將拉氏計算域映射到歐拉計算域的緊耦合CEL算法。通過這種映射，將歐拉-拉格朗日接觸面上界面和物理量的協(xié)調(diào)問題轉(zhuǎn)換為歐拉區(qū)域內(nèi)的多介質(zhì)計算問題。在映射過程結(jié)束后，從歐拉計算域積分得到歐拉-拉氏接觸面上拉氏介質(zhì)的邊界力，完成耦合計算。采用新算法計算一個侵徹實驗和一個結(jié)構(gòu)對爆炸載荷的響應實驗，通過與實驗數(shù)據(jù)對比驗證算法的有效性。

1 CEL耦合方法

進行CEL耦合計算時，在歐拉-拉氏重疊區(qū)內(nèi)，拉氏介質(zhì)被插入到歐拉區(qū)域，為歐拉區(qū)域提供速度、位移等邊界條件。在歐拉-拉氏接觸面上，對歐拉介質(zhì)進行應力積分，為拉氏計算域提供力邊界條件。若拉氏域內(nèi)的介質(zhì)產(chǎn)生大變形，導致拉氏網(wǎng)格單元嚴重扭曲或自相交，則將該單元及其附近區(qū)域的拉氏介質(zhì)轉(zhuǎn)化為歐拉計算域內(nèi)的介質(zhì)。為了實現(xiàn)上述思想，編制支持將拉氏計算域映射到歐拉區(qū)域的CEL程序，程序的歐拉模塊采用的是多介質(zhì)彈塑性程序MEPH[11]，拉氏模塊采用的是簡單、流行的有限元程序。CEL耦合算法的流程可簡單描述如下。

(1) 清除前一步映射到歐拉計算域的拉格朗日介質(zhì)。

(2) 將拉格朗日單元分解成四面體單元。

(3) 將拉格朗日介質(zhì)插入歐拉網(wǎng)格：

(a) 計算歐拉-拉氏重疊區(qū)域的體積；

(b) 從拉格朗日計算模塊獲得拉氏介質(zhì)物理量的分布情況；

(c) 將獲得的拉氏介質(zhì)的物理量插入歐拉網(wǎng)格；

(d) 將映射后的數(shù)據(jù)傳給歐拉模塊。

(4) 積分歐拉介質(zhì)對拉氏介質(zhì)的作用力：

(a) 計算歐拉-拉氏接觸面在每個歐拉單元內(nèi)的面積；

(b) 積分得到接觸面上歐拉介質(zhì)施加給拉氏單元的邊界力；

(c) 分解(b)步得到的力，獲得拉氏單元所受的法向力；

(d) 如果存在摩擦，采用Coulomb模型計算拉氏單元所受的摩擦力；

(e) 將(a)～(d)算得的力重新分配到拉氏單元的結(jié)點，并傳給拉格朗日模塊。

(5) 統(tǒng)一歐拉和拉格朗日模塊的時間步長，分別運行歐拉和拉格朗日模塊。

(6) 進入下一時間步，從(1)重新開始。

從(1)～(6)不難發(fā)現(xiàn)，新耦合算法的關(guān)鍵是拉氏區(qū)向歐拉區(qū)的映射過程。在討論映射算法前，首先要在歐拉程序中為插入的拉氏介質(zhì)安排合理的材料編號。設(shè)在一個計算問題中拉氏區(qū)有NL種介質(zhì)，歐拉區(qū)有NE種介質(zhì)(不包含由拉氏區(qū)插入的介質(zhì))，在歐拉程序中這些介質(zhì)不會被刪除，故稱這類介質(zhì)為永久介質(zhì)。由拉氏區(qū)插入到歐拉區(qū)的有NLE種介質(zhì)(NLE≤NL)，這些介質(zhì)是被臨時插入到歐拉區(qū)的，故稱這類介質(zhì)為臨時介質(zhì)。在歐拉程序中，若編號為M的介質(zhì)為永久介質(zhì)，則有1≤M≤NE，若為臨時介質(zhì)，則有NE

1.1 拉氏介質(zhì)到歐拉區(qū)的映射

拉氏區(qū)到歐氏區(qū)的映射過程，實際上就是將拉氏介質(zhì)插入到歐拉網(wǎng)格的過程。

(a) 設(shè)某拉氏單元與一歐拉單元相交，重疊區(qū)體積為Vo。設(shè)拉氏單元內(nèi)密度均勻，為該單元的平均密度ρl，則該拉氏單元內(nèi)介質(zhì)應插入到這一歐拉單元的各物理量為：

(1)

式中：m、c、p、S、P、E、V分別表示質(zhì)量、聲速、壓力、偏應力、動量、內(nèi)能和體積，下標o、L和ref分別表示重疊區(qū)物理量、拉氏單元的物理量以及歐拉區(qū)的參考值，上標*表示附加了權(quán)值的物理量。

(b) 對所有歐拉-拉氏重疊區(qū)內(nèi)的拉氏單元重復(a)。

(2)

式中：VE為歐拉單元的體積；cE為歐拉單元中的聲速；eE,M為歐拉單元中的質(zhì)量內(nèi)能；φE,void為空介質(zhì)的體積；φE,M、ρE,M和eE,M分別為歐拉單元上永久介質(zhì)M(1≤M≤NE)的體積分數(shù)、密度和比內(nèi)能。

(3)

式中：上角標“′”代表賦值迭代后的量。

(e) 在計算歐拉單元的聲速、偏應力等物理量前，首先要考慮體積可忽略的介質(zhì)和過盈單元。

圖2 過盈單元Fig.2 Overfilled cell

若某介質(zhì)體積可忽略，則用空介質(zhì)替換該介質(zhì)。若所有介質(zhì)體積分數(shù)之和大于1(過盈單元，如圖2所示，此時VL+VE>Vcell，則VE,void=Vcell-VL-VE<0，不符合VE,void≥0的物理規(guī)律，必須修正)，根據(jù)單元內(nèi)介質(zhì)的分布情況分類處理。若過盈單元僅含有永久介質(zhì)或臨時介質(zhì)，在保障密度、比內(nèi)能和壓力不變的前提下，按介質(zhì)的體積比修正各介質(zhì)的體積、質(zhì)量、內(nèi)能和加權(quán)壓力，使得VE,void=0；若過盈單元同時含有永久介質(zhì)和臨時介質(zhì)，根據(jù)下面的算法修正介質(zhì)的體積、內(nèi)能等物理量。

計算介質(zhì)M的聲速cE,M，得到介質(zhì)M的體積模量KE,M：

(4)

進一步計算介質(zhì)M的體積修正因子:

(5)

式中：Nmat=NE+NLE，為單元內(nèi)的介質(zhì)總數(shù)，VE,M為介質(zhì)體積。介質(zhì)M的體積修正值ΔVE,M和壓力修正值ΔpE,M分別為：

(6)

(7)

修正后的體積、壓力分別為pE,M+ΔpE,M和VE,M+ΔVE,M。修正介質(zhì)M的內(nèi)能:

(8)

(f) 若空介質(zhì)體積VE,void>0，且VE,void+VL+VE>Vcell，說明VE,void偏大，則減小VE,void，使得VE,void+VL+VE=Vcell。

(g) 由式(2)～(3)中的加權(quán)聲速、加權(quán)壓力、加權(quán)偏應力、內(nèi)能和體積計算聲速、壓力、偏應力、比內(nèi)能和體積分數(shù)。將結(jié)果傳回歐拉程序，結(jié)束映射過程。

CEL方法中，歐拉-拉氏接觸面上，拉氏介質(zhì)的物質(zhì)界面很難與歐拉介質(zhì)的物質(zhì)界面重合。兩種描述下的物質(zhì)界面匹配問題是CEL方法的一大難題。而上述映射過程是基于介質(zhì)體積的，相對獨立于物質(zhì)界面，降低了CEL方法對物質(zhì)界面一致性的要求。

1.2 積分拉氏介質(zhì)的邊界力

歐氏區(qū)到拉氏區(qū)的映射，計算的是歐拉-拉氏接觸面上，歐拉介質(zhì)對拉氏介質(zhì)施加的作用力。

(a) 若拉氏單元與一歐拉單元相交，則該歐拉單元被稱為歐拉-拉氏混合單元(E/L單元)。首先要計算E/L單元內(nèi)歐拉-拉氏接觸面面積Ao和接觸面上歐拉介質(zhì)對拉氏介質(zhì)施加的壓力p和偏應力S。圖3闡述了p和S的計算過程，其中I為單位張量。圖3中拉氏介質(zhì)覆蓋了三個E/L單元e(i,j+1),e(i+1,j+1)和e(i+1,j+2)。n是E/L單元e(i+1,j+1)內(nèi)拉氏面元的外法向。沿n方向外推一個歐拉單元的距離，可得僅有永久介質(zhì)的歐拉單元-前(forward)單元(單元e(i+2,j))。本文中采用E/L單元壓力pmix和前單元壓力pfor的加權(quán)平均值作為永久介質(zhì)對拉氏面元的壓力(權(quán)系數(shù)wmix的計算公式如圖3所示，本文中wE=1，φE,mix表示E/L單元中永久介質(zhì)的體積分數(shù)之和)。E/L單元的偏應力是永久介質(zhì)和臨時介質(zhì)加權(quán)平均的結(jié)果，不能表示永久介質(zhì)對拉氏面元的作用。這里用前單元的偏應力Sfor作為永久介質(zhì)在拉氏面元上的偏應力。若計算氣固耦合問題，永久介質(zhì)通常為氣體，此時拉氏面元所承受的壓力等于pfor。計算結(jié)果表明，這種只有一階精度的計算方法可以滿足數(shù)值計算的需要(誤差小于5%)。

圖3 拉氏介質(zhì)邊界上的壓力、偏應力和應力Fig.3 Pressure, deviatoric stress and stress on the boundary of the Lagrangian material

(b) 計算應力σ的法向分量:

(9)

(c) 用法向應力分量計算拉氏面元受的法向力fn:

(10)

式中：fn為fn的大小。

(d) 如果考慮摩擦，則計算摩擦力ft:

(11)

(e) 至此可算得拉氏面元受永久介質(zhì)的力f=fn+ft，此時f作用在面元的形心。將f重新分配到面元的結(jié)點，每個結(jié)點分得1/n的力(n為面元的結(jié)點數(shù))。

(f) 對所有E/L單元內(nèi)歐拉-拉氏接觸面上的拉氏面元重復步驟(a)～(e)。

(g) 若考慮摩擦，還要計算E/L單元內(nèi)永久介質(zhì)的摩擦力ft,avg并修正永久介質(zhì)的應力狀態(tài)。首先定義E/L單元內(nèi)臨時介質(zhì)的界面法向navg：

(12)

式中：NL為與一個E/L單元相交的拉氏單元的數(shù)量，j表示這些拉氏單元的編號，nj表示編號為j的拉氏單元的外法向，AE,j為編號為j的拉氏面元在該E/L單元內(nèi)的面積。由此可知，永久介質(zhì)的界面法向為-navg。進一步可由式(11)計算永久介質(zhì)的界面切向量tavg。定義摩擦力ft,avg:

(13)

式中：ft,j表示編號為j的拉氏單元所受的摩擦力。然后可得剪應力分量τavg：

(14)

最后根據(jù)navg將τavg從局部坐標系旋轉(zhuǎn)到全局坐標系即可。

2 算例

采用沖擊動力學問題中常見的兩個問題驗證提出的CEL算法。算例中，金屬材料采用Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程和Johnson-Cook彈塑性模型，空氣采用理想氣體狀態(tài)方程，炸藥采用JWL狀態(tài)方程。

圖4 初始時刻網(wǎng)格示意圖Fig.4 Initial grid

2.1 侵徹實驗

彈體侵徹是沖擊動力學領(lǐng)域的基礎(chǔ)問題之一。這里選用Piekutowski等[12]的長桿彈侵徹實驗。其中長桿彈為彈長88.9 mm、直徑12.9 mm、彈頭長21.4 mm的鋼制卵形彈體，靶板為半徑304 mm、厚26.3 mm的鋁板。本文選用了彈體與靶板正碰的五種工況，彈體的入射速度依次為341、396、508、730和863 m/s。侵徹過程中，子彈形狀幾乎未發(fā)生變化，采用拉格朗日方法計算。靶板變形巨大并被穿透，采用歐拉方法計算。

初始時刻，拉氏與歐氏網(wǎng)格如圖4所示。隨著子彈入射速度的不斷增加，穿靶后子彈的剩余速度也在不斷變化。表1比較了實驗數(shù)據(jù)與CEL方法的計算結(jié)果。參考表1，入射速度相對較低時(341 m/s)，計算結(jié)果的誤差較大，超過了5%；而其他工況的計算結(jié)果均小于2%。這是計算低速侵徹問題時所用的歐拉網(wǎng)格分辨率不夠所致，單獨用不同的歐拉網(wǎng)格步長對工況1(入射速度為341 m/s)進行計算，歐拉網(wǎng)格最小單元尺寸為2、1、0.5、0.25 mm時，相對誤差分別為40.74%、5.79%、2.42%、1.81%，這說明在實際計算時通過縮小歐拉單元的尺寸可以減小誤差。

穿靶后的靶板形狀是實驗提供的另一重要參考數(shù)據(jù)。圖5比較了Piekutowski等給出的工況2～5的照片(左側(cè)黑白圖片)與相近時刻CEL方法的計算結(jié)果(右側(cè)彩色圖片)。圖中的計算結(jié)果與實驗圖片吻合較好。

表1 各工況彈體殘余速度

圖5 彈體與靶板的變形情況對比Fig.5 Distortion of the bullet and the target

2.2 金屬圓盤對爆炸沖擊波的響應

圖6 實驗裝置[13]Fig.6 Experimental setup[13]

圖7 初始時刻圓盤附近的網(wǎng)格Fig.7 Initial grid around the plate

薄壁結(jié)構(gòu)對爆炸沖擊波的響應也是沖擊動力學領(lǐng)域的一個基礎(chǔ)問題。這里選用A.Neuberger等[13]的實驗，實驗設(shè)備如圖6所示。在質(zhì)量為W的TNT炸藥起爆后，沖擊波在空氣中傳播并迅速到達距離炸藥質(zhì)心R處的鋼制圓盤(盤厚d，直徑D)。裝置底端設(shè)置一梳子形狀的測量裝置，用來測量圓盤的最大位移δ。由于炸藥產(chǎn)物為氣體，變形大，采用歐拉方法描述。而薄壁結(jié)構(gòu)厚度小，若采用歐拉方法需要數(shù)量龐大的精細單元，浪費大量計算資源，因此采用拉氏方法描述。

初始時刻，拉氏與歐氏網(wǎng)格如圖7所示。表2列出了實驗中4種工況下各參數(shù)的取值，并比較了實驗測量的圓盤最大位移與CEL方法、文獻[13]的計算結(jié)果。所有計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合較好。位移測量裝置是一個梳子狀的金屬結(jié)構(gòu)，該裝置測量的位移實際上是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的塑性形變，未包含結(jié)構(gòu)的彈性形變部分。因此，實驗測量的最大位移應比真實結(jié)果小。表2中CEL方法計算得到的最大位移均大于實驗測量值，更好地反映了實際情況。而文獻[13]的計算結(jié)果沒有此規(guī)律。說明CEL方法在模擬氣體-結(jié)構(gòu)相互作用的問題時仍然能夠保障足夠的計算精度。

表2 各工況實驗與數(shù)值模擬得到的圓盤最大位移

3 結(jié) 論

提出一種可將拉氏計算域映射到歐拉計算域的CEL方法。并使用該算法模擬了兩類典型的沖擊動力學問題：彈體侵徹和結(jié)構(gòu)對爆炸載荷的響應。通過與實驗數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)，本文提出的算法得到的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合較好，能夠反映固體結(jié)構(gòu)的真實力學行為。

下一步，將對CEL方法進行更加系統(tǒng)的測試，并實現(xiàn)將拉氏介質(zhì)的部分區(qū)域映射到歐拉網(wǎng)格。

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(責任編輯 王小飛)

A CEL method with changeable computational domain

Fu Zheng, Liu Jun, Feng Qijing, Wang Zheng, Zhang Shudao

(InstituteofAppliedPhysicsandComputationalMathematics,Beijing100094,China)

In order to improve the large deformation problem within the Lagrangian domain, a CEL method with the capability of mapping Lagrangian materials to the Eulerian domain was presented. The contact problem in the Eulerian-Lagrangian overlapping region was converted to the multi-materials problem in the Eulerian region. The construction of the CEL method was also simplified. The method was verified by the calculation of two experiments (a steel bullet impacting an aluminous plate experiment and a structure response to the blast wave experiment). It is found that the numerical results agree well with the experimental data.

CEL method; mapping algorithm; computational domain; impact dynamics

10.11883/1001-1455(2017)03-0528-08

2015-07-03；

2015-10-23

國家自然科學基金項目(11472060，11371069)； 中國工程物理研究院科學技術(shù)發(fā)展基金項目(2014B0201030)

付 崢(1984- )，男，助理研究員，fu_zheng@iapcm.ac.cn。

O384 國標學科代碼： 13035

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