湖南省衡陽市古漢養生精的藥物代謝動力學研究

彭捷　李成　鄧陽　劉萍　羅振國

摘 要：以衡陽市古漢養生精為研究對象，運用分數階微積分知識和Matlab軟件編程。簡要分析了藥物在生物體內吸收、分布、代謝和排泄的速度規律，以期為臨床醫學治療提供一些幫助。

關鍵詞：古漢養生精；藥物代謝動力學；分數階微積分；藥動學模型

中圖分類號：O175 文獻標識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.08.073

古漢養生精是由人參、炙黃芪、枸杞子、女貞子（制）、菟絲子和金櫻子肉等12味中藥材制成的，它屬于中藥制成的滋陰壯陽藥物，具有提高男性性功能的作用。該藥具有滋腎益精、補腦安神的功效，臨床主治腦動脈硬化、冠心病、前列腺增生、更年期綜合征、病后虛弱等癥。迄今為止，相關人員還未檢測到針對古漢養生精展開藥代動力學研究的文獻，因此，對古漢養生精進行藥代動力學研究是非常有必要的。開展古漢養生精藥物代謝動力學研究，對闡明和揭示古漢養生精藥效物質基礎和作用機制、設計及其優選古漢養生精給藥方案、促進古漢養生精研發、劑型改進和質量控制有非常重要的意義。

筆者將簡單回顧分數階微積分的概念，分析現在分數階微積分的應用情況，然后建立基于分數階微積分的古漢養生精藥動學模型，繼而著重分析和論述由模型得出的結果，從而為臨床醫學治療提供一定幫助。

1 分數階微積分概念

1.1 分數階微積分背景和定義

300多年前，分數階微積分誕生了。眾多周知，分數階微積分是古典微積分的延伸，即階次的擴展——當整數n變成分

數時，導數 是否成立？當整數n變為無理數或復數，導數 是否同樣成立？

1695年，萊布尼茨以通信的方式與洛必達探討過函數的分數階微分問題。萊布尼茨在信中向洛必達提出這個問題：“如果把微分運算中微分的階數由整數變為分數，此時，微分表示什么意義呢？”洛必達認為，這個問題非常有趣，在回信中回復：

“當微分的次數是 ，此微分有什么意義呢？”顯然，在當時，這些問題還很難解決。1819年，拉科魯瓦給出了

這個答案，這是關于分數階微積分的最早結果，具體詳見參考文獻[4]。

隨著分數階微積分的發展，黎曼、劉維爾、格倫沃爾、列特尼科夫和卡普托等數學家從不同角度先后給出了幾種分數階微積分的定義。下面，我們簡單介紹幾種常用的分數階微積分定義。

1.2 拉普拉斯變換在分數階微積分的應用

拉普拉斯變換法是討論整數階微分方程初值問題的一種重要方法，且被廣泛應用于藥動學中。對于分數階微分方程的初值問題，也可以采用拉普拉斯變換法。近年來，許多專家學者利用拉普拉斯變換法來研究分數階微分方程，主要方法是將偏微分方程轉化為常微分方程，而且在同一代數域上考慮方程中不同階數的微積分算子，大大簡化求解過程。下面，列出幾個常用的分數階拉普拉斯變換公式。

函數的分數階積分和函數分數微分之間有很大的不同，計算f（t）分數階導數的初值是函數的分數階積分定義的拉普拉斯變換所需要。在實際工程應用中，很難得到這樣的初值，且并不明確其幾何意義和物理意義，所以，整數階微積分的拉普拉斯變換與函數分數微分定義下分數階算子的拉普拉斯變換所需初值相同，形式比較簡潔，適合解其解析值。

1.3 分數階微積分的應用

對于阿貝爾積分方程與等時問題，劉維爾位勢理論等應用為分數階微積分的發展注入了新的活力。近年來，分數階微分方程在分形幾何、金融數學、生物科學、控制理論、光學和化學等領域的應用越來越廣泛。這標志著分數階微積分已經成為了解決實際問題的重要工具之一。

2 古漢養生精的藥動學模型

運用數學方法模擬藥物在體內吸收、分布和消除的變化過程而建立起來的數學模型，稱作藥代動力學模型。其中，倉室模型、統計矩模型和藥物動力學模型最常見，而一般的倉室模型使用的是常微分方程。近年來，針對許多社會現象，比如個體化給藥時所建立的數學模型驗證效果不好，因此，許多學者考慮采用新的數學建模方法來解決許多現實問題。在研究古漢養生精的藥動學時，我們建立了分數階微方程模型。

2.1 古漢養生精的二室分數階模型

在學者們建立的藥動學模型中，雖然一室模型非常簡便，但是，它太粗糙，不能滿足當今社會對藥物治療的需求。因此，我們可以考慮用更多的房室來描述數據和復雜的模型。目前，公認較好是二室模型。二室模型與一室模型相比精確度好，只是需要計算稍復雜。二室分數階模型如圖1所示。

2.2 二室模型的數值解

由于實際情況比較復雜，很難得到所建立的分數階微分方程模型的精確解。因此，在實際應用中，常利用計算機程序對分數階微分方程進行離散化，仿真模擬，從而得到分數階微分方程模型的數值解。對于古漢養生精，可采用以下方法進行數值逼近模擬。

函數的分數階積分適用于數值計算，而且在某些特定條件下，其與函數分數階微分是等價的，則有式（15）成立，即：

本文使用受試者4的相干參數探究二室分數階模型的中央室C-t曲線在不同α值下的影響。在其他參數相同的情況下，α分別取值為0.8，0.9，1.0，1.1.經過計算機模擬，可得不同α值下的C-t曲線，具體如圖3所示。

從圖3中可以明顯看出，當參數α=α1=α2>1時，與整數階情形α=1時相比，藥物濃度衰減速率要快；當參數α=α1=α2<1時，與整數階情形α=1時相比，藥物濃度衰減速率要緩慢。因此，我們利用這個重要性質來擬合實驗數據，從而更精準地刻畫出藥動學模型。

3 結束語

健康的身體是所有人的共同追求，而動脈硬化、冠心病、前列腺增生、腫瘤等疾病卻常常讓我們身邊的人苦不堪言，重者甚至還會奪去生命。古漢養生精在這些方面有比較好的療效，毒副作用比較小，是中藥治療和中西結合治療的不錯選擇。經過研究，筆者希望可以運用所學的數學知識為醫學進步盡一點綿薄之力。

本文運用分數階微積分知識，利用 Matlab 編程軟件得到濃度-時間曲線圖。在研究過程中，模擬了古漢養生精藥物的反常擴散過程，與整數階情形相比較，其反常擴散過程更符合實際情況，為臨床醫學治療提供了一定的參考，更為一般意義下的非線性分數階模型和不同階次的模型動力學行為研究指明了方向。

參考文獻

[1]徐文流，周聯.古漢養生精配合放化療在腫瘤治療中對白細胞影響34例臨床觀察[J].北京中醫，1995（4）：64-65.

[2]劉禮意，孫兆泉，唐湘娟，等.古漢養生精抗動脈粥樣硬化作用的實驗探究[J].湖南中醫雜志，1995，11（2）：35-37.

[3]尹天雷，陳風華，管紅英，等.古漢養生精治理神經衰弱72例臨床觀察[J].湖南中醫雜志，2015，31（1）：43-44.

[4]郭柏靈.分數階偏微分方程及其數值解[M].北京：科學出版社，2011：18-45.

[5]百占兵.分數階微分方程邊值問題理論及應用[M].北京：中國科學技術出版社，2012：1-37.

[6]胡海波，王林.冪律分布研究簡史[J].物理，2005，34（12）：889-896.

[7]張浩.基于分數階微積分的藥物代謝動力學建模及其分析[D].武漢：華中科技大學，2013.

[8]Hilfer R.Fractional calculus in physics.Singapore：World scientific，2000.

作者簡介：彭捷（1994—），男，湖南衡陽人，本科，主要從事微分方程計算及應用方面的研究。

〔編輯：白潔〕