動態(tài)問題中存在性問題的解法攻略

張福寬

摘要：新課程標準對中學數(shù)學學生解決問題的要求越來越高，而要正確解決這些問題，就要求學生對知識有一個系統(tǒng)的總結(jié)與概括，并理解與學會正確運用。

關鍵詞：動態(tài)；中學數(shù)學；存在性問題；解題技巧

一直以來，數(shù)學的動態(tài)問題都以中考的壓軸題形式出現(xiàn)，而這些動態(tài)問題解決與否就成為中考數(shù)學成績能不能提高的關鍵。

從教多年，本人對動態(tài)問題有一定的了解，也總結(jié)出一些自己的解決方法。動態(tài)問題中的靈魂是數(shù)形結(jié)合，而數(shù)形結(jié)合的載體是圖形變化，精髓是函數(shù)，最終結(jié)果是方程。很多學生在解題過程中對直接計算沒有多大的問題，但完成第一、第二問后，遇到存在性問題時就沒有思路了，只能是聽得懂老師的講解，而到自己解題時還是一頭霧水，沒有思路。其實存在性問題的分析是有規(guī)律、有步驟的，掌握了規(guī)律和步驟后，再分析問題時就會有明確的方向性，下面我就把這五個步驟詳細說明一下：

一、轉(zhuǎn)換特性為已知

也就是把要求證的特.『生當作一個已知條件。一般情況下老師在講題時學生是體會不到這個步驟的。

二、試畫模擬圖形

這是一個很關鍵的步驟，也就是說將（一）中的特.『生存在的圖形的大致位置、形狀畫出來，在畫圖時一定要力求精確，因為我們的分析思路就是在圖的指引下形成的。當遇到畫不出圖時怎么辦呢？那就需要從動的起點開始，一點一點地按照題干中動的要求并進，當遇到特殊點（性質(zhì)發(fā)生變化的點）時要特別注意特性是否發(fā)生了變化。還有就是畫著畫著就畫不下去了，這時就需要回到你能準確把握的臨界點處，再繼續(xù)向前探究。

三、確定一個與線段有關的等量關系

第三步是解決問題的核心步驟，也是一個連續(xù)的推理過程，題中要求存在的特性可以千差萬別，如t為何值時三角形是等腰三角形，求一個角與另一個角相等，兩個三角形相似等很多種問法，但是不管題中如何提問，我們都要有一個方向，就是把這種關系轉(zhuǎn)換成和線段有關的等量關系，例如，在處理坐標系兩條動線段相等時，我們通常是以這兩條動線段為斜邊，構(gòu)成直角邊橫平豎直的直角三角形，然后再證兩個直角三角形全等，從而得出兩個三角形中橫直角邊相等或豎直角邊相等，也就是說，通過全等的運用，把一對線段相等的問題轉(zhuǎn)換成另一對線段的相等。這對相等的線段也就是一個等量關系。這種方法可以解決：平行四邊形的存在性問題，等腰梯形的存在性問題等有關線段相等的問題。提到線段相等的問題，最有代表性的就是等腰三角形的問題了，歸納一下等腰三角形問題的解法有兩種：（1）按解題方式可分為幾何方法和代數(shù)方法；（2）按動點個數(shù)可分為一個動點、兩個動點、三個動點。

下面我以動點個數(shù)為例說明一下解題方法：

1.當構(gòu)成三角形的頂點中只有一個動點時（設定點分別為A、B）：這時我們先做“兩圓一中垂”，也就是分別以兩定點為圓心，以兩定點確定的線段長為半徑作圓，再做這條定線段的垂直平分線，這樣就把一個坐標平面內(nèi)所有與這兩定點所組成等腰三角形的點動畫出來了，其中以A為圓心的圓上的任意一點c（除B處）與AB連接時都能成為以A為頂角頂點的等腰三角形，以B為圓心的圓同A，在AB垂直平分線上的點（除AB中點處）的每一個點與A、B連結(jié)都能形成以AB為底的等腰三角形，在等量關系獲得過程中，代數(shù)方法、幾何方法并用，其中代數(shù)方法要求各頂點坐標必須能夠準確應用同一個變量和數(shù)字表示，再利用兩點間的距離公式分別表示出各邊長度，兩兩相等，列出三個方程，依次解出即可。當頂點不能用同字母表示或表示出現(xiàn)根號時，就不能計算，這時我們就用幾何方法，由這對相等的邊開始推理，進而得到一對新的相等線段作為等量關系，最常見的就是“三線合一”的應用，在這里不做詳細敘述。

2.當構(gòu)成三角形的三個頂點中出現(xiàn)兩點按某種規(guī)律運動、一個點固定的情況時，多數(shù)情況是應用幾何方法解決，也就是認真畫圖，推導新的等量關系式構(gòu)造全等的直角三角形法。

3.當構(gòu)成三角形的三個頂點都在運動時，這時多數(shù)情況下是用代數(shù)方法來解決。

在實際解題中，根據(jù)問法也有幾個大的分類。如（1）等腰三角形問題；（2）相似問題；（3）垂直或直角三角形問題；（4）平行四邊形問題；（5）梯形問題；（6）幾何方法求最短問題；（7）面積的比例問題；（8）所屬問題；（9）軸對稱問題；（10）幾何計算問題等。

四、代入解方程

也就是（三）中得到的等量關系中的各個量，用題中所給的數(shù)字、字母或自己設的字母表示出來，這樣我們就得到一個方程。

五、解之并檢驗

對上一步得到的方程進行解方程，在正確解出根之后，還要對所得的解進行檢驗，一般分為四種情況：（1）方程根本無解，說明假設存在的特性不存在。（2）有解，但與題干中的限制條件或自己分段的區(qū)間值矛盾，說明假設不存在，要舍去。（3）有解，但與生活實際矛盾，例如，求出的時間變量為負值，也說明假設不存在，要舍去。（4）有解，且適合所有限制條件，即得到所求的值。

以上就是存在性問題的五步分析法，如果需要概括一下的話，也就是說困擾學生多年的存在性問題的解法實際就是列一個與線段長度有關的方程，通過方程來證實某種特殊情況不存在，存在的話，變量值是多少。

以上為個人從教多年的一點心得，希望能給廣大學生一點兒幫助，也歡迎各位同行批評指正。