變深度發射性能可靠性影響因素多元逐步回歸分析

胡松偉

(91550部隊， 遼寧 大連 116023)

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變深度發射性能可靠性影響因素多元逐步回歸分析

胡松偉

(91550部隊， 遼寧 大連 116023)

針對某發射系統變深度性能可靠性影響因素最佳子集獲取問題，綜合考慮設計偏差、裝藥性能偏差和環境因素，建立諸因素影響程度的多元逐步回歸模型。以性能試驗信息為基礎，對試驗數據中諸影響因素進行相關性分析，計算給出諸影響因素的相關系數，回歸分析結果與試驗測量結果相吻合；以此為基礎進一步獲取環境因子進行性能折算，結果表明經多元回歸分析修正后的性能參數的估計誤差標準差縮小，可有效提高變深度發射性能可靠性的估值精度。

兵器科學與技術； 變深度發射； 性能可靠性； 影響因素； 多元逐步回歸分析

0 引言

隨著水下發射技術的發展，變深度發射性能可靠性作為評價潛射導彈武器系統的關鍵戰術技術指標，其指標控制偏差不斷縮小，評估要求不斷提高，基于環境因子仿真進行性能折算的傳統評估方法[1]需進一步完善。隨著對性能參數分布特性認識的深入，需要進一步采用回歸的方法對潛射內彈道性能的環境因子作綜合統計分析，以獲取影響因素的最佳子集，進一步提高變深度發射能力評估的置信水平。本文針對變深度發射性能可靠性這一概率的影響因素，建立了回歸模型，通過比較回歸系數來反映與該系數對應因素的貢獻大小，以實際發射試驗數據為基礎，建立相關影響因素與性能參數之間的統計關系，分析了諸影響因素的影響程度，能有效提高變深度性能可靠性的估值精度。

試驗檢驗作為最重要的評估手段，速度、加速度、溫度、壓強等試驗觀測量，是評估潛射導彈變深度發射性能可靠性的主要數據，常用的工程分析方法主要有作圖比較法、特征值統計法、數學模型法等[2]。前兩種方法比較直觀，但無法對諸影響因素的效應進行定量分析，數學模型法以試驗數據為基礎，通過建立回歸模型，定量描述性能參數與諸影響因素之間的函數關系，模型經過檢驗之后，可以反推諸影響因素對性能可靠性的影響程度。但是由于問題十分復雜，很難描述待估性能參數與諸影響因素之間的函數關系。于是可以采用多項式、階梯函數、樣條函數、分段折線等線性化方法進行多元逐步回歸[3-6]。但是利用簡單曲線也僅能描述單影響因素的主效應，對于多影響因素間的交互效應則需通過三維曲面等高線云圖來描述。

1 逐步回歸分析原理和算法

1.1 逐步回歸分析的原理

逐步回歸是一種篩選因素的方法，大多數統計軟件均具有逐步回歸功能。該方法在考慮的全部因素中按其對性能的作用大小、顯著程度大小，由大到小地逐個引入回歸方程，而對性能影響不顯著的因素始終不被引入回歸方程。另外，己被引入回歸方程的因素在引入新因素后也可能失去重要性，需要從回歸方程中剔除；引入一個因素或者從回歸方程中剔除一個因素都稱為逐步回歸的一步，每一步都要進行分布檢驗，以保證在引入新因素前回歸方程中只含有對性能影響顯著的因素，而不顯著的因素已被剔除。經過逐步篩選回歸，最后用所選上的影響因素子集建立性能參數的回歸方程[7-8]。

1.2 回歸準則的選擇和制定

回歸準則就是通常所說的回歸模型優劣評價指標，有的統計軟件中稱之為可決系數。常用的評價指標有：修正復相關系數R2最大法、平均殘差平方和(MSE)最小法、馬洛斯CP統計量最小法、預測偏差的方差(PBV)最小法、平均預測均方差(APMV)最小法、預測殘差平方和(PRESS)最小法、Akaike信息量(AIC)最小法。修正復相關系數R2達到最大，表明性能參數與各影響因素之間的線性相關程度最大，越大模型的擬合優度越高；MSE達到最小，即用連續曲線擬合離散的影響因素的殘差平方和最小，表明回歸模型的隨機誤差最小；馬洛斯CP統計量達到最小，表明多個候選回歸模型的預測精確度接近最佳預測精度，最終得到的回歸系數與真實回歸系數之間無偏倚；AIC達到最小，表明所估回歸模型的復雜度可控、擬合數據最優；PBV達到最小，預測值與真實值之間的差距、預測值的離散程度最小；APMV達到最小，表明預測風險最低、回歸模型穩定度最高；PRESS達到最小，表明所得到的回歸模型預測殘差累積最小，越小表明預測精度越高。

表1 性能參數的試驗測量值及回歸偏差Tab.1 Live firing performance test data and regression errors

表2 4影響因素的回歸子集Tab.2 Regression subsets of influencing factors

表3 回歸子集的7種準則值Tab.3 7 criteria values of regression subsets

由表3可見，不同準則對應的最佳回歸子集不同，如果取編號為5的回歸子集作為最佳回歸子集，就意味著噴水量和發射深度對出筒速度沒有影響，這顯然不正確；如果取編號為12的回歸子集作為最佳回歸子集，就意味著發射深度對出筒速度沒有影響，這顯然也不正確。不難發現利用上述7準則無法確定最佳子集，編號為15的理想回歸子集沒有被選中，需要尋找新的準則。

為嚴格滿足潛射內彈道性能影響因素回歸分析的基本要求，本文將偏回歸平方和(PRSS)理論運用到潛射內彈道性能影響因素分析過程中，制定了增加因素和剃除因素的判別準則，即采用標準化影響因素的PRSS極值分析法篩選潛射內彈道性能的影響因素。進行檢驗時需要用到同時求線性方程組的解以及系數矩陣的逆矩陣的緊湊變換，推導出一系列回歸遞推公式，包括緊湊變換、回歸系數等的遞推公式，并根據多元逐步回歸分析，以環境因素的相關系數表示并得出諸影響因素的重要程度，這樣對性能指標參數與諸因素之間的關系就有了可量化且更直觀的認識。

1.3 多元回歸方程的建立

假定從總計p個備選影響因素中選取k個影響因素，則可能的線性回歸方程共有2k-1個，只有選擇最優的影響因素子集建立回歸方程，才能獲得高精度的環境因子，正確進行性能可靠性的折算與評估。

(1)

(2)

i,j=1,2,…,p.

標準化后，幾何平均值均為0，標準差為1，則回歸方程可以表示為

式中：β0～βp為標準化回歸系數；εvj為誤差。

若假定εvj獨立同分布，其均值為0，方差σ2未知，可以得到其系數矩陣的估計值：

(3)

1.4 回歸算法

(4)

簡化起見，先選定4項影響因素(即取k=4)開始篩選：主裝藥出廠燃速值用符號u0表示、主裝藥貯存天數用符號t表示、發射深度用符號H表示、噴水孔數用符號np表示，性能參數以速度參數v為例進行描述。

(5)

通過待定系數法可得到回歸系數：

(6)

2 試驗數據的相關性分析

2.1 性能參數與影響因素的相關性

變深度發射性能可靠性試驗共計獲取了13組數據，對這13組數據進行相關性分析，若相關系數|rij|≥0.8，則認為因素xi和性能參數v有強的相關性；若0.3≤|rij|<0.8，則認為有弱的相關性；若|rij|<0.3，則認為沒有相關性。實際分析表明，諸因素不但獨自起作用，而且聯合起來起作用，也就是說，不僅諸因素的水平改變時對性能指標有影響，而且諸因素聯合搭配對性能指標也有影響。單因素對性能指標的影響通過曲線就可以描述；多因素的聯合搭配影響則需通過三維曲面等高線云圖來描述，其3個坐標軸分別2個因素和性能指標，描述u0-t-H-np4個影響因素需要6幅云圖(見圖1～圖6)。

圖1 u0-t-v三維云圖Fig.1 u0-t-v 3D contour map

圖2 u0-np-v三維云圖Fig.2 u0-np-v 3D contour map

圖3 u0-H-v三維云圖Fig.3 u0-H-v 3D contour map

圖4 H-np-v三維云圖Fig.4 H-np-v 3D contour map

圖6 np-t-v三維云圖Fig.6 np-t-v 3D contour map

2.2 影響因素之間的相關性檢驗

采用后退法計算諸影響因素之間的相關系數和相關性顯著水平，若諸影響因素之間相關系數較小，且相關性顯著水平大于0.05，則可以認為諸影響因素之間是相互獨立的，可以采用逐步回歸方法求解該多元回歸模型的表達式；否則說明影響因素之間的交互作用對性能參數貢獻顯著，還有必要進行2次回歸分析，即需要考慮貢獻顯著的2次項和交叉項。分析2.1節得到的因素響應曲面云圖，圖1中性能參數v的截距變化較大，表明因素u0和因素t的組合作用對性能參數v影響較大，回歸模型應該考慮該2次交叉項。

3 影響因素的逐步回歸分析

3.1 諸影響因素的引入

一般認為，回歸方程包含的因素越多，回歸平方和越大，剩余平方和越小，剩余均方差也隨之愈小，預測值的誤差也愈小，模擬的效果愈好。但是如果方程中的因素增多，預報工作量就會加大，其中有些相關性不顯著的因素反而會影響預測效果。綜合考慮設計偏差、裝藥性能偏差和環境因素都會影響到發射內彈道性能，進而影響對變深度發射性能可靠性的估計。設計偏差因素包括：噴水壓差系數λ、噴水孔數目np、冷卻水量Ml、起飛質量M、初始容積當量長度l、彈尾氣密環摩擦系數f、導彈適配器摩擦系數z、總壓恢復系數μ、流量系數σf；裝藥性能偏差因素包括：主裝藥出廠燃速u0、有效裝藥量m0、裝藥貯存時間t；環境參數因素包括：發射深度H、裝藥初溫Tt、冷卻水初溫Tl、筒底空氣初溫Ta.

貯存試驗表明，燃速為29～31 mm/s的裝藥，在生產后貯存的前3年內燃速會下降約1 mm/s，因此確立裝藥出廠燃速和裝藥貯存時間兩個相互獨立的影響因素，在回歸模型中引入2次項u0t項。u0-t-v的等高線云圖(見圖7)可以直觀解釋發射時的裝藥燃速性能u變化對性能參數v的影響。這樣分析與依據經驗公式u=(u0-0.140 87lnt)·[1+αT(Tt-T20 ℃)](αT為溫度敏感系數)得到的預測結果一致(見圖8)。

圖7 u0-t-v等高線云圖Fig.7 u0-t-v contour map

圖8 u-t曲線Fig.8 u-t curve

簡單的線性回歸模型無法解釋本文所討論的問題，只能基于試驗數據進行模擬、建模，通過比對線性擬合、2次擬合、3次擬合效果，最終選擇擬合最好的模型；同時要盡量免造成過擬合、欠擬合或者由于影響因素間的多重共線性而掩蓋某些因素的作用；對于模型的細節，比如要保留哪些模型項，還得依據工程經驗予以確定，本文依據模型的方差分析結果來確定哪些因素是重要的，必須在模型中保留。

一旦確定一個因素xk需要引進回歸方程，必須利用引進后已經變換的相關系數矩陣，按前面相同的方法對回歸方程中已存在的其他因素再逐一進行顯著性檢驗，以確定由于因素xk的引進是否需要將其他因素從回歸方程中保留或剔除。具體選擇時應注意某些因素高低水平的差值不能過大，以防掩蓋了其他因素的重要性，本文最終選取16項可信度大于85%的因素作為重要因素，經過多元回歸分析修正后的性能參數的估計誤差標準差明顯縮小，可有效地提高發射性能可靠性的估值精度。

3.2 逐步回歸迭代計算

依據方法步驟建立相關系數矩陣，并進行緊湊變換如下：

…

分別計算各因素的PRSS，并進行顯著性檢驗結果列入表4.

表4 PRSS計算列表Tab.4 Results of PRSS

顯著性檢驗結果表明，4個影響因素對速度貢獻較大，此時可建立回歸方程：

0.004 336 4t-0.003 917 12np-0.000 032 415u0t.

簡化起見，該回歸方程省略了較小項，在對第6組性能試驗結果2次回歸時，出現最大預測偏差σmax=-4.87%(見表1)，還需進一步引入其他影響因素m0、Tt、λ、Ml、Tl、Ta、M、l、f、z、μ、σf項逐步進行回歸迭代。

3.3 模型多重共線性診斷處置

回歸模型中的冗余信息不但不能提高對性能參數的解釋能力，反而會造成過擬合，諸因素間的多重共線性是不容忽視的。如果不消除模型的多重共線性，估計誤差標準差等指標就不會得到優化，有時甚至會劣化，因此需要進行回歸模型的多重共線性診斷。成熟的解決方法有很多，如嶺回歸(RR)、主成份回歸(PCR)、偏最小二乘回歸(PLSR)、約束回歸(CR)、壓縮估計(SE)、特征根估計(LRE)以及分組壓縮主成份估計、嶺型壓縮主成份估計、組合主成份估計、嶺型組合主成份估計等衍生方法。

通常認為RR比偏最小二乘回歸要好，但是其嶺參數沒有明確含義，它的參數估計始終是有偏估計，要謹慎選擇變量；PCR具有降維作用，但其回歸計算結果仍然會受到重疊信息的影響，并且難以有效確定衡量指標；逐步回歸是一種選擇變量的建模方法，遇到嚴重共線性時則舍棄該變量，如果在所有影響因素中尋找到最優子集，那么也就解決了有害共線性問題，所以得到的回歸模型還是可以接受的，難點在于F檢驗顯著性水平α選擇。分別將RR、PCR和逐步回歸得到的回歸系數列入表5，可見3種方法得到的結果基本一致，表中RR參數為0.36，PCR方程數為16.

表5 模型項回歸系數Tab.5 Regression coefficients of model terms

3.4 回歸模型的方差分析

一般認為模型越顯著，其可靠性和準確性就越高。對所建回歸模型進行顯著性檢驗，進入方程的一次項的P值(在數理統計中表示拒絕假設的概率，在此處也就是回歸模型中不能引入該因素對性能參數進行解釋的概率)均小于0.000 1，表明利用該回歸模型得到的計算結果僅有0.01%的概率不能用該因素解釋，并可省略P值大于0.05的2次項和交叉項。

3.5 回歸擬合效果

圖形化表示便于直觀理解回歸擬合效果，前文利用三維曲面等高線云圖描述了諸因素對性能參數的影響，對回歸方程解空間的形狀也可以用立方圖進行描述(見圖9)。

圖9 回歸方程的解空間Fig.9 Cube plot of sloution space

利用試驗數據進行驗證，在回歸模型的解空間內的估計值與大部分水平組合的試驗值相對誤差在5%～6%之間，模型預測與試驗真值具有較好的吻合度(見圖10)，可用于預測不同設計狀態和使用工況條件下的出筒速度。

圖10 v實測值與預測值的比對Fig.10 Trial result vs. predicted result of v

4 結論

依據工程實踐經驗，從回歸準則的選取、回歸算法建模、環境因素篩選、相關性檢驗、多重共線性診斷處置以及回歸模型的方差分析等方面，對影響變深度發射性能可靠性的主要影響因素進行了系統的分析研究。

綜合考慮設計偏差、裝藥性能偏差和環境因素，建立了回歸分析模型，回歸分析結果與試驗測量結果相吻合，能夠顯著提高變深度發射性能可靠性的估值精度，后續將進一步計算回歸模型殘差的正態分布概率，獲取殘差分布特性，進一步優化回歸模型，以提高模型的解釋能力。

另外，由于諸因素的變化梯度不同，得到的回歸系數不盡相同，本文回歸方程的回歸系數是以表1中各因素的均值為中值，以半標準差為梯度得到的，如果采用該方程進行預測計算，還需詳細劃分裝藥燃速、水深和冷卻水量等因素水平，才能獲得更加精確的解空間。

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Analysis of Influencing Factors on Reliability of Varable DepthSubmarine-launched System Based on Multivariate Stepwise Regression

HU Song-wei

(Unit 91550 of PLA, Dalian 116023, Liaoning, China)

Reliability of underwater varable depth launching system is affected by various influencing factors. The weight and offsetting of projectile are studied by multivariate stepwise regression analysis method, and the second-order algorithm of the models is established. Design deviation, charge performance deviation and environmental factos are taken into account. The relativity analysis for each factor is carried out based on the live firing performance test information of a certain type submarine-launched missile. The effects of the influencing factors, correlation coefficients of each factor and best regression subset are discussed. The results of the regression analysis accords well with the live firing phenomena. Based on this method, the experimental results indicate that the estamated error standard deviation of functional reliability parameter is improved. Multiple stepwise regression method improves the estimation precision. It is feasible and effective to analyze the influencing factors.

ordnance science and technology; changeble-depth launch; performance reliability; influencing factor; multiple stepwise regression analysis

2016-08-24

軍內科研項目(2013年)

胡松偉(1976—), 男, 工程師。 E-mail: goto55@sina.com

TJ762.4+1

A

1000-1093(2017)05-0986-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.05.019