數(shù)學(xué)必備品格的要素之“數(shù)學(xué)意識(shí)”

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品格是數(shù)學(xué)教育的頂層目標(biāo)之一，而數(shù)學(xué)意識(shí)則是形成良好數(shù)學(xué)品格的核心與關(guān)鍵。數(shù)學(xué)意識(shí)是“自覺”地從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度認(rèn)識(shí)世界的一種頭腦與眼光。數(shù)學(xué)意識(shí)通常包括初步的符號(hào)意識(shí)、建模意識(shí)、數(shù)據(jù)分析意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等。學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生不斷“數(shù)學(xué)化”的過程，引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)經(jīng)受“水平數(shù)學(xué)化”和“垂直數(shù)學(xué)化”的歷練，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的兩個(gè)基本策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)意識(shí)；數(shù)學(xué)化；水平數(shù)學(xué)化；垂直數(shù)學(xué)化

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）33-0010-03

【作者簡(jiǎn)介】顧亞龍，上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院（上海，200032）小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，高級(jí)教師，徐匯區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，徐匯區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科基地主持人，獲全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比一等獎(jiǎng)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是學(xué)生適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力。培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品格是數(shù)學(xué)教育的頂層目標(biāo)之一，而數(shù)學(xué)意識(shí)則是形成良好數(shù)學(xué)品格的核心與關(guān)鍵。因此，厘清數(shù)學(xué)意識(shí)的內(nèi)涵，掌握培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的有效策略，是促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地”的基礎(chǔ)和前提。

一、數(shù)學(xué)意識(shí)的內(nèi)涵

意識(shí)，作為動(dòng)詞，即意識(shí)到的活動(dòng)；作為名詞，是與活動(dòng)相對(duì)應(yīng)的結(jié)果（知識(shí)）。數(shù)學(xué)意識(shí)作為人腦對(duì)客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的反映，也有兩方面的含義：其一，作為人腦的反映，數(shù)學(xué)意識(shí)是主體能動(dòng)地“自覺”運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去分析、處理問題的思維習(xí)慣；其二，作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果，數(shù)學(xué)意識(shí)主要包括數(shù)學(xué)概念、原理、公式、定理所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法及其知識(shí)。二者相輔相成，辯證統(tǒng)一于數(shù)學(xué)活動(dòng)過程之中。

關(guān)于數(shù)學(xué)意識(shí)，日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏則說(shuō)得更加明了：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。”

這種即便忘掉具體數(shù)學(xué)知識(shí)，依然能從數(shù)學(xué)的視角去分析和研究問題的思維習(xí)慣，是一種植根于內(nèi)心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和無(wú)須提醒的文化自覺，即數(shù)學(xué)意識(shí)。因此，通俗地講，數(shù)學(xué)意識(shí)是“自覺”地從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度認(rèn)識(shí)世界的一種頭腦與眼光。數(shù)學(xué)意識(shí)能“自覺”地指導(dǎo)、調(diào)節(jié)、監(jiān)控學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使其行動(dòng)具有目的性、方向性和預(yù)見性。

數(shù)學(xué)意識(shí)深深植根于數(shù)學(xué)思想方法的形成過程之中。數(shù)學(xué)思想方法在主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中被固定下來(lái)以后，便形成數(shù)學(xué)意識(shí)，而數(shù)學(xué)意識(shí)的進(jìn)一步內(nèi)化便上升為數(shù)學(xué)精神。

數(shù)學(xué)意識(shí)通常包括初步的符號(hào)意識(shí)、建模意識(shí)、數(shù)據(jù)分析意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等。數(shù)學(xué)意識(shí)體現(xiàn)在日常生活的方方面面，可謂如影隨形。

例如：生活中身經(jīng)百戰(zhàn)的麻將高手不乏其人，但你要問他們到底怎樣才算是和牌了？他們往往只能一類一類地給你講一些具體的牌局，卻很難一言以蔽之。

這個(gè)看似與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的問題，卻能用數(shù)學(xué)公式表示為：

m*ABC+n*DDD+EE（m、n可以等于零）

稍加分析，可知這其中蘊(yùn)含著如下數(shù)學(xué)意識(shí)：

符號(hào)意識(shí)：用字母A、B、C、D、E表示各種牌及其相互關(guān)系，用m、n表示牌的數(shù)量，簡(jiǎn)潔明了。

建模意識(shí)：將各種和牌的方式用公式m*ABC+n*DDD+EE構(gòu)建為數(shù)學(xué)模型，優(yōu)雅漂亮。

數(shù)據(jù)分析意識(shí)：對(duì)于m、n各種取值情況的分析（m、n可以等于零），展現(xiàn)出具體的數(shù)據(jù)分析意識(shí)。

應(yīng)用意識(shí)：在非數(shù)學(xué)情境中能夠數(shù)學(xué)化地分析并解決實(shí)際問題，是數(shù)學(xué)思想方法被內(nèi)化為數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)能力后的自覺應(yīng)用，這是數(shù)學(xué)意識(shí)的自然流露。

數(shù)學(xué)具有得天獨(dú)厚的工具價(jià)值，特別是在日益“數(shù)字化”的今天，社會(huì)發(fā)展呈現(xiàn)出顯著的數(shù)學(xué)化趨勢(shì)，連許多過去與數(shù)學(xué)似乎無(wú)關(guān)的領(lǐng)域都被納入了數(shù)學(xué)的版圖，并獲得了數(shù)學(xué)定量研究的推進(jìn)，因此取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步。人們?cè)絹?lái)越意識(shí)到，現(xiàn)代科學(xué)的問題在本質(zhì)上都是數(shù)學(xué)問題，這種認(rèn)識(shí)本身正是數(shù)學(xué)意識(shí)的升華。

二、數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)策略

學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的滋養(yǎng)和浸潤(rùn)過程；就像只有在游泳中才能學(xué)會(huì)游泳一樣，學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的過程。

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說(shuō)：“與其說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?！薄皵?shù)學(xué)化”是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的核心，他將“數(shù)學(xué)化”進(jìn)一步分為“水平數(shù)學(xué)化”和“垂直數(shù)學(xué)化”。

水平數(shù)學(xué)化是指由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，即把情景問題表述為數(shù)學(xué)問題的過程，是“把生活世界引向符號(hào)世界”。垂直數(shù)學(xué)化，是在水平數(shù)學(xué)化之后進(jìn)行的數(shù)學(xué)化，是建立數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)之間關(guān)系的過程，是“在符號(hào)世界里符號(hào)的生成、重塑和被使用”。這兩個(gè)維度的數(shù)學(xué)化事實(shí)上構(gòu)成了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的兩個(gè)基本策略。下面，從“水平數(shù)學(xué)化”和“垂直數(shù)學(xué)化”這兩個(gè)維度，結(jié)合具體案例對(duì)數(shù)學(xué)意識(shí)培養(yǎng)的兩個(gè)策略做進(jìn)一步的闡述。

策略一：水平數(shù)學(xué)化

數(shù)學(xué)源于生活，將生活情境中的問題表述為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生逐步嘗試從數(shù)學(xué)的視角看世界，能不斷增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

例如：在大河的一邊有兩個(gè)村莊，為方便村民們到河邊取水，打算在河邊建一個(gè)碼頭。如果要使兩個(gè)村莊到碼頭距離的和最短，問碼頭應(yīng)該建在何處？

這是日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到的一類實(shí)際問題；比如，人們有時(shí)要在路邊建一個(gè)車站、商店或放置一個(gè)垃圾箱等，要能同時(shí)方便路邊兩處的居民。引導(dǎo)學(xué)生將這類實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的形成是一種很好的啟蒙，將有效激活學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)地看問題的思維習(xí)慣。

如果將這條大河抽象為直線L，將兩個(gè)村莊看作A、B兩點(diǎn)，則實(shí)際問題就被轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題：在直線L的一側(cè)有A、B兩點(diǎn)，在直線L上選一個(gè)點(diǎn)D，使AD+BD的和最小。經(jīng)歷這個(gè)將生活世界引向符號(hào)世界的過程，讓學(xué)生感受到符號(hào)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔精準(zhǔn)，啟迪學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

受“兩點(diǎn)之間線段最短”公理的啟發(fā)，如果以L為對(duì)稱軸找到A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C，（如圖1）連接BC，與L相交于點(diǎn)D，則問題迎刃而解。

利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“軸對(duì)稱”原理，給一個(gè)似乎無(wú)從下手的問題以精妙的答案，一種無(wú)可辯駁的邏輯力量能讓學(xué)生受到深深的震撼！這個(gè)解法作為解決這類問題的一個(gè)方法模型，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)是一種很好的啟迪。

“水平數(shù)學(xué)化”的典型例子是數(shù)學(xué)家歐拉的“哥尼斯堡七橋問題”。歐拉將“哥尼斯堡七橋問題”轉(zhuǎn)化為一筆畫問題（如第12頁(yè)圖2），一直困擾著大家的難題就此被迎刃而解。這個(gè)案例震古爍今，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——圖論與幾何拓?fù)鋵W(xué)。

由于“水平數(shù)學(xué)化”是在生活世界與數(shù)學(xué)符號(hào)世界之間的跨界轉(zhuǎn)化，因此，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們既要善于創(chuàng)設(shè)有利于進(jìn)行水平數(shù)學(xué)化的問題情境，又要有“點(diǎn)化”學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的自覺，更要有點(diǎn)石成金的手法。

例如：通過天平這個(gè)“腳手架”認(rèn)識(shí)方程后，在課的結(jié)尾處，教師意味深長(zhǎng)地追問“方程和天平有關(guān)系嗎？”

師：如果說(shuō)，方程是數(shù)學(xué)王國(guó)里的“天平”，那么，天平是什么？

生：天平是生活世界中的“方程”。

寥寥數(shù)語(yǔ)，便將符號(hào)世界與生活世界相互貫通，為學(xué)生開啟了一條行走在數(shù)學(xué)與生活之間的通道。

再例如：在《圓的認(rèn)識(shí)》這節(jié)課的結(jié)尾處，教師看似不著邊際的神聊，其實(shí)意境深遠(yuǎn)。

師：圓規(guī)為什么能畫圓呢？

一時(shí)間，學(xué)生有些面面相覷。

師：那是因?yàn)閳A規(guī)“心不動(dòng)，腳在走”。

師：為什么有的人總是美夢(mèng)難圓呢？

生：那是因?yàn)樗靶牟欢?，腳不動(dòng)”。

以圓規(guī)畫圓來(lái)寓意人生，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)認(rèn)識(shí)世界，品味人生。這種對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的點(diǎn)化，可謂“不著一字，盡得風(fēng)流”。

策略二：垂直數(shù)學(xué)化

垂直數(shù)學(xué)化是“在符號(hào)世界里符號(hào)的生成、重塑和被使用”。

長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的形狀各異，它們的面積計(jì)算公式也各不相同。在學(xué)生看來(lái)，這些公式往往是彼此孤立的，他們很難體會(huì)到這些公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此，只有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“垂直數(shù)學(xué)化”的推演，才能將這些公式融會(huì)貫通。

例如：梯形的面積公式：s=（a+b）h÷2。如果引導(dǎo)學(xué)生對(duì)s=（a+b）h÷2作如下分析：

當(dāng)b=0時(shí)，即三角形的面積公式：s=ah÷2。

當(dāng)a=b時(shí)，即平行四邊形的面積公式：s=ah。

當(dāng)平行四邊形有一個(gè)角為直角時(shí)，即長(zhǎng)方形的面積公式：s=ab。

當(dāng)三角形的底為2πr，高為r時(shí)，那么，S=2πr·r÷2=πr2，即為圓的面積公式。

經(jīng)過這種“垂直數(shù)學(xué)化”的演繹，學(xué)生會(huì)有一種豁然開朗、醍醐灌頂?shù)耐ㄍ父?。這不僅有利于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，而且促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和數(shù)據(jù)分析意識(shí)的提高。

再例如：《長(zhǎng)方體的體積》

長(zhǎng)方體的體積公式V=abh有幾個(gè)不同的變式：V=（ab）h=（ah）b=（bh）a。

即：以長(zhǎng)方體的任何一個(gè)面為底面，只要用底面積乘這個(gè)面上的高，即V=Sh，便能求出長(zhǎng)方體的體積。那么，作為特殊的長(zhǎng)方體——正方體體積公式也可以表示為V=Sh。

在學(xué)習(xí)了圓柱的體積、梯形堤壩的體積、多棱柱的體積后，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納出所有柱體體積的一般性公式V=Sh。從“一題一法”到“通則通法”，這個(gè)“垂直數(shù)學(xué)化”的過程引導(dǎo)著學(xué)生不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模，不斷從高觀念來(lái)審視知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成高屋建瓴地看問題的意識(shí)，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的提升是一種很好的啟迪與引領(lǐng)。

學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)植根于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程之中，但又并不是一招一式的數(shù)學(xué)方法或技能技巧；數(shù)學(xué)意識(shí)往往是在一些陌生的、非數(shù)學(xué)的、跨學(xué)科領(lǐng)域里顯現(xiàn)出來(lái)。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)，要從數(shù)學(xué)“發(fā)生學(xué)”的視角引導(dǎo)學(xué)生不時(shí)地“跨學(xué)科”甚至“跨界”，在非數(shù)學(xué)情境中讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)地“回溯到數(shù)學(xué)知識(shí)的原點(diǎn)，叩問數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，讓靜態(tài)的知識(shí)動(dòng)態(tài)化，抽象的知識(shí)具體化，結(jié)論性知識(shí)過程化”。

持續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在“現(xiàn)實(shí)世界與符號(hào)世界之間、符號(hào)世界與符號(hào)世界之間”進(jìn)行雙向穿越，即：持續(xù)經(jīng)受“水平數(shù)學(xué)化”和“垂直數(shù)學(xué)化”的歷練，學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)則已寓于其中。